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第六章 概率与概率分布（一）

第一节 概率论
随机现象与随机事件·事件之间的关系（事件和、事件积、事件的包含与相等、互斥事件、对立事件、互相独立事件）·先验概率与古典法·经验概率与频率法
第二节 概率的数学性质
概率的数学性质（非负性、加法规则、乘法规则）·排列与样本点的计数·运用概率方法进行统计推断的前提
第三节 概率分布、期望值与变异数
概率分布的定义·离散型随机变量及其概率分布·连续型随机变量及其概率分布·分布函数·数学期望与变异数

一、填空
1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（ 机会均等 ）。
2．分布函数和或的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所不同的是，累计的是（ 概率 ）。
3．如果A和B（ 互斥 ），总合有P(A/B)＝P〔B/A〕＝0。
4．（ 大数定律 ）和（ 中心极限定理 ）为抽样推断提供了主要理论依据。
5．抽样推断中，判断一个样本估计量是否优良的标准是（ 无偏性 ）、（ 一致性 ）、（ 有效性 ）。
6．抽样设计的主要标准有（ 最小抽样误差原则 ）和（ 最少经济费用原则 ）。
7．在抽样中，遵守（ 随机原则 ）是计算抽样误差的先决条件。
8．抽样平均误差和总体标志变动的大小成（ 正比 ），与样本容量的平方根成（ 反比 ）。如果其他条件不变，抽样平均误差要减小到原来的1/4，则样本容量应（ 增大到16倍 ）。
9．若事件A和事件B不能同时发生，则称A和B是（ 互斥 ）事件。
10．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（ 1/4 ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ 1/52 ）。

二、单项选择
1．古典概率的特点应为（A）
A、基本事件是有限个，并且是等可能的；
B、基本事件是无限个，并且是等可能的；
C、基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性；
D、基本事件是无限的，但可以是具有不同的可能性。
2．随机试验所有可能出现的结果，称为（D）
A、基本事件；
B、样本；
C、全部事件；
D、样本空间。
3、以等可能性为基础的概率是（A）
A、古典概率；
B、经验概率；
C、试验概率；
D、主观概率。
4、任一随机事件出现的概率为（D）
A、在–1与1之间；
B、小于0；
C、不小于1；
D、在0与1之间。
5、若P（A）＝0.2，Ｐ（B）＝0.6，P（A/B）＝0.4，则＝（D）
A、0.8 B、0.08 C、0.12 D、0.24。
6、若A与B是任意的两个事件，且P（AB）＝P（A）·P（B），则可称事件A与B（C）
A、等价 B、互不相容 C、相互独立 D、相互对立。
7、若两个相互独立的随机变量X和Y的标准差分别为6与8，则（X＋Y）的标准差为（B）
A、7 B、10 C、14 D、无法计算。
8、抽样调查中，无法消除的误差是（C）
A 登记性误差 B 系统性误差 C 随机误差 D 责任心误差
9． 对于变异数D(X)，下面数学表达错误的是（ ）。
A．D(X)＝E(X2)―μ2 B．D(X)＝E[(X―μ)2]
C．D(X)＝E(X2)―[E (X) ] 2 D．D(X)＝σ
10．如果在事件A和事件B存在包含关系AB的同时，又存在两事件的反向包含关系AB，则称事件A与事件B（ ）
A．相等 B．互斥 C．对立 D．互相独立

三、多项选择
1．数学期望的基本性质有( ACD )
A．E(c)＝c B．E(cX)＝c2E(X)
C．E (XY)＝E(X)E(Y) D．E(XY)＝E(X)·E(Y)
2、概率密度曲线（AD）
A、位于X轴的上方 B、位于X轴的下方
C、与X轴之间的面积为0 D、与X轴之间的面积为1
E、与X轴之间的面积不定。
3、重复抽样的特点是（ACE）
A 每次抽选时，总体单位数始终不变；
B 每次抽选时，总体单位数逐渐减少；
C 各单位被抽中的机会在每次抽选中相等；
D 各单位被抽中的机会在每次抽选中不等；
E 各次抽选相互独立。
4、对于抽样误差，下面正确的说法是（ABE）
A抽样误差是随机变量；
B 抽样平均误差是一系列抽样指标的标准差；
C 抽样误差是估计值与总体参数之间的最大绝对误差；
D 抽样误差是违反随机原则而产生的偏差；
E 抽样平均误差其值越小，表明估计的精度越高。
5．关于频率和概率，下面正确的说法是（ ）。
A．频率的大小在0与1之间；
B．概率的大小在0与1之间；
C．就某一随机事件来讲，其发生的频率是唯一的；
D．就某一随机事件来讲，其发生的概率是唯一的；
E．频率分布有对应的频数分布，概率分布则没有。
6．随机试验必须符合以下几个条件（ ）。
A．它可以在相同条件下重复进行；
B．每次试验只出现这些可能结果中的一个；
C．预先要能断定出现哪个结果；
D．试验的所有结果事先已知；
E．预先要能知道哪个结果出现的概率。

四、名词解释
1、 数学期望：
是反映随机变量X取值的集中趋势的理论均值（算术平均）。
2、 对立事件：
若事件A和事件B是互斥事件，且在一次试验（或观察中）必有其一发生，则称A和B是对立事件，或称逆事件。。
3、 随机事件：
人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件，也称事件。
4、 事件和：
事件A和事件B至少有一个发生所构成的事件C，称为A和B的事件和。
5、 事件积：
事件A和事件B同时发生所构成的事件C，称为A和B的事件积。
6、 互斥事件：
若事件A和事件B不能同时发生，则称A和B是互斥事件，或称互不相容事件。
7、 互相独立事件：
若A事件发生的概率等于在B事件发生后A事件发生的概率，或者B事件发生的概率等于在A事件发生后B事件发生的概率，则称A和B是互相独立事件。
8、 先验概率：
古典法以想象总体为对象，利用模型本身所具有的对称性，来事先求得概率，古典法求出的概率被称为先验概率。
9、 经验概率：
将试验次数n充分大时的频率作为概率的近似值，这就是所谓的经验概率。
五、判断题
1．对于连续型随机变量，讨论某一点取值的概率是没有意义的。 （ √ ）
2．把随机现象的全部结果及其概率，或者把随机现象的或几个结果及其概率列举出来，就可以称作概率分布。 （ × ）
3．社会现象是人类有意识参与的后果，这一点只是改变概率的应用条件，并不改变社会现象的随机性质。 （ √ ）
4．在社会现象中，即使相同的意识作用也完全可能有不确定的结果，这就提供了概率论应用的可能性。 （ √ ）
5．抽样的随机原则就是指客观现象的随机性。 （ × ）
6．样本均值是总体均值的一个无偏估计量。 （ √ ）
7．样本方差是总体方差的一个无偏估计量。 （ × ）
8．样本容量的大小与抽样推断的可信程度成正比。 （ √ ）
9．重复抽样的误差一定大于不重复抽样的抽样误差。 （ √ ）
10．抽样误差的产生是由于破坏了抽样的随机原则而造成的。 （ × ）
11．当样本容量n无限增大时，样本均值与总体均值的绝对离差小于任意正数的概率趋于零。 （ × ）
12．所谓抽样分布，就是把具体概率数值赋予样本每个或每组结果的概率分布。
（ √ ）
六、计算题
1．某系共有学生100名，其中来自广东省的有25名；来自广西省的有10名。问任意抽取一名学生，来自两广的概率是多少？ 【0.35】
2．为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生中，父亲具有大学文化程度的占30％，母亲具有大学文化程度的占20％，而父母双方都具有大学文化程度的占10％。问学生中任抽一名，其父母有一人具有大学文化程度的概率是多少？ 【0.40】
3．根据统计结果，男婴出生的概率为；女婴出生的概率为。某单位有两名孕妇，问两名孕妇都生男婴的概率是多少？ 【0.2601】
4． 根据统计，由出生活到60岁的概率为0.8，活到70岁的概率为0.4。问现年60岁
的人活到70岁的概率是多少？ 【0.5】
5．根据统计结果，男婴出生的概率为；女婴出生的概率为。某单位有两名孕妇，求这两名孕妇生女婴数的概率分布。 【0.2601，0.4998，0.2401】
6． 一家人寿保险公司在投保50万元的保单中，每千名每年由15个理赔，若每一保单
每年的运营成本与利润的期望值为200年，试求每一保单的保费。 【7700元】
7． 某单位对全单位订报纸情况进行了统计，其中订《人民日报》的有45％，订《扬子晚报》的有60％，两种报纸都订的有30％。试求以下概率：
1）只订《人民日报》的；
2）至少订以上一种报纸的；
3）只订以上一种报纸的；
4）以上两种报纸都不订的。 【0.15，0.95，0.65，0.05】
8．根据某市职业代际流动的统计，服务性行业的工人代际向下流动的概率为0.07，静止不流动的概率为0.85，求服务性行业的代际向上流动的概率是多少？ 【0.08】
9． 消费者协会在某地对国外旅游动机进行了调查，发现旅游者出于游览名胜的概率为
0.219；出于异族文化的吸引占0.509；而两种动机兼而有之的占0.102。问旅游动机为游览名胜或为异族文化吸引的概率是多少？ 【0.626】
10．根据生命表，年龄为60岁的人，可望活到下年的概率为P＝0.95；设某单位年龄为60岁的人共有10人，问：（1）其中有9人活到下年的概率为多少？（2）至少有9人活到下年的概率是多少？ 【0.315】【0.914】
11．假定从50个社区的总体中随机抽取一些社区（这些社区的规模和犯罪率之间关系的数据如下表），（1）用不回置抽样得到了一个4个社区的样本，试问其中恰好有一个大社区，一个中社区以及两个小社区的概率是多少？（2）在一个用回置法得到的3个社区的样本中，得到至少一个高犯罪率社区和两个小社区的概率是多少？ 【0.178】【0.046】
属性
大
中
小
高犯罪率
2
8
5
低犯罪率
16
4
15
12、已知随机变量x的概率分布如下：
X
0
1
2
3
4

0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
试求：1）【2】；2）【5.2】；3）令Y＝，求【2.2】；4）【1.10】；5）【4.62】。
13、A、B、C为三事件，指出以下事件哪些是对立事件：
1）A、B、C都发生；
2）A、B、C都不发生；
3）A、B、C至少有一个发生；
4）A、B、C最多有一个发生；
5）A、B、C至少有两个发生；
6）A、B、C最多有两个发生
【2、3为对立事件 4、5为对立事件 1、6为对立事件】

14、从户籍卡中任抽1名，设：
A＝“抽到的是妇女”
B＝“抽到的受过高等教育”
C＝“未婚”
求：（1）用符号表达“抽到的是受过高等教育的已婚男子”；【】
（2）用文字表达ABC；【抽到是受过高等教育的未婚妇女】
（3）什么条件下ABC＝A。【总体中的妇女都是受过高等教育和未婚的】

12．已知随机变量x的概率分布如下：
X
0
1
2
3
4

0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
试求：1）；2）；3）令Y＝，求；4）；5）。
【2】【5.2】【2.2】【1.10】【4.62】

13．A、B、C为三事件，指出以下事件哪些是对立事件：
1）A、B、C都发生；
2）A、B、C都不发生；
3）A、B、C至少有一个发生；
4）A、B、C最多有一个发生；
5）A、B、C至少有两个发生；
6）A、B、C最多有两个发生
【2和3是对立事件】【4和5是对立事件】【1和6是对立事件】
14．从户籍卡中任抽1名，设：
A＝“抽到的是妇女”
B＝“抽到的受过高等教育”
C＝“未婚”
（1）用符号表达“抽到的是受过高等教育的已婚男子”； 【】
（2）用文字表达ABC； 【抽到是受过高等教育的未婚女子】
（3）什么条件下ABC＝A。 【总体中妇女都是受过高等教育的未婚女子】

15．1－1000号国库券已到期，须抽签还本付息，求以下事件的概率：
（1）抽中701号； 【0.001】
（2）抽中532号； 【0.001】
（3）抽中小于225号； 【0.224】
（4）抽中大于600号； 【0.4】
（5）抽中1020号； 【0】
（6）抽中大于或者等于700号； 【0.301】
（7）抽中小于125号或者大于725号； 【0.399】
（8）抽中小于50号或者大于700号。 【0.349】
16．一个口袋中装有10只球，分别编上号码1，……10，随机地从这个口袋去3只球，试求：（1）最小号码是5的概率；（2）最大号码是5的概率。 【0.083，0.05】
17．共有5000个同龄人参加人寿保险，设死亡率为0.1％。参加保险的人在年初应交纳保险费10元，死亡时家属可领2000元。求保险公司一年内从这些保险的人中，获利不少于30000元的概率。 【98.75%】
18．在一批10个产品中有4个次品。如果一个接一个地随机抽取两个，下面的每个随机事件的概率是多少？
（1）抽中一个是次品，一个是合格品； 【0.53】
（2）抽取的两个都是次品； 【0.13】
（3）至少有一个次品被选取； 【0.67】
（4）抽取两个合格品。 【0.33】

七、问答题
1．什么是概率？
2．何谓先验概率和经验概率，举例说明。
3．事件互不相容与相互独立这两个概念有何不同？
4．频率分布和概率分布有何区别和联系？

八、计算举例
例1 （1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用表示掷得正面的次数，则随机变量的可能取值有哪些？
（2）一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为，则随机变量的可能取值有哪些？
解：说明：引入了随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示。
（1）抛掷硬币是随机试验，结果有两种可能，一种是正面向上，另一种是反面向上，所以变量的取值可能是1（正面向上），也可能是0（反面向上），故随机变量的取值构成集合{0，1}。
在此例中，随机事件“掷一枚硬币，正面向上”可以用随机变量表示为，随机事件“掷一枚硬币，反面向上”可以用随机变量表示为。
（2）根据条件可知，随机变量的可能值有4种，它的取值集合是{1，2，3，4}。
在此例中，也可用，，，分别表示取到1号、2号、3号和4号白鼠这4个随机事件。另一方面，在此例中，可以用这样的记号表示“取到1号、2号或3号白鼠”这件事情，也就是说，复杂的事件也可以用随机变量的取值来表示。
这样，我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了。如在（1）
中的概率可以表示为 ，其中常简记为。同理，。这一结果可用下表来描述。

0
1

在（2）中随机变量所表示的随机事件发生的概率也可用下表来描述。

1
2
3
4

上面的两个表格分别给出了随机变量，表示的随机事件的概率，描述了随机变量的分布规律。

例2 从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用表示“取到的白球个数”，即 求随机变量的概率分布。
解： 由题意知，，故随机变量的概率分布列为，，概率分布表如下。

0
1

说明：本题中，随机变量只取两个可能值0和1。像这样的例子还有很多，如在射击中，只考虑“命中”与“不命中”；对产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格”等。我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布，并记为~0-1分布或~两点分布。此处“~”表示“服从”。

例3 某班有学生45人，其中型血的有10人，型血的有12人，型血的有8人， 型血的有15人，现抽1人，其血型为随机变量，求的概率分布。
解：设、、、四种血型分别编号为1，2，3，4，则的可能取值为1，2，
3，4。
则，，
，。
故其概率分布为

1
2
3
4

例4 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果。
①一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数为；
②盒中有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取3支，其中所含白粉笔的支数；
③从4张已编号（1号～4号）的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和。
解：①可取3，4，5．＝3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；＝4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；＝5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5。
②可取0，1，2，3，＝表示取出支白粉笔，支红粉笔，其中0，1，2，3。
③可取3，4，5，6，7。＝3表示取出分别标有1，2的两张卡片；＝4表示取出分别标有1，3的两张卡片；＝5表示取出分别标有1，4或2，3的两张卡片；＝6表示取出分别标有2，4的两张卡片；＝7表示取出分别标有3，4的两张卡片。

例5 袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记。求的概率分布。
解：显然服从两点分布，，则。所以的概率分布是：

0
1

例6 同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现的最大点数的概率分布，并求大于2小于5的概率。
解： 依题意易知，掷两颗骰子出现的点数有36种等可能的情况：（1，1），（1，2），（1，
3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），…，（6，5），（6，6）。因而的可能取值为1，2，3，4，5，6，详见下表。
的值
出现的点
情况数
1
（1，1）
1
2
（2，2），（2，1），（1，2）
3
3
（3，3），（3，2），（3，1），（2，3），（1，3）
5
4
（4，4），（4，3），（4，2），（4，1），（3，4），（2，4），（1，4）
7
5
（5，5），（5，4），（5，3），（5，2），（5，1），（4，5），（3，5），
（2，5），（1，5）
9
6
（6，6），（6，5），（6，4），（6，3），（6，2），（6，1），（5，6），
（4，6），（3，6），（2，6），（1，6）
11
由古典法可知的概率分布如下表所示：

1
2
3
4
5
6

从而。
例7 同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现最小点数的概率分布。
解：类似于上例，通过列表可知：，，，
，，。
例8 从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以表示赢得的钱数，随机变量可以取哪些值呢？求的概率分布。
解析：从箱中取出两个球的情形有以下六种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}。
当取到2白时，结果输2元，随机变量＝－2；
当取到1白1黄时，输1元，随机变量＝－1；
当取到1白1黑时，随机变量＝1；当取到2黄时，＝0；
当取到1黑1黄时，＝2；当取到2黑时，＝4。
则的可能取值为－2，－1，0，1，2，4。
；；；； ； 。
从而得到的概率分布如下：

－2
－1
0
1
2
4

例9 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数。（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量的概率分布；（3）求甲取到白球的概率．
解：（1）设袋中原有个白球，由题意知：，所以，解得（舍去），即袋中原有3个白球。
（2）由题意，的可能取值为1，2，3，4，5。
；；；
，。
所以，取球次数的分布列为：

1
2
3
4
5

（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记“甲取到白球”的事件为，则（，或，或）．因为事件、、两两互斥，
所以。

例10 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。
（1）求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望；
（2）求这名同学总得分不为负分（即≥0）的概率。
解：本小题主要考查离散型随机变量的概率分布、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解决实际问题的能力。
（1）离散型随机变量的可能值为－300，－100，100，300。
P（=－300）= （0.2）3 = 0.008, P（=－100）= 3×（0.2）2×0.8 = 0.096,
P（=100）= 3×0.2×（0.8）2 = 0.384, P（=300）= 0.83 = 0.512,
所以的概率分布为

－300
－100
100
300

0.008
0.096
0.384
0.512

可得的数学期望
E（）=（－300）×0.08+（－100）×0.096 + 100×0.384 + 300×0.512 = 180
（2）这名同学总得分不为负分的概率为P（≥0）= 0.384 + 0.512 = 0.896

例11 从一副洗得很好的扑克牌中做了3次抽取，假定使用回置法，求至少得到1张A和1张K的概率是多少?
解： 按照题意，要在不同样本空间中考虑三种复合事件：抽到1张A和1张K，另l张非A非K，用符号(AKO)表示(其中“O”表示其他)；抽到1张A和2张K，用符号(AKK)表示；抽到2张A和1张K，用符号（AAK)表示。因为在不同样本空间中基本事件实现的概率不同，必须对它们加以区别。
次序为AKO的样本点实现的概率是··
次序为AKK的样本点实现的概率是·
次序为AAK的样本点实现的概率是·
再考虑每个复合事件各含有多少种可能的排列方式
(AKK)含有3!／2!＝3种排列方式
(AAK)含有3!／2!＝3种排列方式
（AKO)含有3!＝6种排列方式
所以，在一副扑克的三次抽取中，至少得到1张A和1张K的概率是
6·· + 3· + 3·＝0.033
例12 假如对1000个大学生进行歌曲欣赏调查，发现其中有500个学生喜欢民族歌曲，400个学生喜欢流行歌曲，而这些学生中有100人属于既喜欢民族歌曲又喜欢流行歌曲的，剩下来的学生两歌曲都不喜欢。如果我们随机地从该总体中抽取一个学生，并设事件A为该学生喜欢民族歌曲，事件B为该学生喜欢流行歌曲，试解决下列问题：6
①用数字证明P(A且B)＝P(A)P(B／A)＝P(B)P(A／B)。
②得到一个喜欢两种风格歌曲之一的学生的概率是多少?
③随机地选取一个由3个学生组成的样本，要求这三个学生全都有相同的欣赏方式，得到这种样本的概率是多少? ④做一个一枚硬币独立
解： 因为1000名大学生中有500名喜欢民族歌曲，有400名喜欢流行歌曲，所以P(A)＝＝，P(B)＝＝；因为500名喜欢民族歌曲的学生之中，有100名还同时喜欢流行歌曲。所以，
P(B／A)＝＝，同理，P(A／B)＝＝。
① P(A) P(B／A) ＝·＝
P(B) P(A／B)＝·＝
又因为在1000名学生中只有100名学生两种风格的音乐都喜欢
P(A且B)＝＝
所以 P (A且B)＝P(A) P(B／A) ＝ P(B) P(A／B)
②又设事件表示该学生不喜欢民族歌曲，事件表示该学生不喜欢流行歌曲，按题意，一个学生可能有4种欣赏方式：
仅喜欢民族歌曲，即，共400名，)＝＝；
仅喜欢流行歌曲，即，共300名，＝＝；
两种歌曲都喜欢，即，共100名，＝＝；
两种歌曲都不喜欢，即，，共200名，＝＝。
下表列出抽到3名学生都有相同欣赏方式的4种可能

可能方式
概率

3人都仅喜欢民族歌曲

3人都仅喜欢流行歌曲

3人两种歌曲都喜欢

3人两种歌曲都不喜欢

＝
＝
＝
＝

把上面这些互斥事件的概率加起来，我们便得到抽到3人都有相同欣赏方式的概率
(64+27+1+8)＝＝0．1

15