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函数的图象
[考纲展示]　1.理解点的坐标与函数图象的关系．　2.会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个函数的图象．　3.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．
{ 基础分层导学 }
[必备知识]
考点1　利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
考点2　利用图象变换法作函数的图象
1．平移变换
y＝f(x)y＝f(x－a)；
y＝f(x)y＝f(x)＋b.
2．伸缩变换

3．对称变换
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(－x)．
4．翻折变换
y＝f(x)y＝f(|x|)；
y＝f(x)y＝|f(x)|.
[二级结论]
1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
2．上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作．但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”．
[双基夯实]

(1)[教材习题改编]对于函数f(x)＝有下列三个说法：①图象是一个点和一条直线(去掉点(0,0))；②图象是两条直线；③图象是一个点和两条射线．其中正确的说法是________．(填序号)
答案：①
解析：当x≠0时，图象是一条直线去掉点(0,0)，当x＝0时，图象是一个点．
(2)[教材习题改编]为了得到函数y＝log3(x＋3)－2的图象，只需把函数y＝log3x的图象上所有的点向________平移________个单位长度，再向________平移________个单位长度．
答案：左　3　下　2

1.图象变换中的误区：平移的方向；平移的大小．
(1)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象．
答案：y＝f(－x＋1)
解析：将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f[－(x－1)]＝f(－x＋1)的图象(注意平移方向)．
(2)把函数y＝f(2x)的图象向右平移________个单位长度得到函数y＝f(2x－3)的图象．
答案：
解析：本题易理解为向右平移3个单位长度，事实上把函数y＝f(2x)的图象向右平移3个单位长度后得到的是函数y＝f[2(x－3)]＝f(2x－6)的图象．
2．函数图象对称问题的误区：图象的自对称与互对称．
(1)函数y＝log2(x2－1)的图象关于________对称．
答案：y轴
解析：函数的定义域关于原点对称，且易知是偶函数，所以函数的图象关于y轴对称．这是图象的自对称问题，自对称函数的图象的对称轴一定垂直于x轴．
(2)函数y＝ln x与y＝－ln x的图象关于________对称．
答案：x轴
解析：函数y＝ln x与y＝－ln x的图象关于x轴对称，这里涉及两个函数，是图象的互对称问题．一般地，y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称．
{ 题型重点研讨 }
考点1　作函数的图象
(自主练透)
[典题1]　分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg(x－1)|；
(2)y＝2x＋1－1；
(3)y＝x2－|x|－2；
(4)y＝；
(5)y＝10|lg x|.
[解]　(1)首先作出y＝lg x的图象C1，然后将C1向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y＝|lg(x－1)|.如图①所示(实线部分)．

①　　　 　　　 ②
(2)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到，如图②所示．
(3)y＝x2－|x|－2＝
其图象如图③所示．

　 　 ③　　　　 　④　　　　　　 ⑤
(4)y＝＝＝2－.
可由函数y＝－向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．
(5)y＝10|lg x|＝如图⑤所示．
[点石成金]　函数图象的画法
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减；但要注意加、减指的是自变量，否则不成立．
(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法，为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
考点2　识图与辨图
(多维探究)
高考对函数图象的考查主要有识图和辨图两个方面，其中识图是每年高考的热点内容，题型多为选择题，难度适中．
主要有以下几个命题角度：
角度一：借助实际问题情境探究函数图象
[典题2]　[2018·云南昆明模拟]如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x的函数y＝f(x)的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷行走的路线可能是(　　)

A　　 　 　 B

C　　　 　　D
[答案]　D
[解析]　由图象知，张大爷晨练时，离家的距离y随行走时间x的变化规律是先匀速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小．
[点石成金]　解决此类问题的关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，但要注意实际问题中的定义域．
角度二：借助动点探究函数图象
[典题3]　[2017·江西南昌二模]如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱A1B1，CD的中点，点M是EF上的动点(不与E，F重合)，FM＝x，过点M与直线AB的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V(x)，则函数V(x)的大致图象是(　　)

[答案]　C
[解析]　当x∈时，V(x)增长的速度越来越快，即变化率越来越大；当x∈时，V(x)增长的速度越来越慢，即变化率越来越小，故选C.
[点石成金]　解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，比如特殊点处的变化率等．从而作出选择．
角度三：同一坐标系下辨析不同函数的图象
[典题4]　(1)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则g(x)＝ax＋b的图象是(　　)

[答案]　A
[解析]　由图可知：b<－1,0<a<1，所以函数g(x)＝ax＋b的图象应是单调递减，且由指数函数向下平移得到，故选A.
(2)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋cx，g(x)＝ax2＋2ax＋c，a≠0，则它们的图象可能是(　　)

[答案]　B
[解析]　因为f′(x)＝ax2＋2ax＋c，则函数f′(x)即g(x)图象的对称轴为x＝－1，可排除A，D；由选项C的图象可知，当x>0时，f′(x)>0，故函数f(x)＝x3＋ax2＋cx在(0，＋∞)上单调递增，但图象中函数f(x)在(0，＋∞)上不具有单调性，排除C.故选B.
[点石成金]　解决此类问题时，常先假定其中一个函数的图象是正确的，然后再验证另一个函数图象是否符合要求，逐项作出验证排查．
角度四：函数图象与解析式对应关系的识别
[典题5]　(1)[2018·湖南师大附中月考]函数f(x)＝cos x的图象的大致形状是(　　)

A　　　　　　　 　B

C　　　　　 　　　D
[答案]　B
[解析]　由已知可得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A，C；又当x∈时，f(x)<0，可知D错误，故选B.
(2)[2018·安徽“江南十校”3月联考]若函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)

A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
[答案]　B
[解析]　由图象可知，函数的定义域为{x|x≠a且x≠b}，f(x)在(－∞，a)上为增函数，在(a,0]上先增后减，在[0，b)上为减函数，在(b，＋∞)上先减后增．A项中f(x)的定义域为{x|x≠－1且x≠1}，此时a＝－1，b＝1.f′(x)＝，则f′(－2)＝－<0，与f(x)在(－∞，－1)上递增不符．B项中f(x)的定义域为{x|x≠±1}，f′(x)＝＝，若f′(x)>0，则x<－1或－1<x<1－或x>1＋，此时f(x)在各对应区间上为增函数，符合题意．同理可检验C，D不符．故选B.
[点石成金]　此类问题往往从以下几方面判断：
(1)从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项．
角度五：考查图象变换问题
[典题6]　(1)已知函数f(2x＋1)是奇函数，则函数y＝f(2x)的图象关于下列哪个点成中心对称．(　　)
A．(1,0) B．(－1,0)
C. D.
[答案]　C
[解析]　f(2x＋1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平移个单位得到的，故关于点成中心对称．
(2)将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
[答案]　D
[解析]　与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，∴y＝f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
[点石成金]　下列结论需记住：
(1)y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；
(2)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；
(3)y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称；
(4)y＝f(x)与y＝f－1(x)的图象关于y＝x对称；
(5)y＝f(x)与y＝f(2m－x)的图象关于直线x＝m对称．
考点3　函数图象的应用
(多维探究)　　
函数图象的应用也是高考命题的一个热点，题型多为选择题和填空题．
主要有以下几个命题角度：
角度一：应用图象求解参数
[典题7]　若直线y＝x＋m和曲线y＝有两个不同的交点，则实数m的取值范围是________．
[答案]　[1，)
[解析]　曲线y＝表示x2＋y2＝1的上半圆(包括端点)，如图．

要使y＝x＋m与曲线y＝有两个不同的交点，则直线只能在l1与l2之间变动，故1≤m<.
[点石成金]　利用函数图象可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质．
角度二：利用图象研究方程的根或不等式求解问题
[典题8]　(1)不等式log2(－x)<x＋1的解集为________．
[答案]　(－1,0)
[解析]　设f(x)＝log2(－x)，g(x)＝x＋1.函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的图象如图．

由图象可知不等式log2(－x)<x＋1的解集为{x|－1<x<0}．
(2)已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
[答案]　5
[解析]　方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.

[点石成金]　函数图象应用的常见题型与求解策略
(1)研究函数性质：
①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．
(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
{ 真题演练集训 }
1．[2017·浙江卷]函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)

答案：D
解析：本题考查函数图象的识辨，利用导数判断函数的单调性和极值．不妨设导函数y＝f′(x)的零点依次为x1，x2，x3，其中x1<0<x2<x3，由导函数图象可知，y＝f(x)在(－∞，x1)上为减函数，在(x1，x2)上为增函数，在(x2，x3)上为减函数，在(x3，＋∞)上为增函数，从而排除A，C.y＝f(x)在x＝x1，x＝x3处取到极小值，在x＝x2处取到极大值，又x2>0，排除B，故选D.
2．[2016·全国卷Ⅰ]函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为(　　)

A　　　　　　 　　B

C　　　　　　　 　D
答案：D
解析：当x≥0时，令函数f(x)＝2x2－ex，则f′(x)＝4x－ex，易知f′(x)在[0，ln 4)上单调递增，在[ln 4,2]上单调递减，又f′(0)＝－1<0，f′＝2－>0，f′(1)＝4－e>0，f′(2)＝8－e2>0，所以存在x0∈是函数f(x)的极小值点，即函数f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0,2)上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图象为D.
3.[2015·北京卷]如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)

A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}
答案：C
解析：令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．

由得
∴ 结合图象知，不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．
4．[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为(　　)

　　　　 A　　　　　　　　　 　B

　　　　 C　　　　　　　　　 　D
答案：C
解析：如图所示，

当x∈时，则P(cos x，sin x)，M(cos x,0)，
作MM′⊥OP，M′为垂足，则＝sin x，
∴＝sin x，∴f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，则当x＝时，f(x)max＝；
当x∈时，有＝sin(π－x)，
f(x)＝－sin xcos x＝－sin 2x，
当x＝时，f(x)max＝.只有C选项的图象符合．