s-正规子群与有限群的可解性.pdf

第 39 卷 第 6 期2023年6月商 丘 师 范 学 院 学 报JOURNAL OF SHANGQIU NORMAL UNIVERSITYVol.39 No.6June,2023收稿日期:2022-03-27基金项目:国家自然科学基金资助项目(1217010177)作者简介:曹玉兵(1996),男,江苏徐州人,沈阳工业大学在读研究生,主要从事群论研究;通信作者:何立国(1967),男,黑龙江齐齐哈尔人,沈阳工业大学理学院教授,主要从事群论研究.s-正规子群与有限群的可解性曹玉兵,何立国(沈阳工业大学 理学院,辽宁 沈阳 110870)摘 要:利用 -Hall 子群和 -Hall 子群的极大子群的 s-正规性来研究有限群的可解性,得到了有限群可解的一些充分条件.关键词:次正规子群;s-正规子群;-Hall 子群;可解群 中图分类号:O152.1 文献标识码:A 文章编号:1672-3600(2023)06-0009-02s-normal subgroup and solvability of finite groupsCAO Yubin,HE Liuo(School of Science,Shenyn University of Technology,Shenyn 110870,China)Abstract:This artirce uses s-normality of -Hall subgroups and maximal subgroups of -Hall subgroups to givethe solvability of finite groups,and obtained some sufficient conditions for solvable groups.Key Words:subnormal subgroup;s-normal subgroup;-Hallsubgroup;solvable group有限群的子群的性质和群的结构之间有着非常密切的联系,因此人们常常通过子群的性质来研究群的结构.1996 年,引入了子群 c-正规的概念,并研究了此类有限群的结构与性质1.接着在减弱 c-正规的条件后给出了 s-正规的概念,并得到了一些重要结论2.群 G 的一个子群 H 在 G 中是 s-正规,如果存在 G 的一个次正规子群 K,使得 G=HK 且 HKHSG,其中 HSG是包含在 H 中的 G 的极大次正规子群.利用 Sylow 子群和极大子群的 s-正规性来研究有限群的结构已取得了许多结果.2007 年利用 Sylow 子群及 Sylow 的极大子群的 s-正规性得到了有限群可解和 p-幂零的一些充分条件3;2010 年利用极大子群的 s-正规性研究有限群的结构4;2013 年利用 Sylow 子群的 s-正规性来研究有限群的可解性5.2021 年利用 n-极大子群的 s-正规性讨论有限群的性质和结构6.本文主要利用 -Hall 子群和 -Hall 子群的极大子群的 s-正规性来研究有限群的可解性,得到了有限群可解的一些充分条件.本文所有的群均为有限群.令 表示素数的某个集合,表示 在全体素数集合中的余集,H G 表示 H 是 G 的一个子群,HcharG 表示 H 是 G 的一个特征子群,HG 表示 H 是 G 的一个正规子群.HG 表示 H 是 G 的一个次正规子群.其它没有提及的概念和符号参考文献7.1 相关引理引理 12设 H 为群 G 的子群,则(1)G 为 s-单群当且仅当 G 为单群.(2)若 NG 且 N H,则 H 在 G 中 s-正规当且仅当 H/N 在 G/N 中 s-正规.(3)若 H 是 G 的 -子群,且 N 为 G 的正规 -子群,若 H 在 G 中 s-正规,那么 HN/N 在 G/N 中 s-正规.引理 27奇数阶群必可解.引理 37设G=2n,n 是奇数,则 G 必可解.引理 44设 H 为 G 的 Hall 子群且 HG,那么 HG.引理 55设G=k 且(k,15)=1,则 G 可解.引理 65设群 G 的 p-子群 PG,则 P Op(G).2 主要结果及其证明定理 1设 H 为 G 的可解 -Hall 子群且 2 ,若 H 在 G 中 s-正规,则 G 是可解群.证明 由 s-正规的定义知存在 G 的一个次正规子群 K,满足 G=HK 且 H K HSG.(1)若 HSG=1.则 H K=1.由于 H 为 G 的 -Hall 子群,故 K 是 G 的 -Hall 子群,又因为 KG,由引理4 可得KG.于是有商群 G/K H 为可解的.又因为 K 是 G 的 -Hall 子群且2,所以 K 为奇数阶群.由引理2 可得 K 可解,所以 G 可解.(2)若 HSG1.由引理6 知 O(G)1.考察商群 G/O(G),由条件可知 H/O(G)是 G/O(G)的可解 -Hall 子群.由定理条件和引理 1 知 H/O(G)在 G/O(G)中 s-正规.故定理的条件由 G/O(G)继承,故由归纳法知 G/O(G)可解.又因为 O(G)可解,所以 G 可解.定理 2设 H 为 G 的可解 -Hall 子群且3,5,若 H 在 G 中 s-正规,则 G 是可解群.证明 由 s-正规的定义知存在 G 的一个次正规子群 K,满足 G=HK 且 H K HSG.(1)若 HSG=1.则 H K=1.由于 H 为 G 的 -Hall 子群,故 K 是 G 的 -Hall 子群,又因为 KG,由引理4 可得KG.于是有商群 G/K H 为可解的.又因为(K,15)=1,由引理 5 可得 K 可解.所以 G 可解.(2)若 HSG1.由引理6 知 O(G)1.考察商群 G/O(G),由条件可知 H/O(G)是 G/O(G)的可解 -Hall 子群.由定理条件和引理 1 知 H/O(G)在 G/O(G)中 s-正规.故定理的条件由 G/O(G)继承,故由归纳法知 G/O(G)可解.又因为 O(G)可解,所以 G 可解.定理 3设 H 为 G 的可解 -Hall 子群且 2 ,若 H 的一个极大子群 M 在 G 中是 s-正规的,则 G 是可解群.证明 由 s-正规的定义知存在 G 的一个次正规子群 K,满足 G=MK 且 M K MSG.(1)若 MSG=1.则 HK=1.由条件2,可得K=2n,其中 n 是一个奇数.设 K1为 K 的2-Hall 子群,则 K1charKG,从而 K1G.因为 H 为 G 的 -Hall 子群,所以 K1是 G 的 -Hall 子群,由引理 4 可得 K1G.且易得 G=MK=HK1,从而 G/K1 H 为可解的,又因为 K1是 G 的 -Hall 子群且 2 ,所以 K1为奇数阶群.由引理 2 可得 K1可解,所以 G 可解.(2)若 MSG1.由引理6 知 O(G)1.考察商群 G/O(G),由条件可知 H/O(G)是 G/O(G)的可解 -Hall 子群.由定理条件和引理 1 知 M/O(G)在 G/O(G)中 s-正规.故定理的条件由 G/O(G)继承,故由归纳法知 G/O(G)可解.又因为 O(G)可解,所以 G 可解.推论 1设 H 为 G 的幂零 -Hall 子群且2 ,若 H 的指数为2 的极大子群 M 在 G 中是 s-正规的,则 G 是可解群.证明 若定理不成立,设 G 为极小阶反例,仿照定理 3 分为 2 种情况讨论可知 G 极小阶反例不存在,故 G 为可解群.参考文献:1Wang Y.c-Normality of groups and its properties J.Journal of Algebra,1996,78(03):954-965.2Zhang X,Guo W,Shum K P.s-normal subgroups of finite groups J.J Applied Algebra&Discrete Structures,2003,1(02):99-108.3赵勇,王坤仁.子群的 s-正规性对群结构的影响J.四川师范大学学报(自然科学版),2007,30(03):280-283.4高辉,高胜哲.某些 s-正规子群对有限群结构的影响J.郑州大学学报(理学版),2011,43(01):7-10.5杨琳,钱方生.有限群可解的两个条件J.哈尔滨师范大学自然科学学报,2013,29(03):16-17.6高建玲,毛月梅.n-极大子群是 s-正规的有限群J.西北师范大学学报(自然科学版),2021,57(02):15-18.7徐明曜.有限群导引M.北京:科学出版社,2001.责任编辑:王 军01商丘师范学院学报 2023 年