凹透镜实现亚波长聚焦的理论和实验研究.pdf

focusingvia concave lens.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2023,55(8):1742-1752XuJun,LiPeng,ShangYan,QianZhenghiuaivaingfeng.The theoretical analysis and experimental investigation of sub-wavelength引用格式：徐军，李鹏，尚闫，钱征华，马廷锋.凹透镜实现亚波长聚焦的理论和实验研究.力学学报，2 0 2 3，55(8)：1 7 4 2-1 7 52固体力学Aug.,2023Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics2023年8 月力Vol.55,No.8第55卷第8 期报学学凹透镜实现亚波长聚焦的理论和实验研究徐军*李鹏*,2)尚闫*钱征华*,+,3)马廷锋*（南京航空航天大学航空学院，航空航天结构力学及控制全国重点实验室，南京2 1 0 0 1 6)t(南京航空航天大学航空学院，直升机动力学全国重点实验室，南京2 1 0 0 1 6)*(宁波大学冲击与安全工程教育部重点实验室，浙江宁波3 1 52 1 1)摘要为了提升传统平面透镜的聚焦效果，增加焦点处的能量，缩小焦斑尺寸，实现亚波长聚焦，文章基于厚度变化设计了用于聚焦平面弯曲波的凹透镜.首先，基于Timoshenko梁理论求解了弯曲波在经历厚度变化后的透射系数及相位变化，并基于此完成了凹透镜的结构设计；其次，应用有限元软件COMSOLMultiphysics的结构力学模块开展了该透镜频域内的工作性能分析，包括聚焦位置及焦点处能量、焦斑尺寸等，并与传统平面透镜的情况进行对比；最后，实验验证了凹透镜设计的合理性和正确性.研究结果表明：文章所设计的凹透镜使平面入射的弯曲波聚焦在预先设定位置，且其性能优于传统的平面透镜，焦点处的能量更高、焦斑尺寸更小；凹透镜的焦斑尺寸小于工作波长的0.5倍，属于亚波长聚焦；此外，该透镜还具有一定的工作频率带宽，在结构参数不变的情况下能够在设计频率附近正常工作.提出的透镜设计方法易于工程实现，且聚焦性能优越，设计思想也能为声波、光波等领域相关透镜的设计提供借鉴。关键词凹透镜，弯曲波，亚波长聚焦中图分类号：0 3 4 3.1文献标识码：Adoi:10.6052/0459-1879-23-148THE THEORETICAL ANALYSIS AND EXPERIMENTAL INVESTIGATION OF SUB-WAVELENGTH FOCUSING VIA CONCAVE LENSI)Xu Jun*LiPengg*,2)Shang Yan*Qian Zhenghua*f,3)Ma Tingfeng*(National Key Laboratory of Aerospace Structural Mechanics and Control,College of Aeronautics,Nanjing University of Aeronautics andAstronautics,Nanjing 210016,China)t(National Key Laboratory of Helicopter Dynamics,College of Aeronautics,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing210016,China)*(Key Laboratory of Impact and Safety Engineering of Ministry of Education,Ningbo University,Ningbo 315211,Zhejiang,China)Abstractt In order to improve working performance of traditional plane lens,i.e.,increase energy at focal point,reducefocusing size,and achieve subwavelength focusing,a concave lens for focusing incident flexural wave is designed basedon the plate thickness variation.Firstly,the transmission coefficient and phase variation are obtained by utilizing theTimoshenko beam theory,based on which the lens design is performed.After that,the working performance of concave2023-04-16收稿，2 0 2 3-0 7-0 3 录用，2 0 2 3-0 7-0 4 网络版发表.1)国家自然科学基金(1 1 9 7 2 2 7 6,1 2 0 6 1 1 3 1 0 1 3,1 2 1 7 2 1 7 1)，宁波大学冲击与安全工程教育部重点实验室开放基金(CJ202104),中央高校基本科研业务费(NS2022011),江苏省自然科学基金(BK20211176)和江苏省双创计划(JSSCBS20210166)资助项目.2)通讯作者：李鹏，教授，主要研究方向为声子晶体和声学超材料.E-mail:lipeng_3)通讯作者：钱征华，教授，主要研究方向为智能材料与结构力学.E-mail:1743徐军等：凹透镜实现亚波长聚焦的理论和实验研究第8 期lens designed is simulated via the frequency analysis in structural mechanics module of COMSOL multiphysics software,including the focal position,energy distribution,focusing size,and so forth,which are further compared with thetraditional plane lens.Finally,the experimental measurements are carried out to further validate and conform the designscheme.It is demonstrated that the concave lens can focus the incident flexural wave at the specific position,with itsperformance better than the plane lens,because energy concentrated is higher and the focusing size is smaller.Specifically,it exhibits subwavelength focusing phenomenon with the focusing size smaller than half wavelength.Additionally,the concave lens is broadband,which can work at a frequency region centered at designed frequency even ifthe whole structure is maintained.The present design scheme is easy realized for engineering application,and theconcave lens exhibits better performance,which can also provide guidance for the lens design in acoustics and optics.Key wordsfocusing lens,flexural wave,subwavelength focusing引言作为声子晶体和超材料的一种典型结构，透镜具有聚焦、偏转和定向传输等功能 1,，是实现声波和弹性波操控的有效工具.以会聚透镜为例，它能够收集声波和弹性波的能量，使其会聚在近场或远场的特定位置，具有很多工程应用.例如，超声聚焦成像技术既可以用于研制高分辨率成像声呐，还能够用于生物医学中的无损创伤治疗 2.弹性波的会聚透镜，可以会聚声波或固体介质中的弹性波，有利于能量的回收及再利用.因此，研究固体介质中透镜的结构设计及弹性波的人为操纵问题，受到了国内外学者的广泛关注透镜大致分为两种，即梯度折射率透镜和超表面透镜 3.折射率数值上等于波在背景场和局部结构中传播速度的比值。梯度折射率透镜一般是基于声子晶体的概念设计而成，通过改变局部单胞沿特定方向的几何结构或材料属性（如晶格尺寸或散射体的尺寸、材料及填充率）从而改变波传播的速度，使其折射率沿空间坐标满足特定的函数规律 4-1 0,从而使波在透镜中会沿着不同的弯曲轨迹进行传播.常见的梯度折射率透镜包括Maxwell鱼眼透镜(Maxwell fish-eye lens)4、L u n e b u r g 透镜(Luneburglens)5-7、贝塞尔透镜(Bessel lens)8、9 0 反转透镜(90 rotating lens)9 和 Eaton 透镜(Eaton lens)9 等.这些透镜一般呈圆形，折射率关于圆心对称分布，所以呈现出较好的全向性。此外,还有一种矩形的梯度折射率透镜，其折射率沿波传播方向保持恒定，而垂直于波传播方向以双曲正切函数变化 1-1 3,当波通过该透镜时，可会聚在透镜内部的固定位置.超表面(metasurface)，有时也被称之为“超构表面，是人工设计的几何厚度远小于工作波长的声学和光学结构 1 4 超表面透镜一般为矩形，是通过人为设计的微结构来调控波的相位分布，使波同时到达聚焦点或在焦点处发生相干干涉从而实现聚焦效果 1 5-1 6.关于超表面透镜的结构设计，其本质在于设计组成透镜的微结构.一般说来，超表面透镜的设计会遵照以下原则 1 7-2 0:(1)通常会将透镜人为地分为若干子通道，波在各个子通道内各自独立传播,互不干扰 1 8-1 9;(2)当设计微结构时，其几何结构或材料属性的改变要使波相位的变化能够覆盖 0,2 元区间 1 7-1 9;(3)当应用超表面调控透射波时，既要满足相位分布，同时还要在不同几何结构或材料属性下获取尽可能高的透射率 2 0,以保证绝大多数的入射波能够通过透镜.现阶段，绝大多数超表面透镜只能实现正常聚焦，即焦斑尺寸大于0.5元（其中入为工作波长)，焦斑尺寸相对较大，不利于能量回收及点源成像.为了缩小焦斑尺寸，实现亚波长聚焦，即使焦斑尺寸小于0.52，一些方法被相继提出，如利用各向异性材料的隧道谐振效应 2 1,将逝波转化为行波 2 2,利用双曲线型或抛物线型等频率线云图的特定频率区间 2 3 等；但这些方法只适用于光波和声波，并不适用于结构中的弯曲波.为了提升传统矩形透镜的工作性能，缩小焦斑尺寸，实现亚波长聚焦，本文提出了曲面弯曲波透镜的设计方法，这是本文的一大创新.这种设计方法使得焦点处能够接收到更多方向的透射波，并间接地缩短了透镜与焦点之间的距离，进而缩小焦斑尺寸，提升聚焦效果首先，本文利用透镜与焦点间的几何关系，介绍了超表面凹透镜的设计原理；其次，应用Timoshenko梁方程得到了厚度与相位的定量化关系，以此完成透镜的结构设计；再次，通过与传统矩形透镜的对力2023年第55卷1744报学学比，从有限元仿真和实验测试两个角度验证了本文设计方案的正确性和可靠性；最后，本文详细分析了凹透镜的宽频特性.本文的设计方法能为声波、光波等领域相关透镜的设计提供借鉴1凹透镜的设计原理为了能够使入射的平面弯曲波聚集到指定位置，通常会在焦点之前设计一个平面透镜，如图1 所示，通过改变波传播的速度或相位，使波同时到达焦点位置或在焦点位置发生相干干涉，从而实现聚焦这种透镜一般能够实现正常聚焦，即垂直于波传播方向的焦斑尺寸大于0.5 1 5-1 6,2 4-2 5.为了提升聚焦效果，本文将传统的平面透镜改进为等长度的凹透镜.这种设计使得焦点处能够接收到更多方向的透射波，如图1 中（这里和为透镜边缘与焦点之间所形成的夹角);同时由于透镜发生了弯曲，与平面透镜相比，以 0 区域的透镜到焦点的距离也随之减小.在上述这两方面因素的共同作用下，焦斑尺寸将被缩小，同时焦点处的能量将得到提高，进而提升聚焦效果.planewaveplanewaveconcavelensfocusingpointFfocusingpointFplanelensplate一plate图1 凹透镜的设计原理Fig.1The design scheme of curving lens为了方便分析，这里将聚焦位置设在x轴上，则透镜关于y=0对称.在设计凹透镜过程中，将整个透镜沿弧形方向划分为2 N+1个独立的子通道C;(i=0,1,2，,M)1 8-1 9,如图2 所示.于是，当弯曲波在透镜中传播时，各通道之间互不干扰.设凹透镜的内外径分别为Rin和Rout;透镜的宽度为L；焦点距离RoutRinCXPLFoutplate之图2 弯曲波传播的路径示意图Fig.2The propagation path of flexural waves透镜右侧L处，为了使平面入射的弯曲波经过透镜后聚焦在（L+Lf，O）处，这里令波沿OPF和IKGF两条路径传播的时间相同，由此可得LoPLPFLrK+LGFLKG(1)十COcocoCi其中，Co和c;分别表示弯曲波在通道Co和C;内传播的相速度；co为波在平板中传播的相速度.由式(1)可得Wdi=o+(Lf-Lrk-LGr)(2)其中，o和i分别表示弯曲波在通道Co和C,内传播的相位变化;为角频率;Lrk和LGF分别为Lrk=Rou-/Rou-y(3)LGF=(Lf-Rin+R这里y;表示通道C,的纵坐标.本文的目的就是要通1745第8 期徐军等：凹透镜实现亚波长聚焦的理论和实验研究过结构设计使凹透镜各通道的相位分布满足式(2).这里需要说明的是：波在通过透镜的各通道后，并不会只沿着图1 中的路径进行传播，而是以各通道的右端点为新的波源向四周辐射，本文采用式(2)进行透镜的结构设计，本质上是要求弯曲波能够在焦点处发生相干干涉，从而形成能量的聚焦.弹性平板中的弯曲波是频散的，其速度与板的厚度直接相关，因此可以通过改变透镜各通道的厚度，进而改变相位以满足式(2).本文接下来将通过理论模型获取透射波相位与厚度的定量关系2理论建模在厚度为ho的板中传播的弯曲波，当遇到厚度为h的透镜子通道时会发生反射和透射，如图3 所示。为了求解透射波的幅值和相位信息，本文采用Timoshenko梁模型开展理论分析，其控制微分方程为 2 6 EI 4w(x,t)184w(x,t)82w(x,t)(1+)十十pA0 x4A0 x20t21 _04w(x,t)=0(4)AE/p0t4其中，w(x,t)为梁的挠度；横截面的面积和惯性矩分别为A=bh和I=bh3/12(这里b和h分别为梁的宽度和厚度);E和p分别为杨氏模量和密度;=2(1+v)/(这里v和分别为泊松比和剪切修正因子);t代表时间.当挠度确定后,梁的转角(x,t)可通过下式得到 2 6-2 8 dp(x,t)8?w(x,t)2 _82w(x,t)(5)x0 x2E/pt2由此可得梁的弯矩M(x,t)和剪力V(x,t)分别为g(x,t)M(x,t)=-EI8x(6)EAow(x,t)V(x,t)p(x,t)式(4)的解可以在国内外很多文献中查阅到，为4z不incidentreflectedXtransmittedwavewavewaveL图3 Timoshenko梁模型Fig.3ATimoshenkobeam了节省篇幅，这里直接给出其解的表达形式，即4w(x,t)=ZGj expi(kjx-wt)(7)j=1其中,G,表示待定系数；i是虚数单位；波速k,通过下式计算得到2W2A(1+)k2=0(8)ElpE/p(E/p这里为了方便分析，用ki和k2分别代表沿x正向和负向传播的行波的波数，用ks和k4分别代表沿x正向和负向传播的衰减波的波数.基于式(4)和式(5),相应的转角、弯矩和剪力分别为Qw2w(x,t)=4)G jexpi(kix-ot)-1(9)M(x,t)=EI4kij=1对于xL的透射波区域，其理论解分别如式(1 0)和式(1 1)所示 2 7-2 8.其中,R和T分别代表反射波和透射波的幅值；R和T分别代表x=0和x=L处沿x轴负向和正向传播的衰减波的幅值；为了避免与0 x0Re(T)2(15)Im(T)3元arctanif Re(T)轴并不是对称的；其次，数值模拟中是针对工作频率2 0 kHz进行仿真的，但实验中激励信号是以2 0 kHz为中心的五波峰信号，存在一定的带宽；再次，本文虽然将金属板放置在中间镂空的实验台架上，但并不能保证金属板处于完全应力自由状态；最后，本文采用换能器进行信号采集，换能器与金属板之间存在一定的接触面积，所提取的电压是该接触面积的电压和 3 2-3 3,而不是接触中心的电压值,这也会给检测结果带来误差.尽管如此，上述实验结果充分证明了本文所设计的凹透镜具有良好的聚焦效果，其焦点处的能量及焦斑尺寸较平面透镜均有一定程度的改善3.3透镜的工作带宽虽然该透镜的工作频率为2 0 kHz，但由弯曲波的传播特性可知，当频率在2 0 kHz附近发生微小改变时，其速度变化并不显著 2 5,3 4.由此可以预测：在结构参数不变的情况下，当工作频率在2 0 kHz附近发生改变时，此透镜仍具有一定的聚焦效果.为了验证这一推测，本文对该凹透镜进行了扫频分析，结果如图9 和图1 0 所示.由图1 0(a)可知：在2 0 kHz工作频率附近,透镜均能将入射的平面弯曲波聚焦；且随着频率的增加，焦点的位置逐渐远离透镜，这是因为频率越高，各通道内弯曲波的传播速度越大，相同时间内其传播的距离就越远.为了量化，本文选择IFf-0.20.52来约束该透镜的工作频率范围(其中Ff表示不同频率下的聚焦位置坐标；0.2 m为理论设计值；入表示不同频率下的波长).如果该式满足，则认为该频率下透镜能够正常工作，反之亦然.应用此判断准则，本文凹透镜的工作频率区间为 1 7.2,25.8kHz;在此频率区间内，随频率的增大,x和y方向无量纲的焦斑尺寸逐渐增大，如图1 0(b)所示，且当频率小于1 9.6 kHz时，除个别频率外，y方向的焦斑尺寸均小于0.5元，属于亚波长聚焦.力17502023年第55卷报学学1 10-12(a)18.0 kHz1 10-12(b)19.0 kHz1 10-12(c)20.8 kHz1 10-12(d)25.8 kHz图9 不同频率下透镜的聚焦效果Fig.9Working performance of the concave lens designed when f varies1.5peak valueof|wl at thefocousingpoint,0.22abscissaoffocal position1.40.211.31.20.200.191.0女0.180.91820222426J/kHz(a)焦点位置及焦点处能量随频率的变化趋势(a)Variations of focal position and energy versus frequency1.55xdirections0.561.50ydirectionsAA0.541.450.521.40441.350.501.300.48441.250.461820222426J/kHz(b)x和y方向的焦斑尺寸随频率的变化趋势(b)Focusing sizes in x and y directions versus frequency图1 0 透镜的性能指标随频率的变化规律Fig.10 Performance indices of the concave lens designed versusfrequency4结论本文基于Timoshenko梁理论，利用厚度变化设计了凹透镜，用于聚焦入射的平面弯曲波，数值模拟和实验结果表明：该透镜聚焦位置准确，焦点能量较高，聚焦效果优于传统平面透镜，主要体现在如下两个方面.(1)由于焦点处可以接收到更多方向的透射波，焦点处的能量约为普通平面透镜的1.3 倍；(2)透镜到焦点的距离有所减小，因此凹透镜的焦斑尺寸比平面透镜小，对于本文的凹透镜，其焦斑尺寸小于0.5元，属于亚波长聚焦.此外，本文的透镜在结构参数不变的情况下能够在设计频率附近工作.由于本文仅利用了厚度变化来进行结构设计，透镜结构相对简单，由单相材料组成，工程易于实现，可避免多相材料所导致的加工复杂及阻抗不匹配等问题.此外，本文的设计思路及结果还可为透镜在无损检测和能量回收等领域的应用提供借鉴和参考参考文献1姜恒，黄国良.弹性波与力学超材料设计与应用专题序.力学学报,2 0 2 2,54(1 0):2 6 7 6-2 6 7 7 (Jiang Heng,Huang Guoliang.Prefaceof theme articles on design and application of elastic wave andmechanical metamaterials.Chinese Journal of Theoretical and Ap-plied Mechanics,2022,54(10):2676-2677(in Chinese)2夏建平，葛勇，孙宏祥等.基于近零折射率材料的声非对称聚焦透镜.声学学报，2 0 1 9,4 4(4):7 6 5-7 7 1(Xia Jianping,GeYong,SunHongxiang,et 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