三角形的角平分线、中线、高线.doc

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三角形的高、中线与角平分线
三维目标
1．了解三角形的高线、中线与角平分线，并能在具体的三角形中作出它们．
2．通过观察、操作、想象、交流等活动，发展空间观念，推理能力和有条理地表达能力．
3．通过折纸、画图等活动，培养学生的动手能力，提高学生的识图技能，使学生的思维变得更灵活．
教学重点:三角形的高、中线与角平分线的定义．
教学难点:对直角三角形和钝角三角形的三条高的认识和理解．
导入课题
活动1．如图1所示：△ABC中，有一条红色线段，一端点在顶点A处，另一端点从点B沿着BC边移动到点C，观察移动过程中形成的无数条线段（AD、AE、AF、AG、…）中，有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？
设计意图：通过数学实验，先给学生感性认识，以此激发学生学习数学的热情．
师生行为：学生思考，回答，教师归纳．
生甲：在这些线段中，有一条线段垂直边BC．
生乙：我观察到，还有一条线段的端点是BC的中点．
生丙：还有一些线段平分∠BAC．
师：很好．同学们通过观察、思考，找到了具有特殊位置的线段：三角形的高线、中线和角平分线，这三条线段是三角形的主要线段．今天我们就来学习：三角形的高、中线和角平分线．
推进新课
活动2．学习三角形的高的概念．
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
设计意图
概括、理解三角形的高，使学生准确把握三角形的高的概念．
师生行为
教师讲解，学生理解．
师：从刚才移动的过程中，知道AG⊥BC，这时，我们说AG是△ABC的高，那么三角形的高是如何定义的呢？
如图2，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为G，所得的线段AG叫做△ABC的边BC上的高（altitude）．
注意：三角形的高是线段．
由定义可知：AG是△ABC的高．那么有∠AGC=90°，∠AGB=90°，∠AGC=∠AGB．
三角形的高是从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线作垂线，那么你能画出△ABC的另两条边上的高吗？
活动3．在△ABC中，画边AC、AB上的高．
设计意图：通过画图、折纸，培养学生的动手能力．
师生行为：教师引领学生复习：过一点如何作一条直线的垂线？学生动手画图．
师：要想作△ABC的另两条边上的高，我们应先知道：过一点如何作一条直线的垂线？
生甲：可以利用折纸的方法，对折直线所在的纸片，使直线重合，折痕过已知点．这条折痕就是过已知点垂直于已知直线的垂线．（甲同学一边叙述，一边演示）
生乙：也可以用三角尺来画，把三角尺的一条直线边与已知直线重合，移动三角尺，使它的另一条直角边经过已知点．画直线，这样即可画出过一点并与已知直线垂直的直线．
生丙：也可以利用量角器来画．
师：很好．同学们回忆了画垂线的几种方法，接下来大家来动手画一画．
活动4．1．四个同学为一个合作小组；
2．每个小组利用教师为其准备的各类三角形，作出它们的高．
比一比，看哪一个小组做得最快，发现的结论多．
设计意图：通过让学生操作、观察、推理、交流等活动，来培养学生的动手、动脑能力，发展其空间观察．
师生行为：学生操作、讨论，教师巡视、指导，使学生理解；
1．锐角三角形的三条高都在三角形内；
2．直角三角形的一条高在三角形内（即斜边上的高），而另两条高恰是它的两条直角边；
3．钝角三角形的一条高在三角形内，而另两条高在三角形外．（这是难点，需多加说明）
总之：任何三角形都有三条高，且三条高所在的直线相交于一点．我们把这一点叫垂心．
活动5．学习三角形的中线的概念．
在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线．
设计意图：让学生理解三角形的中线的概念．
师生行为：老师可以让学生在看书的基础上自己掌握三角形的中线的概念．
如图3，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线．
注：三角形的中线是线段．
由定义知：如果AD是△ABC的中线，那么有BD=DC=BC．
活动6．1．以四个同学为一合作小组．
2．在教师为其准备的各类三角形上画出它们的中线，你会发现什么？
设计意图：
通过本活动，进一步培养学生的动手、动脑能力，发展其空间观察．
师生行为：
学生动手操作、讨论、教师巡视指导，画中线时，可以让学生折纸，也可以让他们用刻度尺．
归纳：一个三角形的中线共有三条，它们存在于三角形的内部，并且三条中线相交于一点，我们把这一点叫做重心．
活动7．1．以四个同学为一合作小组．
2．在一张薄纸上画一个三角形，然后画出它的一个内角的平分线．
想一相：
1．什么是三角形的角平分线？
2．三角形的角平分线与一个角的平分线有何区别？
设计意图：通过其活动，一来让学生理解三角形的角平分线的定义，二来使学生能进一步准确画出一角的平分线．
师生行为：学生动手做，讨论，归纳，教师指导．
生甲：我画了一个三角形，然后用量角器测出一个内角的度数，再画一条射线，使它平分这个角．这样，这条射线就是这个三角形的一个内角的平分线．
生乙：甲组同学讨论的问题，应该画一条线段，使它平分这个内角，因为刚才观察移动过程中形成的都是线段，所以三角形的内角的平分线应该是线段．
生丙：通过折纸的方法也可以得到这个三角形的平分线．
师：很好．同学们利用了各种方法作出了这个三角形的内角的平分线，那么什么是三角形的角平分线呢？
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线（bisector of angle）．
注意：1．三角形的角平分线是一条线段而不是射线，它与一个角的平分线不同．
2．一个内角的平分线与它的对边是相交的，这个角的顶点与交点之间的线段才是这个内角的平分线，即三角形的角平分线．
如图4，AD是△ABC的角平分线．
那么有∠BAD=∠DAC=∠BAC．
活动8．1．让学生分别画出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条角平分线．
2．讨论在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系．
设计意图：培养学生的动手能力、归纳能力．
师生行为：学生动手操作，教师指导．
指明：1．任一个三角形都有三条角平分线，且它们都在三角形的内部；
2．任一个三角形的三条角平分线相交于一点，我们把这点叫三角形的内心．
课堂小结
本节学习了以下重要内容：
1．三角形中三条重要线段：三角形的高、中线和角平分线的概念．
2．学会画三角形的高、中线和角平分线．
布置作业:习题7．1 3、4．
活动与探究
在计算机上用《几何画板》软件画一个任意三角形，再画出它的三条中线，你发现了什么规律？然后随意改变所画三角形的形状，看看这个规律是否改变，三角形的三条高有这个规律吗？三条角平分线呢？
[过程]让学生在计算机上绘图．一来掌握信息技术的应用，二来巩固理解课堂上所学的内容，并再次验证规律．
[结果]三条中线交于一点．任何三角形都有此规律．
任何三角形的三条高所在的直线相交于一点，其角平分线也相交于一点．

备课资料
一、参考例题
【例1】如图5，∠ACE=∠BCE，BD=DC，指出图中三角形的特殊线段．
解：CE是△ABC的角平分线；AD是△ABC的中线；ED是△BEC的中线；CF是△ADC的角平分线．

【例2】如图6，用式子把下列条件表示出来．
（1）AD是△ABC的高；（2）BE是△ABC的角平分线；（3）CF是△ABC的中线．
解：（1）AD是△ABC的高，可以表示为AD⊥BC或∠ADB=90°或∠ADC=90°或∠ADB=∠ADC；
（2）BE是△ABC的角平分线，则可表示为∠ABE=∠EBC或∠ABE=∠ABC或∠EBC=∠ABC；
（3）CF是△ABC的中线，可表示为AF=BF或AF=AB，BF=AB．

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