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完全平方数的性质

能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。

例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,

324,361,400,441,484,…

观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

一、平方数有以下性质：
【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；

（2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；

100，10000，1000000是完全平方数，

10，1000，100000等则不是完全平方数。

（3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。

但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。

【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2

【性质6】奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。

【性质7】平方数的形式一定是下列两种之一：3k,3k+1。【注意：具备以上条件的不一定是完全平方数（如13，21，24，28等）】

【性质8】不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。

【性质9】平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。

例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。

下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。

关于完全平方数的数字和有下面的性质：

【性质10】完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9。

证明 因为一个整数被9除只能是
9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而 (9k)^2=9(9k^2)+0 (9k±1)^2=9(9k^2±2k)+1 (9k±2)^2=9(9k^2±4k)+4 (9k±3)^2=9(9k^2±6k)+9 (9k±4)^2=9(9k^2±8k+1)+7

除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：

【性质11】a^2b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。

【性质12】如果质数p能整除a，但p^2不能整除a，则a不是完全平方数。

证明 由题设可知，a有质因子p，但无因子p^2，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因子的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。

【性质13】在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即
【性质14】一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。

【性质15】完全平方数的约数个数是奇数个。约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。

【性质16】若质数p整除完全平方数a，则p^2|a。

【性质17】任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。
二、重要结论（不是完全平方数的特点）

1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；

2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；

3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；

4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；

5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；

6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；

7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；

8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数

三、个位数与正整数幂

正整数幂的个位与其底数的个位有周期性关系。

【性质1】和的个位数字是诸加项个位数字之和的个位数字.

【性质2】积的个位数字是诸因数个位数字之积的个位数字.

四、例题剖析

【例1】有一个1000位的数,它由888个1和112个0组成,这个数是否可能是一个平方数?

解法一：这个1000位数的各位数字和为：888→24→6，

根据各位数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数判定，此数不是完全平方数。

解法二：设这个1000位数=A，是a的平方的完全平方数，

因为A能被3整除，所以也能被3整除，即A能被9整除，但9不能整除888，

所以A不是完全平方数。

【例2】如果m是整数，那么m的平方+1的个位数可能是（ ）。

解：因为完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，

所以m的平方+1的个位数可能是1，2，5，6，7，0

【例3】有4个不同的数字可共组成18个不同的4位数。将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是完全平方数，倒数第二个也是完全平方数。那么这18个数的平均数是多少?

解：（1）由4个不同的数字可以构成：4*3*2*1=24个不同的4位数，只能构成18个4位数说明含有一个数字“0”，即：3*3*2*1=18。

（2）这些4位数中，最小的为a0bc,次大的为cb0a（其中0<a<b<c）。

（3）完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，

令c=9，则b必须为偶数（试取8），a取1（1+0+8+9=18→9，☆完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9），

得：1089=33的平方，9801=99的平方。

（4）平均数的千位数：（1+8+9）*6/18=6

百、十、个位数：(1+8+9+0)*4/18=4

所求：6444

【例4】1987的1987次幂乘以1988的1988次幂乘以1989的1989次幂的个位数是几？

解：先要确定高次幂的个位数周期

1987的1，2，3，...1987次幂的个位数分别是7，9，3，1，7，9...，周期为7，9，3，1这4个个位数循环，1987÷4...3,所以的个位数为3；

1988的1，2，3，...1988次幂的个位数分别是8，4，2，6，8，4...，周期为8，4，2，6这4个个位数循环，1988÷4...0,所以的个位数为6；

1989的1，2，3，...1989次幂的个位数分别是9，1，9，1，...，周期为9，1这2个个位数循环，1989÷2...1,所以的个位数为9；

所求：个位数是3×6×9的个位数即为2.

总结：（1）和的余数等于余数的和；

（2）差的余数等于余数的差；

（3）积的余数等于余数的积。

【例5】12345678987654321是否是完全平方数.

解：12345678987654321的各位数字和为：36+9+36=81→9
所以是一个完全平方数