经济中的数学函数及模型.doc

一、常用的经济函数1、总成本函数、总收入函数、总利润函数总成本函数是指在一定时期内，生产产品时所消耗的生产费用之总和。常用表示，可以看作是产量的函数，记作 总成本包括固定成本和可变成本两部分，其中固定成本指在一定时期内不随产量变动而支出的费用，如厂房、设备的固定费用和管理费用等；可变成本是指随产品产量变动而变动的支出费用，如税收、原材料、电力燃料等。固定成本和可变成本是相对于某一过程而言的。在短期生产中，固定成本是不变的，可变成本是产量的函数，所以，在长期生产中，支出都是可变成本，此时。实际应用中，产量为正数，所以总成本函数是产量的单调增加函数，常用以下初等函数来表示： （1）线性函数 , 其中为常数. （2）二次函数 ,其中为常数. （3）指数函数 , 其中为常数.平均成本：每个单位产品的成本，即 .总收益函数是指生产者出售一定产品数量（）所得到的全部收入，常用表示，即 其中为销售量. 显然，即未出售商品时，总收益为.若已知需求函数，则总收益的为 平均收益：，若单位产品的销售价格为，则，且.总利润函数是指生产中获得的纯收入，为总收益与总成本之差，常用表示，即 例 某工厂生产某产品，每日最多生产100个单位。日固定成本为130元，生产每一个单位产品的可变成本为6元，求该厂每日的总成本函数及平均单位成本函数.解 设每日的总成本函数为及平均单位成本函数为，因为总成本为固定成本与可变成本之和，据题意有 例 设某商店以每件元的价格出售商品，若顾客一次购买50件以上，则超出部分每件优惠10%，试将一次成交的销售收入表示为销售量的函数。解 由题意，一次售出50件以内的收入为元，而售出50件以上是，收入为 所以一次成交的销售收入是销售量的分段函数 2、 需求函数与供给函数需求量指的是在一定时间内，消费者对某商品愿意而且有支付能力购买的商品数量。经济活动的主要目的是在于满足人们的需求，经济理论的主要任务之一就是分析消费及由此产生的需求。但需求量不等于实际购买量，消费者对商品的需求受多种因素影响，例如，季节、收入、人口分布、价格、等等。其中影响的主要因素是商品的价格，所以，我们经常将需求量看作价格的函数，记为 通常假设需求函数是单调减少的，需求函数的反函数 在经济学中也称为需求函数，有时称为价格函数.一般说来，降价使需求量增加，价格上涨需求量反而会减少，即需求函数是价格的单调减少函数。常用以下简单的初等函数来表示： （1）线性函数 ，其中为常数. （2）指数函数 ，其中为常数. （3）幂函数 ，其中为常数.例 设某商品的需求函数线性函数 ，其中为常数，求时的需求量和时的价格。解 当时，表示价格为零时，消费者对某商品的需求量为，这也是市场对该商品的饱和需求量。当时，为最大销售价格，表示价格上涨到时，无人愿意购买该产品。供给量是指在一定时期内生产者愿意生产并可向市场提供出售的商品量，供给价格是指生产者为提供一定量商品愿意接受的价格，将供给量也看作价格的函数，记为 一般说来，价格上涨刺激生产者向市场提供更多的商品，使供给量增加，价格下跌使供给量减少，即供给函数是价格（）的单调增加函数。常用以下简单的初等函数来表示： （1）线性函数 ，其中为常数。 （2）指数函数 ，其中为常数。供给量也受多种因素影响， （3）幂函数 ，其中为常数。当市场上需求量 与供给量一致时，即，商品的数量称为均衡数量，记为，商品的价格称为均衡价格，记为。例如，由线性需求和供给函数构成的市场均衡模型可以写成 解方程，可得均衡价格和均衡数量： 由于0，,因此有 .当市场价格高于时，需求量减少而供给量增加，反之，当市场价格低于时，需求量增加而供给量减少。市场价格的调节就是利用供需均衡来实现的。经济学中常见的还有生产函数（生产中的投入与产出关系）、消费函数（国民消费总额与国民生产总值即国民收入之间的关系）、投资函数（投资与银行利率之间的关系）等等。例 已知某商品的需求函数和供给函数分别为 求该商品的均衡价格。解 由均衡条件可知 所以均衡价格价格为 例 已知某产品的价格为元，需求函数为，成本函数为元，求产量为多少时利润最大？最大利润是多少？解 因为需求函数为，所以收益函数为 利润函数因此，时利润最大，且最大利润是30元。 二、 边际 由导数定义知，函数的导数是函数的变化率。在经济分析中，经济函数的变化率（因变量对自变量的导数），通常称为“边际”. 在经济问题中，经常用到年产量的变化率、成本的平均变化率等概念。设函数在点处可导，则在区域内的平均变化率为，瞬时变化率为 定义：设函数在点处可导，则称为的边际函数，在处的导数值为边际函数值。由微分的概念可知，当自变量的改变量很小时有，但在经济应用中，最小的改变量可以是一个单位，即，所以有 这说明在点处当产生一个单位的改变时，函数近似改变了个单位。（1）边际成本设总成本函数为，则称其导数为产量为时的边际成本，记做。即边际成本函数为.由于，当时，因此产量为时的边际成本的经济意义为：近似等于当产品的产量生产了个单位时，再生产一个单位产品时所需增加的成本数。显然，边际成本与固定成本无关。平均成本的导数为边际平均成本。（2）边际收入设总收益函数为，则称其导数为销售量为时的边际成本，记作，即.其经济含义是：假定已销量为个单位，再销售一个单位产品，所增加的收益为.（3）边际利润设总利润函数，对的导数称为边际利润，记作，即边际利润函数为.销量为时的边际利润的经济意义为：假定已销量为个单位，再销售一个单位产品，所增加的利润为。一般情况下，总利润等于总收益函数与总成本函数之差，即=，边际利润为，即边际利润等于边际收益与边际成本之差。例1设某单位每月生产的产品固定成本为元，生产个单位产品的变动成本为元，若每单位产品的售价为40元，求边际成本；边际收益及边际利润；并求边际利润为零时的产量.解 由题设知： 总成本函数 总收益函数 总利润函数 边际成本 边际收益 边际利润 令，得即每月产量为1500个单位时，边际利润为零。这说明，当月产量为1500个单位时，再多生产一个单位产品不会增加利润. 例 设某厂每月生产产品的固定成本为1000元生产个单位产品的可变成本为（元），若每个产品的售价为30元，求边际成本、边际利润及边际利润为零时的产量。解 因为总成本函数为 所以，边际函数为 又收益，所以利润函数 所以在经济函数中，总体、边际和平均三者的关系是很重要的研究对象。例 设总成本函数为，求它的边际总成本函数、平均成本和边际平均成本函数。解 因为 而边际平均成本函数 一般由可分析经济活动。如和都是开口向上的二次抛物线，且相交于点，当时，而边际平均成本函数此时为零。（如图）在交点的左边曲线位于曲线的下方，在交点的右边曲线位于曲线的上方，利用这种“边际平均”关系，有助于企业安排生产，如交点的左边的情况说明生产力还没有充分发挥，有潜力可挖。三、弹性1、函数的弹性定义 设函数在点可导，且，则极限 称为函数在点处的弹性，记作： 或或.即函数在处的弹性，记做 或 由于因此，函数的弹性也可以表示为函数 的微分与函数 的微分之比: 由于函数的弹性 是自变量与因变量的相对变化而定的，它表示函数改变幅度的大小，即表示（实质上是近似地表示）当自变量由起始改变1% 时函数相应改变的百分数.例2 求函数 的弹性.解 由于，所以 特别地，函数的弹性为，函数的弹性为.2、 需求价格弹性弹性概念是经济学中的另一个重要概念，它所描述的是一个经济变量对另一个经济变量的反应程度。设某商品的需求函数为，其中为价格，为需求量。由弹性的定义可知，极限称为需求量对价格的弹性，简称需求价格弹性. 记作，即 表示需求量对价格的相对变化率，即对变动的反应程度，因为需求函数为价格的减函数，价格上升时需求量下降，价格下降需求量反而上升，所以一般为负值，其经济意义为：（1）当某商品的价格上涨1%时，需求量减少%；（2）当某商品的价格下降1%时，需求量增加%因此，需求价格弹性反映了当前价格变动对需求量变动的反应程度. 当时，需求弹性大，价格的变动对需求量的影响较大，即价格的升降所引起的需求量变动的幅度大于价格变动的幅度。当时，需求弹性小，价格的变动对需求量的影响较小，即价格的升降所引起的需求量变动的幅度小于价格变动的幅度。当时，称为单位弹性，此时价格变动的幅度与需求量变动的幅度相同。此外还有两种特殊情况：为完全无弹性，即价格无论如何变化，需求量都不变；为完全有弹性，此时价格只要有任何微小的变化，对需求都有很大的影响。 在经济分析中，利用商品的需求价格弹性，可以给出使总收益增加的经营策略.设是某商品的需求函数，则总收益函数：于是，对的导数是关于价格的边际收益， 即边际收益 上式给出了关于价格的边际收益与需求价格弹性之间的关系：（1） 若时，称该商品为低弹性需求. 这时需求量减少的幅度小于价格上涨的幅度，因此，边际收益.此时，提价使总收益增加，降价总收益减少.（2）若时，称该商品为高弹性需求. 这时需求量减少的幅度大于价格上涨的幅度，因此，边际收益.此时，提价使总收益减少，降价总收益增加.（3）若时，称该商品为单位弹性需求. 这时需求量减少的幅度等于价格上涨的幅度，因此，边际收益,总收益保持不变. 此时，总收益取得最大值.例 已知某产品的需求函数为，求需求弹性，并讨论价格在10元时弹性的大小。解 因为 当价格元时，需求弹性大，此时价格增加1%，需求量将下降20%例 某企业根据市场调查，已知某商品的需求函数为，试讨论其弹性的变化情况。解 因为 由可得，当时有，表示价格在这一范围内需求弹性小，需求量增加的幅度小于价格减少的幅度，此时采用降价措施会使企业收益减少。当时有，表示价格在这一范围内需求弹性大，需求量减少的幅度小于价格增加的幅度，此时采用提价措施也会使企业收益减少。在市场经济中，商品经营者所关心的是提价（）或降价（）对总收益的影响，事实上，由于 即 当价格的微小变化（很小）而引起的销售收益的改变量为 因为，所以从而有 由此可分析：当（弹性大）时，降价（）可使总收益增加（）； 当（弹性小）时，降价（）可使总收益减少（）。例3 设某商品的需求函数为，求时的需求价格弹性，解释经济意义,并说明这时提高价格对总收益的影响.解 需求价格弹性当时, ，为低弹性商品. 当时，说明在价格时若价格上涨(或下降)，需求量将由75个单位起减少(或增加)。此时，提价总收益增加，降价总收益减少.当时,. 当,说明在价格时需求量减少的幅度等于价格上涨的幅度，总收益保持不变。此时总收益取最大值.当时, . 为高弹性商品。当时,说明在价格时若价格上涨(或下降),需求量将从25个单位起增加(或减少). 此时，提价总收益减少，降价总收益增加.3、收益价格弹性设商品的总收益函数为，由弹性的定义可知，则收益的销售弹性与收益价格弹性分别为： 与 收益的销售弹性的经济意义为：销售量在处时，若销售量增加 ，则当(或)时,总收益增加（或减少）.收益的价格弹性的经济意义为：价格在处时，若价格上涨 ，则当(或)时,总收益增加（或减少）.若商品的需求函数、总收益函数分别为：，则从而有以上四个式子描述了收益的销售弹性，收益的价格弹性，关于价格的边际收益，关于销量的边际收益与需求价格弹性之间的关系. 在经济应用中经常利用这些结论进行经济分析.例4 设某产品的需求函数为，求时的收益价格弹性，并说明其经济意义.解 因为 所以这说明价格在时,若价格上涨,总收益增加.习题1、已知市场均衡模型,求均衡价格和均衡数量,并画出图形:（1） （2） 2、生产某产品,年产量不超过500台时,每台售价200元,可以全部售出;当年产量超过500台时,经广告宣传后又可再售出200台,每台平均广告费20元;生产再多,本年就售不出去,试将本年的销售收益为年产量的函数.3生产某新产品,固定成本为万元,每生产一吨产品,总成本增加万元，试写出总成本的函数,并求边际成本的函数.4设某产品的价格函数为其中P为价格，为销售量，求：（1）销售量为15个单位时的总收益，平均收益与边际收益.（2）销售量从15个单位增加到20个单位时收益的平均变化率.5、求下列函数的弹性（1） （2）6、设函数 的弹性存在,证明：（1）；（2） 7、已知某产品的需求函数为 （1）求需求价格弹性；（2）分别求当时需用求价格弹性，作出经济解释，并说明这时价格变动对总收益的影响.8、 某产品需求函数为求需求价格弹性，并作出经济解释.9、设供给函数为求供给价格弹性，及时的供给价格弹性.10、设需求函数，求（1）时的需求价格弹性,并说明其经济意义.（2）时的收益价格弹性,并说明其经济意义.（3）时的收益销售弹性,并说明其经济意义.四、经济最值问题 1.平均成本最低问题在生产实际中，常遇到这样的问题，在给定的生产规模条件下，如何确定产出量才能使平均成本最低.设厂商生产某产品的总成本函数为，为产出量；由平均成本有，由极值存在的必要条件（费马定理）知，使平均成本为最小的产出量应满足从而有，这就是经济学中的一个重要结论：使平均成本最低的产出量，正是使边际成本等于平均成本时的产出量.例1 设生产某产品的总成本函数为，求平均成本最低时的产出水平.解 因为 令，得，所以为极小值点，即当产出水平为2时，平均成本最低，此时.2、最大利润问题（税前或免税情况）设总收益函数为，总成本函数为，则利润函数.如果已知需求函数，则先求的驻点，即，即，如果，则就是最大值点.于是有：最大利润原则：在获得最大利润时的产出量处，边际收益等于边际成本.例2 某产品的需求函数为，总成本函数为，求厂方取得最大利润时产品的产出量和单价.解 总收益函数为利润函数,得唯一驻点，又，是最大值点，此时.因此，当产品的产出量为3，单价为28时，厂方取得最大利润.3、最大利润（税后情况）和最大征税收益问题设政府以税率（单位产品的征收税额）对厂方的产品征税，厂商在纳税的情况下仍以最大利润为目标，而政府也要确定税率以使征税收益最大.此时利润函数 ，其中税款.下面记以税率纳税后厂方获得最大利润时产品产出量为，单价为，征税收益.例3 某产品的需求函数和总成本函数分别为：， 政府对产品以税率征税，求：（1）厂方以税率纳税后，获得最大利润时产品的产出量和单价，以及征税收益.（2）和时，分别求厂方获得最大利润时产品的产出量和单价，以及征税收益.（3）税率为多少时，征税收益最大？此时产品的产出量和单价为多少？ 解 （1）纳税后的利润函数得唯一驻点，又，所以是最大值点，此时 因此，以税率纳税时，当产量，单价时，厂方获得最大利润，此时征税收益.（2）把代入上述各值，得，再把代入，得，.注 时，代入即可得到与例2一样的结果.(3) 由征税收益，得唯一驻点.又，所以为最大值点.因此，当税率时，征税收益最大，此时征税收益因此，当税率时，征税收益最大为27，此时产品产出量为1.5，单价为34.注 当免税时，产品单价为28，当厂方以税率18纳税时，产品单价为34，在税款为27中，顾客承担的部分为，而厂方承担.4、最优批量问题设在一个计划期内（如一季度，一年），某超市销售某商品的总量为，分几批订购进货（每批订购数量称为批量）.批量多，即订购的批次少，订购的费用就少，但库存保管费用就增多.我们的问题是，如何确定最优批量，使订购费和库存保管费之和最少.已知总量，设批量为，则订购批次为，订购费用=每批订购费.在库存保管方面，总假设商品是由仓库均匀提取投放市场.在每一批订购进库的周期内，开始一天库存量最大（为批量），最后一天用完为零（紧接第二批订购进库）。在这种假设下，平均库存量为批量的一半，库存保管费=每件库存费.例4 设某商场计划一年内销售某商品10万件，每次订购费用100元，库存保管费为每件0.05元，求最优批量使订购费用与库存保管费用之和最小.解 设批量（每批订购数量）为，则分批订购，总费用解得唯一驻点，因为，为最小值点.故最优批量为2万件（即最优批次批），可使总费用最小.习题1、生产某产品的总成本（万元/单位），求平均成本最小时的产出量，以及最低平均成本和此时的边际成本.2、设厂方生产某产品的总成本函数为（万元），需求函数为（万元/吨），政府以税率（万元/吨）对该产品征税，厂方以最大利润为目标（1）以税率纳税后，求厂方获得最大利润时产品的产出量和单价，以及征税收益.（2）时（免税），求厂方获得最大利润时产品的产出量和单价，以及征税收益.（3）为多少时，征税收益最大？此时产品的产出量和单价为多少？最大征税收益为多少？3、某超市年销售某商品5000台，每次进货费用40元，每台单价和库存保管费率分别为200元和，求最优批量使总费用最小.4、某工厂年计划生产某产品100万件，每批生产需增加生产准备费1000元，每件库存费0.05元，假设库存是均匀的，问应分几批生产能使总费用最小？五、偏导数在经济学中的应用一元函数微分学中边际和弹性分别表示经济函数在一点的变化率和相对变化率，这些概念可以推广到多元函数微分学中，并赋予了更丰富的经济含义，这里简单介绍多元函数边际问题和偏弹性概念.1、边际问题 一元函数的导数在经济学中称为边际函数，同样地，二元函数的偏导数分别称为函数对x与y的边际函数，边际函数在该点的值称为边际函数值，边际函数的概念可以推广到多元函数上.（1）边际产量 在西方经济学中，柯布-道格拉斯生产函数为L，K分别表示投入的劳动力数量和资本数量，Q表示产量，Q是L,K的二元函数。即当劳动力投入保持不变，而资本投入发生很小改变所引起的产出量的变化，这正是我们所说的产出量对资本要素的边际，即产量的变化率为： （表示关于资本的边际产量函数） 当资本投入保持不变，而劳动力投入发生变化时，产量的变化率为： （表示关于劳动的边际产量函数）例9 某企业的生产函数为，其中Q是产量（单位：件），K是资本投入（单位：千元），L是劳动力投入（单位：千工时）。求当L=8，K=9时的边际产量，并解释其意义.解 资本的边际产量 劳动力的边际产量 当L=8，K=9时，产量所以，当L=8，K=9时，边际产量为： 这说明，在劳动力投入8千工时和资本投入9千元时，产量是2400件，若劳动力投入保持不变，再增加一个单位资本投入增加的产量为件；当资本投入保持不变时，再增加一个单位劳动力投入增加的产量为200件.（2）边际成本与边际利润 某工厂生产甲、乙两种产品，当两种产品的产量分别为（单位：kg）时，总成本（单位：元）总收益、总利润均为甲、乙两种产品产量的二元函数，即总成本函数为，总收益函数为，总利润函数为 这些函数分别对与的偏导数就是甲、乙两种不同产品的边际成本，边际收益和边际利润.例10 某工厂生产甲、乙两种不同的产品，其产量分别为，总成本为： （1）求两种不同产品的边际成本；（2）求当时，两种产品的生产边际成本；（3）当出售两种产品的单价分别为80元和100元时，求每种产品的边际利润.解 （1）甲产品的边际成本为 乙产品的边际成本为 （2） （3）利润函数： 对的边际利润分别为： 2、偏弹性一元函数在处的弹性为它表示在处的相对变化率，可以类似地将它推广到多元函数上，从而就有偏弹性的概念，即偏弹性是多元函数关于某个自变量的相对变化率。设函数在点处的偏导数存在，若，则称和分别为函数在点处对和的偏弹性，即表示保持不变，的相对变化率，表示保持不变，的相对变化率.下面以需求函数为例，介绍偏弹性的经济学意义.设甲和乙是两个有关联的商品，为各自的单位价格，和为各自的需求量，则甲和乙的需求函数分别为： 商品甲和乙的需求量和，对自身价格和的价格偏弹性分别为： 称为甲商品需求量自身价格的直接价格偏弹性；称为乙商品需求量自身价格的直接价格偏弹性.商品甲和乙的需求量和对相互交叉价格的价格偏弹性分别为： 称为甲商品需求量对相关价格的交叉价格偏弹性；称为乙商品需求量对相关价格的交叉价格偏弹性.如果商品甲的需求对商品乙的交叉价格偏弹性或则表示当甲商品的价格不变，而乙商品的价格上升时，甲商品的需求量将相应地减少，这时称甲商品和乙商品是相互补充的关系.如果或则表示当甲商品的价格不变，而乙商品的价格上升时，甲商品的需求量将相应地增加，这时称甲商品和乙商品之间是相互竞争（相互替代）的关系.如果交叉价格偏弹性等于零，则两种商品为相互独立的商品.例如，计算机和软盘这两种商品是相互补充的关系，用交叉价格偏弹性来表述就有或摩托车和电动自行车这两种商品的关系就是相互竞争的关系，用交叉价格偏弹性来表述就有 或例11 某款小汽车的销售量除与它自身的价格（单位：万元）有关外，还与其配置系统价格（单位：万元）有关，具体关系为：当时，求（1）销售量对自身价格的直接价格偏弹性；（2）销售量对相关价格的交叉价格偏弹性.解 （1）销售量对价格的直接价格偏弹性： 当时，销售量对自身价格的直接价格偏弹性为：（2）销售量对相关价格的交叉价格偏弹性为：当时，销售量对相关价格的交叉价格偏弹性为：（3） （4）六、微分方程在经济学中的应用微分方程在经济学中有着广泛的应用，下面给出几个常见例子.例1 求逻辑斯谛（logistic）方程的通解，其中是常数，是常数且.解 由于，分离变量，得，两边积分，得，所以逻辑斯谛方程通解为图9-1 逻辑斯谛曲线，.该解的图形（图9-1）称为逻辑斯谛（logistic）曲线.逻辑斯谛方程在经济学、生物学等学科中有着广泛的应用：当变量的变化率与其时的值及（是饱和值）都成正比时，则是按逻辑斯谛曲线变化的.例2 人口增长模型某地区，在任何时刻人口的增长率是常数；或者说单位时间内人口增长的数量与当时人口数成正比，且比例系数为常数. 若当时的人口数为，则有初值问题或 这是可分离变量的微分方程，易求得初值问题的解为这就是人口增长的指数模型.显然，若人口随时间按指数增长，这种增长是人类无法承受的，该模型忽略了资源与环境对人口增长的限制. 若考虑资源与环境的因素，可将模型中的常数视为人口数的函数，且应是的减函数. 特别当达到某一最大允许值时， 应有增长率为零，当人口数超过时，应发生负增长. 由此，可令，是常数.那么，微分方程的初值问题即为若将上式中看作逻辑斯谛方程中的比例系数，是饱和值，该微分方程也是逻辑斯谛方程，其通解为.将，代入上式，得，则人口增长模型为.显然.若适当选择模型中的参数，可利用该模型预测未来人口数. 实际上，除人口外，上述模型还可用来讨论一般生物群的变化率.例3 技术推广模型一项新技术要在总数为个的企业群体中推广，为时刻已掌握该项技术的企业数. 新技术推广采用已掌握该项技术的企业向尚未掌握该项技术的企业扩展，若推广的速度与已掌握该项技术的企业数及尚未掌握该项技术的企业数成正比. 求所满足的微分方程，并求方程的解.解 新技术的推广速度为，依题意设，其中是比例系数.显然，这是逻辑斯谛方程，方程中的是饱和值，该方程的通解为，是常数这就是技术推广模型.例4 商品销售模型设某产品的销售量是时间的函数，如果该商品的销售量对时间的增长率与销售量及接近于饱和水平的程度之积成正比（为比例常数，为饱和水平），且求 （1）销售量的表达式； （2）求增长最快的时刻.解 （1）由题意.显然，这是逻辑斯谛方程，其通解即销售量的表达式为.由，得.故.（2）由上式可得，令，得，显然当时，；当时，.所以，当时，的导数取得最大值，增长速度最快.例5 价格调整模型设某商品的需求函数与供给函数分别为，（为正常数）.再假设商品价格为时间的函数，已知初始价格为，且在任意时刻，价格的变化率总与这一刻的超额需求成正比（比例常数为）. （1）求供需相等时的价格（即为均衡价格）； （2）求价格的表达式； （3）分析价格随时间的变化情况.解 （1）由，得.（2）由导数的意义知即这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为由，得故价格的表达式为.（3）由于与均为常数，所以在时间时，因此 可见，当时间推移至一定时候，价格的均衡偏差趋于零，价格趋向于均衡价格. 习题1、在理想情形下，人口数以常数比率增长，若某地区人口在1990年为3000万，在2000年为3800万，试确定在2020年的人口数.2、某商品的净利润随广告费用的变化而变化，假设它们之间的关系式可用如下方程表示其中均为常数，当时，求与的函数关系式.3、某商品的需求量对价格的弹性为. 如果该商品的最大需求量为10000件（即时），试求：（1）需求量与价格的函数关系；（2）当价格为1时，市场对该商品的需求量.4、某公司年净资产有（万元），并且资产本身每年以5%的连续复利速度持续增长，同时该公司每年以30万元的数额支付职工工资.（1）给出描述净资产满足的微分方程；（2）求解微分方程，并设初始净资产为；（3）讨论=500万元、600万元、700万元三种情况下的变化特点.5、某商场的销售成本和存储费用均是时间的函数. 如果销售成本对时间的变化率是存储费用的倒数与常数5之和，而存储费用对时间的变化率是存储费用的倍，且有，. 求销售成本及存储费用关于时间的函数关系式.6、宏观经济研究发现，某地区的国民收入、国民储蓄和投资均为时间的函数，且在任一时刻，储蓄额为国民收入的倍，投资额是国民收入增长率的倍，如果（亿元），且在时刻的储蓄额全部用于投资，求国民收入函数.10、已知某商品的需求价格弹性，且该商品的最大需求量为100，试求需求函数.11、某银行账户以当年余额的5%的年利润连续每年盈取利息，假设最初存入的数额为10000元，并且这之后没有其他数额存入和取出，给出账户中余额所满足的微分方程，以及存款到第10年的余额.12、制造和销售成本与件数的关系如下其中均为常数. 当时，求.13、某池塘养鱼，最多能养1000条. 鱼数是时间的函数，且变化速度与鱼数及之积成正比. 现已知在该池塘内养鱼100条，3个月后有250条，求放养鱼数与时间的函数关系，并求放养6个月后有多少条鱼.14、如果国民生产总值与时间有关，且国民生产总值每年的递增率为10%. 以今年为基数，此时国民生产总值为，问几年后能使国民生产总值翻两番?15、设为时刻的储蓄，为时刻的投资，为时刻的国民收入.多马（Domar,E.D）提出下面宏观经济增长模型其中，称为储蓄率，称为率加速数，为初期的国民收入，求. 16、已知某商品需求量与供给量都是价格的函数. 其中为常数，价格是时间的函数，且满足，为正常数假设当时，价格为1，试求：（1）需求量=供给量时的均衡价格；（2）价格函数； （3）.七、差分方程在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的. 例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，国民收入按年统计等等. 通常称这类变量为离散型变量. 描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型，差分方程是研究它们之间变化规律的有效方法.本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，差分方程在经济中的简单应用，与微分方程类似.1 差分方程的基本概念一、差分设函数，当自变量取离散的等间隔整数值，则相应的函数值列为简记为即.定义1 设函数，当自变量从变到时，相应的函数值的改变量称为函数在处的一阶差分，记作.按一阶差分的定义，可以定义函数的高阶差分.定义2 函数在处的一阶差分的差分称为函数在处的二阶差分，记作，即.依次定义函数在处的三阶差分为 .一般地，函数在处的阶差分定义为.二阶以及二阶以上的差分称为高阶差分.例1 设，求.解 ， 注 二阶差分也可由公式计算. 二、差分方程最常见的两类差分方程：例1（等差数列）公差为的数列，满足， （1）通项， （2） 例2（等比数列） 公差为的数列，满足， （3）通项， （4）方程(1)，（3）就是差分方程，（2），（4）分别是它们的解.定义3 含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程.差分方程中，未知函数最大下标与最小下标之差（或含有差分的最高阶数）称为差分方程的阶.定义4 阶差分方程一般形式 （5）或 （6）其中，（5）式中的在方程中一定出现，（6）式中的在方程中一定要出现.注意 在一个差分方程中由（5）式定义的阶数与将该方程化为（6）的形式后所定义的阶数不一定相同.例如，差分方程按（5）式应是二阶差分方程，由于 因此该方程可化为按（6）式定义应为一阶差分方程,所以今后讨论差分方程的阶数按（6）式的定义.例3 判断下列差分方程的阶数.（1） （2）（3） （4）.解 方程（1），（2），（3）都是二阶差分方程，实质是同一差分方程.方程（4）含有三阶差分，但可化为因此，它是二阶差分方程.定义5 若阶差分方程可以表为如下形式 （8）则称为阶线性差分方程，其中和均为自变量是的已知函数.且， 当时，方程（8）称为阶非齐次线性差分方程.当时， （9）称为阶齐次线性差分方程，或方程（8）对应的齐次方程.例如，方程是二阶非齐次线性差分方程，而 是对应的齐次方程.三、差分方程的解定义6 任何代入差分方程后使其成为恒等式的函数，都称为该差分方程的解.定义7 若在差分方程的解中，含有与该方程的阶数相同的个数且相互独立的任意常数，则称这个解为差分方程的通解.通解中给任意常数以确定值的解，称为该差分方程的特解. 确定通解中任意常数的条件，称为初始条件或定解条件.例4 设差分方程，验证是差分方程的通解，并求满足的特解.解 将代入方程，左边=右边，所以是方程的解，该方程是一阶差分方程，且含一个任意常数，故为方程通解.将代入，得，即为所求特解.注 微分描述变量变化的连续过程，差分描述变量变化的离散过程，两者之间的关系如下： 所以，差分方程与微分方程在概念、解的结构及求解方法等很多方面相似. 下面以二阶常系数线性差分方程为例.定义8 二阶常系数线性差分方程的一般形式为， （10）其中为常数，且，为的已知函数. 当时，方程（10）又称为二阶常系数非齐次线性差分方程.当时， （11）称为二阶常系数齐次线性差分方程或方程（10）对应的齐次方程.定理1 若函数，是二阶齐次线性差分方程（11）的解，则，也是该方程的解，其中、为任意常数.定理2（齐次线性差分方程解的结构定理） 若函数，是二阶齐次线性差分方程（11）的线性无关特解，则是该方程的通解，其中、为任意常数.定理3（非齐次线性差分方程解的结构定理） 若是二阶非齐次线性差分方程（10）的一个特解，是齐次线性差分方程（11）的通解，则差分方程（10）的通解为定理4（解的叠加原理） 若函数，分别是