数学尖子生培优训练探索数与式的规律—探究题开放题猜想题.doc

数学尖子生培优训练探索数与式的规律探究题、开放题、猜想题1. (2007 四川省资阳市) 设a1=32-12，a2=52-32，an=(2n+1)2-(2n-1)2 （n为大于0的自然数）（1） 探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2） 若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数” 试找出a1，a2，an，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由） 2(2009 四川省凉山州) 我们常用的数是十进制数，如，数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中等于十进制的数6，等于十进制的数53那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？3. (2009 四川省凉山州)观察下列多面体，并把下表补充完整名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱图形顶点数61012棱数912面数58观察上表中的结果，你能发现之间有什么关系吗？请写出关系式4. (2009 广东省佛山市) （1）有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数？A B C D E问题的答案是（只需填字母）： ；（2）如果一个数与相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式表示）.5. (2009 安徽省) 观察下列等式： （1）猜想并写出第个等式； （2）证明你写出的等式的正确性6. (2009 甘肃省白银九市) 若，试不用将分数化小数的方法比较a、b大小观察本题中数a、b的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论7(2009 湖南省张家界市) 有若干个数，第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为，若，从第二个数起，每个数都等于1与前面那个数的差的倒数（1）分别求出的值 （2）计算的值8. (2008 广东省湛江市) 先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题 (1) 计算 （2）探究 （用含有的式子表示）（3）探究并计算：（4）若 的值为，求的值9. (2007 贵州省贵阳市) 如图，平面内有公共端点的六条射线，从射线开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，172839410511612（1）“17”在射线 上（3分）（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律（3分）（3）“2007”在哪条射线上？（3分）10. (2007 山东省东营市) 根据以下10个乘积，回答问题：1129； 1228； 1327； 1426； 1525；1624； 1723； 1822； 1921； 2020（1）试将以上各乘积分别写成一个“22”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来； （3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论（不要求证明）11. (2007 山东省德州市) 根据以下10个乘积，回答问题：（1）试将以上各乘积分别写成一个“”（两数平方差）的形式，并将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（2）若乘积的两个因数分别用字母表示（为正数），请观察给出与的关系式（不要求证明）（3）若用，表示个乘积，其中，为正数请根据（1）中乘积的大小顺序猜测出一个一般结论（不要求证明）12. (2007 浙江省舟山市) 给定下面一列分式：，（其中x0）（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？（2）根据你发现的规律试写出给定的那列分式中的第7个分式