数学尖子生培优训练探索数与式的规律—探究题开放题猜想题.doc

数学尖子生培优训练探索
数与式的规律—探究题、开放题、猜想题
1. (2007 四川省资阳市) 设a1=32-12，a2=52-32，…，an=(2n+1)2-(2n-1)2 （n为大于0的自然数）．
（1） 探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
（2） 若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”． 试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由） ．

2．(2009 四川省凉山州) 我们常用的数是十进制数，如，数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中等于十进制的数6，等于十进制的数53．那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？

3. (2009 四川省凉山州)观察下列多面体，并把下表补充完整．
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
图形

顶点数
6

10
12
棱数
9
12

面数
5

8
观察上表中的结果，你能发现之间有什么关系吗？请写出关系式．

4. (2009 广东省佛山市) （1）有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数？
A． B． C． D． E．
问题的答案是（只需填字母）： ；
（2）如果一个数与相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式
表示）.

5. (2009 安徽省) 观察下列等式：……
（1）猜想并写出第个等式；
（2）证明你写出的等式的正确性．

6. (2009 甘肃省白银九市) 若，，试不用将分数化小数的方法比较a、b大小．
观察本题中数a、b的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论．

7．(2009 湖南省张家界市) 有若干个数，第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为，若，从第二个数起，每个数都等于1与前面那个数的差的倒数．
（1）分别求出的值． （2）计算的值．

8. (2008 广东省湛江市) 先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．

┅┅
(1) 计算 ．
（2）探究 ．（用含有的式子表示）
（3）探究并计算：．
（4）若 的值为，求的值．

9. (2007 贵州省贵阳市) 如图，平面内有公共端点的六条射线，，，，，，从射线开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．

1
7
2
8
3
9
4
10
5
11
6
12
（1）“17”在射线 上．（3分）
（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律．（3分）
（3）“2007”在哪条射线上？（3分）

10. (2007 山东省东营市) 根据以下10个乘积，回答问题：
11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25；
16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20．
（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）

11. (2007 山东省德州市) 根据以下10个乘积，回答问题：

（1）试将以上各乘积分别写成一个“”（两数平方差）的形式，并将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（2）若乘积的两个因数分别用字母表示（为正数），请观察给出与的关系式．（不要求证明）
（3）若用，，，表示个乘积，其中，，，为正数．请根据（1）中乘积的大小顺序猜测出一个一般结论．（不要求证明）

12. (2007 浙江省舟山市) 给定下面一列分式：…，（其中x≠0）
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律．试写出给定的那列分式中的第7个分式．