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第二讲 三相交流感应发电机的数学模型
三相交流异步发电机是一种通过定、转子绕组间的电磁耦合来实现机械能-电能的能量转换装置。研究三相交流异步发电机的电磁关系是了解三相交流发电机运行问题的理论基础，为风电机组联网运行分析奠定理论基础，对解决风电机组联网运行问题具有重要的意义。
2.1 坐标下的有名值方程
2.1.1理想电机
为了便于定量分析三相交流电机的能量转换过程，本节基于理想电机假设，建立了三相交流异步电机的数学模型，即假设：
1) 电机铁心的导磁系数为常数，即忽略铁心磁饱和、磁滞的影响，也不计涡流及集肤作用等的影响；
2) 对纵轴及横轴而言，电机转子在结构上是完全对称的，即电机磁路在空间上完全对称；
3) 定（转）子三个绕组的位置在空间上互相相差120°电角度，三个绕组在结构上完全相同；
4) 定子绕组和转子绕组均在气隙空间中产生正弦分布的磁动势；
5) 只考虑气隙基波磁场的作用；
6) 电机定、转子表面光滑。
在此基础上，对定、转子绕组回路电压电流正方向、定、转子电流与磁链正方向等做如下规定：
1） 定子绕组电压、电流正方向遵循发电机惯例；
2） 转子绕组电压、电流正方向遵循电动机惯例；
3） 定子负值电流产生正值磁链；转子正值电流产生正值磁链。
子按逆时针方向旋转，空间分布纵向剖面

图2-1 三相交流电机定、转子绕组空间分布纵向剖面示意图
图中：sA和sA’、sB和sB’、sC和sC’分别表示A、B、C三相定子绕组；ra和ra’、rb和rb’、rc和rc’分别表示a、b、c三相转子绕组；定子A相绕组轴线正方向为空间位置参考方向即sD轴，转子绕组a相轴线即ra轴超前sD轴qr电角度。
2.1.2电压方程
根据上述正方向规定，可以得到如图2-2所示的三相交流感应发电机绕组电路模型，据此可以得到如式（2-1）-（2-2）所示的定、转子电压方程。

（a）定子绕组等值电路 （b）转子绕组等值电路
图2-2三相交流发电机定转子绕组电路模型（单相）

定子电压方程：

(2-1)

转子电压方程：

(2-2)
式中，、分别为定、转子绕组电阻；usx、urx，isx、irx，ψsx、ψrx(x＝a,b,c)分别为定、转子绕组电压、电流和磁链。
2.1.3磁链方程
定、转子绕组磁链与电流的关系为：

(2-3)
Lss、Lrr、Lsr=LrsT均为3行×3列的电感子矩阵，分别表示定子绕组电感矩阵、转子绕组电感矩阵和定、转子绕组之间的互感矩阵，各电感子矩阵表达式为：

，
(2-4)

(2-5)
式中：qr=wrt+qr0为转子绕组a轴与定子绕组A轴之间的空间相位角，qr0为初始相位角，wr为转子转速（电角速度）。
并且：

(2-6)

(2-7)

(2-8)
各物理量含义：
根据公共磁通假设，与电机绕组交链的磁通主要有主磁通和漏磁通。
分别为主磁通与定、转子绕组交链的最大互感；分别为定、转子漏感；为定子间互感，各相间差电角度，因此；同理，为转子间互感，；为定、转子之间互感的最大值。
2.1.4转子运动方程
电机转子运动方程为

(2-9)
式中：Ωr为转子旋转角速度（rad/s）， TJ为发电机组的转动惯量（kg×m2），Tm为机械力矩（N×m），Te为电磁力矩（N×m），且
式(2-1)-(2-9)构成了三相交流感应发电机组的数学模型，共有Ψsabc、Ψrabc、isabc、irabc、Ωr等13个未知数，却仅有7个方程，无法求解。因此，我们通过找出磁链和电流的关系，来减少未知数。便有如下方程：

(2-10)
式中：Np为极对数, 。
此时，可得到6个电压方程、6个磁链方程和一个转子运动方程，即可求得13个未知数。
2.2 Park变换
由上可知，abc坐标系下三相交流感应电机定转子绕组互感随时间变化，从而使得感应电机方程为时变系数的微分方程组，增加了电机动态过程分析难度。
根据交流电机双反应理论，定子abc三相绕组电流产生的合成磁场可用同步旋转的d、q两相绕组电流产生的合成磁场来等效，这就叫做Park变换。
我们通过分析定子空间磁动势矢量来确定从两种坐标下的变换。
d、q方向磁动势方程：

abc方向的磁动势方程：

因此：

为保证合成后d、q轴磁场幅值与abc轴磁场幅值相等，Park变换后的系数为：

2.3 坐标下的有名值方程
2.3.1电压方程

(2-9)
式中：usd、usq，isd、isq，ysd、ysq分别为d、q定子绕组电压、电流和磁链；
urd、urq，ird、irq，yrd、yrq分别为d、q转子绕组电压、电流和磁链；
ωs为转差角速度，ωs=ω1-ωr。
，，
，，

C1、C2为Park变换矩阵，本文选择：

(2-9)

(2-9)
式中：q1=ω1t+q10为同步旋转坐标系的d轴与三相静止坐标轴系的A相绕组轴线之间的夹角，ω1为同步旋转坐标系的旋转角速度，为t=0时q1的初值；为同步旋转坐标系的d轴与三相转子坐标轴系的a相绕组轴线之间的夹角，ωs=ω1-ωr为转差角速度，qs0为t=0时qs的初值。
2.3.2磁链方程
同步旋转坐标系下的磁链方程为：

(2-9)
式中：

，，
(2-9)
Lm为dq坐标系同轴定子与转子等效绕组间的互感，Lm=1.5 Lsm；
Ls为dq坐标系定子等效两相绕组的自感，Ls=1.5Lsm+Lsl=Lm+Lsl；
Lr为dq坐标系转子等效两相绕组的自感，Lr=1.5 Lrm+Lrl=Lm+Lrl。
2.3.3功率方程
忽略定、转子绕组磁链动态过程，则由发电机定转子电压方程，可以获得定子发出功率Ps为：

式中，前半部分为定子的功率损耗，后半部分为通过气隙磁场传递得到的电磁功率。
转子吸收的功率Pr为：

式中，前半部分为转子的功率损耗，后半部分为通过气隙磁场传递得到的电磁功率。
由转子功率方程可知，当转子转速小于同步速，即ws＝w1-wr>0时，Pr>0，此时转子绕组需要从外部电源吸收电功率；而当转子转速等于同步速，即ws＝0时，转子绕组从外部电源吸收的电功率全部转化为转子绕组损耗；当转子转速大于同步速，即ws<0时，转子绕组则向外部电源传输电功率。
2.3.4转子运动方程
dq同步旋转坐标系下的转子运动方程为：

式中：Tm，Te，Np，TJ意义同前。只是Te应该按下式计算：

其中包含了4个电压方程、4个磁链方程和1个转子运动方程。以上共计9个方程，为5阶数学模型，含有变量usdq、rdq、isdq、rdq、ysdq、rdq、Tm和wr共14个，故还需要有5个约束（或已知）条件方程方可求解。这5个约束条件如下：Tm为原动机输出机械力矩，设为已知；定子绕组与电网连接，二相定子电压认为已知；二相转子电压由电机运行要求给定。因此，总的方程数与变量数平衡，可以求数值解。