资源描述
巩固
1．(2008年高考全国卷Ⅱ)若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选B.|MN|＝|sina－cosa|＝，
∴|MN|max＝，故选B.
2．(2009年高考湖南卷)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin(x－)的图象，则φ等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D.将函数y＝sinx向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y＝sin(x＋φ)．在A、B、C、D四项中，只有φ＝π时有y＝sin(x＋π)＝sin(x－)．
3．函数f(x)＝3sin(2x－)的图象为C，下列结论中正确的是( )
A．图象C关于直线x＝对称
B．图象C关于点(－，0)对称
C．函数f(x)在区间(－，)内是增函数
D．由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
解析：选C.选项A错误，由于f()＝0≠±3，故A错．选项B错误，由于正弦类函数图象的对称点是图象的平衡点，因为f(－)＝3sin(－2×－)＝－，所以(－，0)不在函数图象上．此函数图象不关于这点对称，故B错误．选项C正确，令u＝2x－，当－<x<时，－<u<，由于y＝3sinu在(－，)上是增函数，所以选项C正确．选项D错误，由于y＝3sin2x的图象向右平移个单位得y＝3sin2(x－)即y＝3sin(2x－)的图象而不是图象C.综上，本题选C.
4．(原创题)设函数y＝cosπx的图象位于y轴右侧所有的对称中心从左到右依次为A1，A2，…，An，…，则A10的坐标是________．
解析：对称中心横坐标为x＝2k＋1，k≥0，令k＝9得x＝19.
答案：(19,0)
5．(2009年高考宁夏海南卷)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如下图所示，则f()＝________.
解析：由图象知，函数的周期T满足×T＝π，∴T＝.
∵f()＝0，
∴f()＝f(＋)
＝f(＋)＝－f()＝0.
答案：0
6．已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωxsin(ωx＋)＋2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(1)求f(x)的对称轴方程；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋
＝sin(2ωx＋)＋.
令2ωx＋＝，将x＝代入可得：ω＝1，
f(x)＝sin(2x＋)＋，
对称轴方程为2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ＋(k∈Z)．
(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)可得
单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
练习
1．(2009年高考天津卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选A.因为T＝π，则ω＝＝2，f(x)＝sin(2x＋)，g(x)＝cos2x，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度时，y＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)＝cos2x.
2.函数y＝sin(2x－)在区间[－，π]上的简图是( )
解析：选A.令x＝0得y＝sin(－)＝－，淘汰B，D.由f(－)＝0，f()＝0，淘汰C，故选A.
3．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin(2πt＋)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
解析：选D.T＝＝1，故选D.
4．(2009年高考全国卷Ⅱ)若将函数y＝tan(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.函数y＝tan(ωx＋)的图象向右平移后得到y＝tan[ω·(x－)＋]＝tan(ωx－＋)的图象．又因为y＝tan(ωx＋)，∴令－＝＋kπ，∴＝＋kπ(k∈Z)，得ω的最小值为.
5．若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则它的解析式是( )
A．y＝4sin(4x＋) B．y＝2sin(2x＋)＋2
C．y＝2sin(4x＋)＋2 D．y＝2sin(4x＋)＋2
解析：选D.由条件得：⇒A＝m＝2，又＝⇒ω＝4，故f(x)＝2sin(4x＋φ)＋2，而x＝是函数图象的一条对称轴，故有f()＝2sin(＋φ)＋2＝4或0，即sin(＋φ)＝±1⇒φ＝kπ－(k∈Z)，故f(x)＝2sin(4x＋)＋2或f(x)＝2sin(4x－)＋2，故只有D符合条件．
6．设函数f(x)＝sin(2x＋)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)的图象关于点(，0)对称
C．把f(x)的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
D．f(x)的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数
解析：选C.由对称轴和对称中心的意义将A，B选项检验知命题错；C平移后解析式为f(x)＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)＝cos2x，故其为偶函数，命题正确；D.由于x∈[0，]时2x＋∈[，]，此时函数在区间内不单调，故选C.
7．已知函数f(x)＝πcos(＋)，如果存在实数x1、x2，使得对任意实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是________．
答案：4π
8．(2009年高考宁夏海南卷)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________.
解析：由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为2(2π－)＝，∴＝，∴ω＝.
∵当x＝π时，y有最小值－1，
因此×＋φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵－π≤φ<π，∴φ＝.
答案：
9.定义行列式运算＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝的图象向左平移n(n>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为________．
解析：f(x)＝＝cosx－sinx＝2cos(x＋)，
图象向左平移n(n>0)个单位，
得f(x＋n)＝2cos(x＋n＋)，则当n取得最小值π时，函数为偶函数．
答案：π
10．(2009年高考重庆卷)设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.
(1)求ω的值；
(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到，求y＝g(x)的单调增区间．
解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1＋cos2ωx
＝sin2ωx＋cos2ωx＋2
＝sin(2ωx＋)＋2.
依题意得＝，故ω＝.
(2)依题意得
g(x)＝sin[3(x－)＋]＋2
＝sin(3x－)＋2.
由2kπ－≤3x－≤2kπ＋(k∈Z)
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故g(x)的单调增区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
11．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g(x)(x为月份)，且满足g(x)＝f(x－2)＋2.
(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式；
(2)问哪几个月能盈利？
解：(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，由题意可得A＝2，
B＝6，ω＝，φ＝－，
所以f(x)＝2sin(x－)＋6(1≤x≤12，x为正整数)，
g(x)＝2sin(x－π)＋8(1≤x≤12，x为正整数)．
(2)由g(x)>f(x)，得sinx<.
2kπ＋π<x<2kπ＋π，k∈Z，
∴8k＋3<x<8k＋9，k∈Z，
∵1≤x≤12，k∈Z，∴k＝0时，3<x<9，
∴x＝4,5,6,7,8；
k＝1时，11<x<17，∴x＝12.
∴x＝4,5,6,7,8,12.
即其中4,5,6,7,8,12月份能盈利．
12．已知a＝2(cosωx，cosωx)，b＝(cosωx，sinωx)(其中0<ω<1)，函数f(x)＝a·b，若直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，
(1)试求ω的值；
(2)先列表再作出函数f(x)在区间[-π，π]上的图象．
解：f(x)＝a·b＝2(cosωx，cosωx)·(cosωx，sinωx)
＝2cos2ωx＋2cosωxsinωx
＝1＋cos2ωx＋sin2ωx＝1＋2sin(2ωx＋)．
(1)∵直线x＝为对称轴，∴sin(＋)＝±1，
∴＋＝kπ＋(k∈Z)．
∴ω＝k＋，∵0<ω<1，
∴－<k<，∴k＝0，ω＝.
(2)由(1)知，f(x)＝1＋2sin(x＋)．
列表：
x＋
－π
－
0
π
π
x
－π
－π
－
π
y
0
－1
1
3
1
0
描点作图，函数f(x)在[－π，π]上的图象如图所示．
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