上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及答案.doc

2001年上海市普通高等学校春季招生考试
数学试卷
2000年12月24日
考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分．

一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．函数≤的反函数 ．
2．若复数z满足方程（是虚数单位），则z= ．
3．函数的最小正周期为
4．二项式的展开式中常数项的值为
5．若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为
6．圆心在直线y=x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为
7．计算：
8．若非零向量、满足||=||，则与所成角的大小为
9．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有一个红球的概率是 （结果用分数表示）
10．若记号“*” 表示求两个实数与的算术平均数的运算，即*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数、、都能成立的一个等式可以是
11．关于的函数有以下命题：
（1）对任意的都是非奇非偶函数；
（2）不存在使既是奇函数，又是偶函数；
（3）存在使是奇函数；
（4）对任意的都不是偶函数．
其中一个假命题的序号是 ．因为当= 时，该命题的结论不成立．
12．甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄．甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%．乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为 元．（假定利率五年内保持不变．结果精确到1分）

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．
13．若、为实数，则>>0是的 （ ）
(A) 充分不必要条件
(C) 必要不充分条件
(B) 充要条件
(D) 既非充分条件也非必要条件
14．若直线=1的倾斜角为，则 （ ）
(A) 等于0
(B) 等于
(C) 等于
(D) 不存在
15．若有平面与，且，则下列命题中的假命题 （ ）
(A) 过点P且垂直于的直线平行于
(B) 过点P且垂直于的平面垂直于
(C) 过点P且垂直于的直线在内
(D) 过点P且垂直于的直线在内
16．若数列前8项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中可取遍前8项值的数列为 （ ）
(A)
(B)
(C)
(D)

三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本题满分12分）
已知R为全集，A=≥，B=≥，求．
18．（本题满分12分）
已知，试用表示的值．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．
用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为米，盖子边长为米．
（1）求关于的函数解析式；
（2）设容器的容积为V立方米，则当为何值时，V最大？求出V的最大值．
（求解本题时，不计容器的厚度）

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在B B1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．
（1）求证：A1C⊥平面AEF；
（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等．
试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小．（用反三角函数值表示）

21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分7分．
已知椭圆C的方程为，点的坐标满足≤1．过点P的直线与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点．求：
（1）点Q的轨迹方程；
（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数．

22．（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分13分．
已知是首项为2，公比为的等比数列，为它的前项和．
（1）用表示；
（2）是否存在自然数和，使得成立．
2001年上海市普通高等学校春季招生考试
数学试题参考解答

一、填空题
1．≥． 2．1- 3．2． 4．20． 5．．
6．． 7．． 8．． 9．．
10．

等．
11．（1），；（1），；（4），等．（两个空格全填对时才能得分．其中也可以写成任何整数）
12．219.01．

二、选择题
13．A． 14．C． 15．D． 16．B．

三、解答题
17．[解]由已知≥．
≤4
由 解得-1≤＜3．所以≤．
由≥1，解得-2＜≤3．所以＜≤．
于是 ≥，故．
18．[解]因为 ，所以．
因而．
又，于是．
因此．
19．[解]（1）设为正四棱锥的斜高．由已知
解得 ．
（2）．
易得．
因为≥，所以≤．等式当且仅当，即时取得．
故当米时，有最大值，的最大值为立方米．
20．[证]（1）因为，所以在平面上的射影为．
由，，得．
同理可证．
因为，，
所以．
[解]（2）过作的垂线交．因为，所以．
设所成的角为，则即为平面与平面所成的角．
由已知，计算得．
如图建立直角坐标系，则得点

．
因为与所成的角为，
所以，
．
由定理知，平面与平面所成角的大小为．
21．[解]（1）设点、的坐标分别为、，点的坐标为．
当时，设直线的斜率为，则的方程为．
由已知， ①
， ②
由①得， ③
由②得， ④
由③、④及，得点的坐标满足方程
． ⑤
当时，不存在，此时平行于轴，因此的中点一定落在轴上，即的坐标为（）．显然点的坐标满足方程⑤．
综上所述，的坐标满足方程 ．
设方程⑤所表示的曲线为，则由
得 ．
因为，由已知≤1，所以当=1时，，曲线与椭圆有且只有一个交点．
当＜1时，，曲线与椭圆没有交点．
因为（0，0）在椭圆内，又在曲线上，所以曲线在椭圆内．故点的轨迹方程为
．
（2）由 解得曲线与轴交于点、．
由 解得曲线与轴交于点、．
当，即点为原点时，、与重合，曲线与坐标轴只有一个交点．
当，且≤，即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时，点与重合，曲线与坐标轴有两个交点与．
同理，当，且≤1，即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时，曲线与坐标轴有两个交点与．
当<1,且，即点在椭圆内且不在坐标轴上，曲线与坐标轴有三个交点、与．
22．[解]（1）由，得N．
（2）要使，只要＜0．因为＜4，所以，
故只要 ．①
因为（），所以 ≥，
又，故要使①成立，只能取2或3．
当时，因为Ｓ１＝２，所以当k＝１时，不成立，从而①不成立．因为，由,得
，
所以当≥２时，，从而①不成立．
当时，因为，，所以当时，不成立，从而①不成立．
因为，又 ，
所以当≥3时，，从而①不成立．
故不存在自然数、，使成立．