二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷(2007.9.23,详细答案).doc

二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷
2007年9月23日上午（8∶30-11∶00）
考生注意：1、本试卷共三大题（15个小题），全卷满分150分．
2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答．
3、解题书写不要超出装订线．
4、不能使用计算器．
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.
1、为互不相等的正数，，则下列关系中可能成立的是（ ）．
、； 、 ； 、； 、；
2、设 ，又记则（ ）．
、； 、 ； 、； 、；
3、设为锐角，，则的大小顺序为（ ）．
、； 、 ； 、； 、；
4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）.
、； 、； 、； 、.
5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为，则其侧面与底面的夹角为( ).
、； 、； 、； 、 .
6、正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中的元素个数为（ ）．
、 、； 、； 、.
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.
7、若实数满足：，则 .
8、抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为 ．
9、计算 .
10、过直线：上的一点作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，则椭圆的方程为 .
11、把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是 .
12、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，
则 ．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13、数列满足：；令
；求 ．

14、 如图，的外心为，是的中点，直线交于，点分别是的外心与内心，若，
证明：为直角三角形．

15、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．

二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
2007年9月23日上午（8∶30-11∶00）
考生注意：1、本试卷共三大题（15个小题），全卷满分150分．
2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答．
3、解题书写不要超出装订线．
4、不能使用计算器．
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；
不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.
1、为互不相等的正数，，则下列关系中可能成立的是（ ）
、； 、 ； 、； 、；
答案：；解：若，则，不合条件，排除，又由
，故与同号，排除；且当时，有可能成立，
例如取，故选．
2、设 ，又记则（ ）
、； 、 ； 、； 、；
答案：；解：，
，据此，，，因为型，故选.
3、设为锐角，，
则的大小顺序为（ ）
、； 、 ； 、； 、；
答案：；解：，
，故.
4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）.
、； 、； 、； 、.
答案：；解：选两色有种，一色选择对角有种选法，共计种；
选三色有种，其中一色重复有种选法，该色选择对角有种选法，另两色选位有种，共计种；四色全用有种（因为固定位置），合计种.
5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为，则其侧面与底面的夹角为( ).
、； 、； 、； 、 .
答案：；解：设底面正方形边长为，棱锥的高为，侧面三角形的高为，则 ，，则，.
6、正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中的元素个数为（ ）．
、 、； 、； 、.
答案：；解：用表示集的元素个数，设，由，得，于是，，；从而
．
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.
7、若实数满足：，则 .
答案：； 解：据条件，是关于的方程的两个根，即的两个根，所以；．
8、抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为 ．
答案：；解：设抛物线方程为，则顶点及焦点坐标为，若设点坐标为，则
，
故．（当或时取等号）
9、计算 .
答案：. 解：．
10、过直线：上的一点作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，则椭圆的方程为 .
答案：；解：设直线上的点为，取关于直线的对称点，据椭圆定义， ，当且仅当共线，即，也即时，上述不等式取等号，此时，
点坐标为，据得，，椭圆的方程为.
11、把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是 .
答案：；解：据等价性，只须考虑单位正方体的切割情况，先说明个不够，若为个，因四面体的面皆为三角形，且互不平行，则正方体的上底至少要切割成两个三角形，下底也至少要切割成两个三角形，每个三角形的面积，且这四个三角形要属于四个不同的四面体，以这种三角形为底的四面体，其高，故四个不同的四面体的体积之和，不合；
所以，另一方面，可将单位正方体切割成个四面体； 例如从正方体中间挖出一个四面体，剩下四个角上的四面体，合计个四面体.
12、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，则 ．
答案：； 解：简称这种数为“好数”，则一位好数有个；两位好数有个；三位好数有个；…，位好数有个；，记，因，，即第个好数为第个六位好数；而六位好数中，首位为的共有个，前两位为的各有个，因此第个好数的前两位数为，且是前两位数为的第个数；而前三位为的各个，则的前三位为，且是前三位数为的第个数；
而前四位为的各个，则的前四位为，且是前四位数为的第个数；则的前五位为，且是前五位数为的第个数，则．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13、数列满足：；令
；求
解：改写条件式为，则
，
所以，；
；
．

14、 如图，的外心为，是的中点，直线交于，点分别是的外心与内心，若，
证明：为直角三角形.

证：由于点皆在的中垂线上，设直线交于，交于，则是的中点，是的中点; 因是的内心，故共线，且.
又 是的中垂线，则，而为的内、外角平分线，故有，则为的直径，所以，，又因
，
则. 作于，则有，

，且，所以，，故得 ，因此，是的中位线，从而
∥，而，则.故为直角三角形．
证二：记，因是的中垂线，则，由条件
延长交于，并记，则，对圆内接四边形用托勒密定理得，即，由、得，所以，
即是弦的中点，而为外心，所以，故为直角三角形．
15、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．
解：称为的数码组，则；
一、当数码组只含一个值，为，共得个值；
二、当数码组恰含二个值，．
、数码组为型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个
，可取个值，则数码组个数为，对于每组，
有种占位方式，于是这种有个．
、数码组为型，，据构成三角形条件，有，
的取值
1
2
3
4
5
6
7
8
9
中的个数

共得个数码组，对于每组，有种占位方式，于是这种有个．
、数码组为型，，据构成三角形条件，有，同上得个数码组，对于每组，两个有种占位方式，于是这种有个．
以上共计个．
三、当数码组恰含三个值，．
、数码组为型，据构成三角形条件，则有，这种有组，每组中有种占位方式，于是这种有个．
、数码组为型，，此条件等价于中取三个不同的数构成三角形的方法数，有组，每组中有种占位方式，于是这种有个．
、数码组为型，，同情况，有个值．
以上共计个值．
　　四、互不相同，则有，这种有组，每组有个排法，共得个值．
综上，全部四位三角形数的个数为个．