第5章 无源网络综合(一端口综合).doc

第五章 无源网络综合
第五章 无源网络综合
§5.1 网络分析与网络综合

（a） (b)
图5.1 网络分析与网络综合
网络综合：研究科学的数学的设计方法。
网络分析与网络综合的区别：
1 “分析”问题一般总是有解的(对实际问题的分析则一定是有解的)。而“设计”问题的解答可能根本不存在。

图5.2 网络综合解答不存在情况一

(a) (b)
图5.3 网络综合解答不存在情况二

2“分析”问题一般具有唯一解，而“设计”问题通常有几个等效的解。

(a) (b) (c)
图5.4 网络综合存在多解情况
3“分析”的方法较少，“综合”的方法较多。
网络综合的主要步骤：
(1) 按照给定的要求确定一个和实现的逼近函数。
(2) 寻找一个具有上述逼近函数的电路。
§5.2 网络的有源性和无源性
输入一端口网络N的功率

从任何初始时刻到，该网络的总能量

式中为在初始时刻时该一端口储存的能量。
若对所有以及所有时间，有
（1）
则此一端口N为无源的。如果一端口不是无源的，达就是有源的。就是说，当且仅当对某个激励和某一初始值以及某一时间，有，则此一端口就是有源的。换句话说，如果一个一端口是有源的，就一定能找到某一激励以及至少某一时间，式（1）对这个一端口不能成立。
在以上有关无源性的定义中必须计及初始储存能量。例如，对时不变的线性电容，设它的电容值为C，则有

式中。所以时，电容元件为无源的，而当时（线性负电容），则为有源的。但是，如不计及式中的初始能量项，则

为从到输入网络的能量。这样即使，在某些时间将小于零。事实上充电的电容有可能向外释放储存的能量，但是计及初始能量，它不可能释放多余原先储存的能量。
为了考虑这种情况，引入了有关“无损性”的概念。设一端口的所有从为“平方可积”，即有：

如果对任何初始时间，下式成立

式中为在初始时刻时该一端口储存的能量，则称此一端口为无损网络。
以上关于和平方可积的条件，也即

就是说，一端口在和时均为松弛的。
假设一端口在时无任何存储能量，则无源性可按下式定义
（2）
以上关于有源性的定义可以推广到N端口。如果全部端口的电压电流允许信号对是真实的，且对所有，输入端口的总能量为非负的，则此N端口为无源的，即对全部，有

这里设时，。
如果对某些信号对，且对某些，有

则此N为有源的。
如果对所有平方可积有限值允许信号对，有

则称此N端口为无损的。一个无损的N端口将最终把输入端口的能量全部返回。
线性（正）电阻元件、电容元件、电感元件均为无源元件。例如，对二端电阻，按式（2）有

可见，只要，对所有，总是非负的。同理，对于非零的和，将是的单调非递减正值函数，因此当时，不可能是零值，所以线性电阻是无源的、非无损的。
线性负电阻、负电感、负电容是有源元件。
对于理想变压器，有

按式（1－25）

所以理想变压器是无源的且是无损的。
练习：讨论回转器和负阻抗变换器的有源性和无源性。
回转器：，负阻抗变换器：
§5.3归一化和去归一化
归一化定义：用一些合适的系数(常数)按比例换算所有电量，而不改变电路性质。
例如，用50作为电阻的换算系数(归一化常数)，则(实际值)变成(归一化值)。
归一化值、实际值、归一化常数之间的关系
，，，，
，，，
对实际值适用的物理关系，对归一化值网络应保持不变，因此得

共七个关系式。
综上得知，只有两个独立的归一化常数，若选择多于两个，则有可能破坏电量之间的关系。通常选择和。此时

【例】图5.5(a)所示电路归一化电压转移函数为

中心角频率为。
(1) 如要求中心频率为10kHz，求网络函数。
(2) 如固定，求L，C。
(3) 如固定C=0.1µF,求R，L。

(a) (b)
图5.5 归一化例题图
【解】：(1) 频率归一化常数为

将代入已知的得：

(2)
µH， µF
(3)

§3.4正实函数
1 定义 设是复变量的函数，如果
(1) 当时，；
(2) 当时，。
则称为正实函数，简称PR函数。正实函数的映射关系如图5.6所示。

2 正实函数的性质
(1) F(s)的全部极点位于s平面的闭左半平面，F(s)在s的右半平面是解析的。
证明思路：设F(s)在s的右半平面存在极点，级数展开，F(s)变号，与正实函数矛盾，假设不成立。
(2) 位于轴上的极点是一阶的，且其留数为正实数。(包括0和±∞)
(3) 正实函数的倒数仍为正实函数(对正实函数的零点也做了规定)。
(4) 设。则，。
因为
，
在和处为一阶极点(零点)。
3 布隆定理(Otto Brune 1931年提出)

（a） (b)
图5.7 布隆定理的证明
对图5.7(b)，
定理：当且仅当Z(s)是s的正实函数时，阻抗函数Z(s)使用集中参数的RLCM元件(非负值)才是可实现的。
必要性的证明：(充分性留在后续各节)
(5.1)
其中

由式(5.1) 得
(1) 当时，。
(2) 设则

所以Z(s)是正实函数。

4 等价的正实条件一
(1) 当s为实数时，F(s)也是实数；
(2) 对全部实频率，；
(3) F(s)的全部极点位于s平面的闭左半平面，位于轴上的极点是一阶的，且具有正实留数。
以Z(s)为例解释如下：
(1) 。所以Z(s)中的系数一定是实数，即Z(s)是s的有理实函数。
(2)在正弦稳态下，一端口的等效电路为

它消耗的平均功率为
(因为是无源网络)
所以。
(3) 设，即，则冲激响应电压为

若或，则发散；
若(位于轴上)，则对应高阶极点的响应项发散。
以上对无源RLCM网络是不可能的。

5 等价正实条件二
设
(1) M(s)、N(s)全部系数大于零；
(2) M(s)、N(s)的最高次幂最多相差1，最低次幂最多也相差1；
(3) F(s)在轴上的极点是一阶的，且具有正实留数；
(4) ；
(5) M(s)、N(s)均为Hurwitz多项式。

[例]5.1 判断下列正实函数是否为正实函数。
(a) ；(b)
[解] (a) 显然满足(1)、(3)。又，满足(2)，是正实函数。
(b) 显然满足(1)、(3)。但。
不是正实函数。
§5.5 LC一端口的实现
LC一端口：

一 或的性质
1 在s=0处或是一零点或是一极点。

。端口处要么等效为短路，要么等效为断路。分别对应的零点和极点。

2在处或是一零点或是一极点。解释同上。
3 Z(s)的全部极点和零点位于轴上。(因此是一阶，留数大于零)
LC一端口，R=0，冲激响应不衰减(因为无损)，等幅振荡，故全部极点位于轴上。的零点就是的极点，也应位于轴上。极点(零点)成对出现。
4 为s的奇函数，即。
解释
(1)

N(s)、D(s)或为奇函数或为偶函数。
(2)P(s)为偶函数→为实数； P(s)为奇函数→为虚数。
(4) ，纯虚数，电抗性质。

所以N(s)、D(s)必为一偶一奇→Z(s)为s的奇函数。

5 Z(s)的零、极点交替出现在轴上。

示意图如下：

(a)

(b)
图5.10 LC导抗函数的零极点分布图
综上得LC导抗函数的充要条件：
1 Z(s)或Y(s)为正实函数；
2零、极点均位于轴上且交替出现。
二 LC一端口的Foster综合(基于部分分式展开)
1 Foster第一种形式[串联形式，用Z(s)]

图5.11 LC导抗函数的Foster第一种综合形式

2 Foster 第二种形式[并联形式，用Y(s)]

图5.12 LC导抗函数的Foster第二种综合形式

【例】5.2 分别用Foster 第一和第二种形式综合阻抗函数

【解】 (1) 对Z(s)进行展开

图5.13 例题5.2的Foster第一种综合形式
(2) 对Y(s)进行展开

图5.14 例题5.2的Foster第二种综合形式

三 Cauer(考尔) 综合 (基于连分式)
1 Cauer 第一种形式(特点：逐次移出处的极点。串臂为电感，并臂为电容)

【例】5.3 设。试用Cauer第一种形式综合。
【解】为Z(s)的零点，故首先用Y(s)。

使用长除运算得到上式。(多项式按降幂排列)

2 Cauer 第二种形式(特点：逐次移出s=0处的极点。串臂为电容，并臂为电感)

例5.4 设。试用Cauer第二种形式综合。
【解】

使用长除运算得到上式。(多项式按升幂排列)

图5.18
练习 1 试确定下列驱动点阻抗函数能否用LC一端口来实现？

2 试用Foster两种形式综合阻抗函数。
3 试用Cauer两种形式综合阻抗函数。
4 设计一个LC一端口网络，要求时，阻抗为零；时，阻抗为无限大；时，阻抗为200Ω。
参考答案
2

3

§5.6 RC 一端口的实现
一 RC一端口的性质(必要条件)
1 所有零极点位于负实轴上，而且是一阶的。
解释：若不位于实轴→冲激响应振荡→同时存在LC元件；
若位于正实轴→冲激响应发散。
以上对无源RC网络是不可能的。
证明：（1） 位于负实轴：
, ,
令 得
,
令 得
(2) 零极点是一阶的

(
设为n阶极点，则时，。
令，
得

故

图5.19
2 极点留数为正实数(它们与R、C值成比例)
3 最低的临界频率(即最靠近原点的零极点)为极点，原点处要么是极点，要么是常数。

(a) (b)
图5.20
4 最高的临界频率为零点，在处要么为零点，要么为常数。
5 零极点交替出现在负实轴上。

图5.21 RC阻抗函数的零极点分布
二 Y(s)的性质
1 全部零极点位于负实轴上，而且是一阶的。
2 Y(s)的极点留数为负实数，而Y(s)/s的极点留数为正实数。
3 最低的临界频率为零点。
4 最高的临界频率为极点。
5 零极点交替出现。
三 Foster综合(基于部分分式展开)
1 Foster第一种形式(并串联形式)

图5.22 Foster 第一种综合形式

Foster 第二种形式(串并联形式)
展开得
[ 因为，所以对进行展开。 ]

图5.23 Foster 第二种综合形式
【例】5.5 试用Foster两种形式综合。
【解】(1) Foster 第一种形式
展开
(2) Foster 第二种形式
展开

图5.24 例题5.5图
四 Cauer 型综合(基于连分式)
1 Cauer 第一种形式(串臂为电阻，并臂为电容)，由Z(s)性质4得

图5.25 Cauer第一种形式
多项式用降幂排列。
2 Cauer 第二种形式(串臂为电容，并臂为电阻)。由Y(s)性质3得

图5.26 Cauer 第二种形式
多项式用升幂排列
【例】5.6试用Cauer 两种形式综合。
【解】(1) Cauer 1

图5.27 用Cauer 1综合结果

Cauer 2

图5.28 用Cauer 2 综合结果

练习
1 试确定下列驱动点阻抗函数那些能用RC一端口来实现？
(a) ; (b) ；
(c) ; (d) 。
2 试用Foster两种形式综合RC阻抗函数

3 试用Cauer 两种形式综合RC导纳函数

4 一个阻抗函数的零极点分布如图5.29所示，。试用梯形电路实现此函数。

图5.29

§5.7 RLCM一端口的实现
一 定义
1 不含轴上极点的阻抗(导纳)函数，称为极小电抗(电纳)函数。
2 在轴上某一点具有零实部的阻抗（导纳）函数，称为极小实部函数；
3 如果一个导抗函数同时是极小电抗函数、极小电纳函数，极小实部函数，则称之为极小函数。（极小函数是正实函数）。
示例
极点 (极小电抗函数)，零点(极小电纳函数)。（极小实部函数）。
二 从正实函数中分解出极小函数
1 移出轴上的极点：
设
移出上的极点：
,
(在轴上无零极点)。
2 电阻约简（移出实部最小值）
。当时，
---极小函数。

图5.28从正实函数中分解出极小函数示例
三 极小函数的布隆综合
设为极小函数，则存在，使得。
1 以情况为例：
提取串联元件，使余函数,即要求。
(1) 设串联元件为电容，则。进一步分析如下：
(a) 在s=0处存在极点，且极点留数为-1/C1<0,Z2(s)不是正实函数。
(b) Z1(s)=Z2(s)+1/(sC1)在s=0处存在极点，Z1(s)非极小函数，矛盾。故串联元件不能为电容。

(2) 设串联元件为电感，则

(a) 两个正实函数之和仍为正实函数。
在处存在零点(一定成对出现)，移出之

图 5.29

(b) ，时，
，

图5.30
仍为正实函数，化为极小函数后重复上述过程。在处无极点。
（c）解决负电感问题
学习电路等效变换：

图5.31

可实现的必须满足条件：
(1)
由图5.30得当时，
(为有限值)
因为是极小函数，在处无极点，所以

验证条件（1）

全部满足条件(1)。
【例】5.7设。试综合之。
【解】1移出轴上的极点。
, ,

2 电阻约简
，令得
,
-------极小函数
3 ，
(为零点)
4 ，
，
5
， ，

图5.32
消去负电感后得

图5.33
2 时，与对偶

图5.34
消去负电感。

图5.35
练习1 试综合。
参考答案：

2 试综合。
参考答案：

5－28