机械能守恒).docx

势能 机械能守恒定律

基础知识回顾
1、重力势能
(1)定义： 由物体与地球之间的相对位置所决定的能叫重力势能. (2)公式：EP=mgh
(3)说明： ①重力势能是标量.
②重力势能是相对的，是相对零势面而言的，只有选定零势面以后，才能具体确定重力势能的量值，故EP=mgh中的h是物体相对零势面的距离.一般我们取地面为零势面.
③重力势能可正，可负，可为零.若物体在零势面上方，重力势能为正；物体在零势面下方，重力势能为负；物体处在零势面上，重力势能为零.
④重力势能属于物体和地球共有.通常所说“物体的重力势能”实际上是一种不严谨的习惯说法.
⑤重力势能是相对的，但重力势能的变化却是绝对的，即与零势能面的选择无关.
2、重力做功
(1)公式：WG=mgh h为初、末位置间的高度差.
(2)特点：重力做功与路径无关，只与初、末位置有关(即由初末位置间的高度差决定).
3、重力做功与重力势能变化间的关系
重力做正功,重力势能减少；重力做负功，重力势能增加。重力所做的功等于重力势能变化量的负值，即:WG=-△EP=-(EP2-EP1)=-(mgh2-mgh1)=EP1-EP2
4、弹性势能
(1)定义：发生弹性形变的物体，由其各部分间的相对位置所决定的能，称为弹性势能.
(2)说明：①弹性势能是标量.
②劲度系数越大，形变越大，弹性势能越大(可多记公式:EP=Kx2/2).
③弹力所做的功与弹性势能的改变的关系跟重力做功与重力势能的改变的关系相同，即弹力所做的功也等于弹性势能改变量的负值.
5．机械能
（1）定义：机械能是物体动能、重力势能、弹性势能的统称，也可以说成物体动能和势能之总和.
（2）说明①机械能是标量，单位为焦耳（J）.
②机械能中的势能只包括重力势能和弹性势能，不包括其他各种势能.
6．机械能守恒定律
（1）内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变.
（2）表达式E1=E2或Ek1+EP1=EK2+EP2
重点难点例析
一、重力做功的特点
1.重力做功与路径无关，只与物体的始末位置的高度差和重力大小有关.
2.重力做功的大小WG=mgh，h为始末位置的高度差.
3.重力做正功，物体重力势能减少；重力做负功，物体重力势能增加.
【例1】沿着高度相同，坡度不同，粗糙程度也不同的斜面向上拉同一物体到顶端，以下说法中正确的是（ ）
A．沿坡度小，长度大的斜面上升克服重力做的功多
B．沿长度大、粗糙程度大的斜面上升克服重力做的功多
C．沿坡度大、粗糙程度大的斜面上升克服重力做的功少
D．上述几种情况重力做功同样多
【解析】重力做功的特点是，重力做功与物体运动的具体路径无关，只与初末位置物体的高度差有关，不论是光滑路径或粗糙路径，也不论是直线运动还是曲线运动，只要初末位置的高度差相同，重力做功就相同.因此，不论坡度大小、长度大小及粗糙程度如何，只要高度差相同，克服重力做的功就一样多，故选D.
● 拓展
一质量为5kg的小球从5m高处下落， 碰撞地面后弹起， 每次弹起的高度比下落高度低1m，求：小球从下落到停在地面的过程中重力一共做了多少功? (g=9.8m/s2)

一、 机械能守恒定律的条件和机械能守恒定律
的常用数学表达式：
1. 守恒条件：只有重力或弹力做功，只发生动能和势能的转化.分析一个物理过程是不是满足机械能守恒，关键是分析这一过程中有哪些力参与了做功，这一力做功是什么形式的能转化成什么形式的能，如果只是动能和势能的转化，而没有其它形式的能发生转化，则机械能守恒，如果没有力做功，不发生能的转化，机械能当然也不会发生变化.
2.常用数学表达式:
第一种：Ek1+EP1=EK2+EP2从守恒的角度表明物体运动过程中，初状态和末状态机械能相等
第二种：△Ek =-△EP 从转化的角度表明动能的增加量等于势能减小量
第三种：△E1=-△E2 从转移的角度表明物体1的机械能增加量等于物体2的机械能的减少量
图5-4-1
【例2】如图5-4-1所示，一轻质弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬挂点等高的地方无初速度释放，让其自由摆下，不及空气阻力，重物在摆向最低点的位置的过程中（ ）
A．重物重力势能减小
B．重物重力势能与动能之和增大
C．重物的机械能不变
D. 重物的机械能减少
【解析】物体从水平位置释放后，在向最低点运动时，物体的重力势能不断减小，动能不断增大.弹簧不断被拉长，弹性势能变大.所以物体减少的重力势能一部分转化为自身的动能，另一部分转化为弹簧的弹性势能.对整个系统机械能守恒，而对重物来说，机械能减少.答案：AD
【点拨】重力势能属于物体和地球共有,通常所说“物体的重力势能”,只能省略“地球”,其他物体不能拓展
关于物体的机械能是否守恒的叙述，下列说法中正确的是（ ）
A．做匀速直线运动的物体，机械能一定守恒； B．做匀变速直线运动的物体，机械能一定守恒；
C．外力对物体所做的功等于零时，机械能一定守恒；
D．物体若只有重力做功，机械能一定守恒.
【解析】做匀速直线运动的物体是动能不变；势能仍可能变化，选项A错；做匀变速直线运动的物体，动能不断增加，势能仍可能不变，选项B错；外力对物体所做的功等于0时，动能不变；势能仍可能变化，选项C错；机械能守恒条件是物体只有重力做功或只有弹力做功，D对.
三、应用机械能守恒定律解题的基本步骤
1.根据题意，选取研究对象（物体或相互作用的物体系）.
2.分析研究对象在运动过程中所受各力的做功情况，判断是否符合机械能守恒的条件．
3.若符合定律成立的条件，先要选取合适的零势能的参考平面，确定研究对象在运动过程的初、末状态的机械能值．
4.根据机械能守恒定律列方程，并代人数值求解．
图5-4-2
☆ 易错门诊
【例3】如图5-4-2使一小球沿半径为R的圆形轨道从最低点B上升，那么需给它最小速度为多大时，才能使它达到轨道的最高点A？
【错解】如图5-4-2所示，根据机械能守恒，小球在圆形轨道最高点A时的势能等于它在圆形轨道最低点B时的动能（以B点作为零势能位置），所以为从而得
【错因】小球到达最高点A时的速度vA不能为零，否则小球早在到达A点之前就离开了圆形轨道.要使小球到达A点（自然不脱离圆形轨道），则小球在A点的速度必须满足
式中，NA为圆形轨道对小球的弹力.上式表示小球在A点作圆周运动所需要的向心力由轨道对它的弹力和它本身的重力共同提供.当NA=0时，
vA最小,vA=.这就是说,要使小球到大A点,则应使小球在A点具有速度vA
【正解】以小球为研究对象.小球在轨道最高点时，小球在圆形轨道最高点A时满足方程
(1)
根据机械能守恒，小球在圆形轨道最低点B时的速度满足方程 (2)
解(1)，(2)方程组得
当NA=0时,vB为最小,vB=.
所以在B点应使小球至少具有vB=的速度,才能使小球到达圆形轨道的最高点A.
m
F
图5-4-3
课堂自主训练
1.如图5-4-3所示，质量为m的物体静止在地面上，物体上面连着一个轻弹簧，用手拉住弹簧上
端将物体缓慢提高h，不计弹簧的质量，则人对弹簧做的功应( )
A.等于mgh B.大于mgh
C.小于mgh D.无法确定
h1
h2
图5-4-4
【解析】人对弹簧做的功应等于物体重力势能的增加和弹簧弹性势能的增加之和，物体的重力势能增加了mgh，所以人做的功应大于mgh.
2. 如图5-4-4所
示，两个底面积
都是S的圆桶，
用一根带阀门的
很细的管子相连
接，放在水平地面上，两桶内装有密度为ρ的同种液体，阀门关闭时两桶液面的高度分别为h1和h2，现将连接两桶的阀门打开，在两桶液面变为相同高度的过程中重力做了多少功？
【解析】取水平地面为零势能的参考平面，阀门关闭时两桶内液体的重力势能为：

阀门打开，两边液面相平时，两桶内液体的重力势能总和为
由于重力做功等于重力势能的减少，所以在此过程中重力对液体做功
3.某人站在离地10m高处，将0.1Kg的小球以20m/s的速度抛出，则人对小球做了多少功？小球落地时的速度多大？（不计空气阻力）；若小球落地时速度实际为24m/s，则小球克服阻力做了多少功？（g取10m/s2）1.2J

课后创新演练
1．关于重力势能的理解，下列说法正确的是（ ）
A．重力势能是一个定值 .
B．当重力对物体做正功时，物体的重力势能减少.
C．放在地面上的物体，它的重力势能一定等于0 .
D．重力势能是物体和地球共有的，而不是物体单独具有的.
2．质量相同的实心木球和铜球，放在同一水平桌面上，则它们的重力势能是（ ）
A．木球大 B．铜球大
C．一样大 D．不能比较
图5-4-5
3．如图5-4-5从离地高为h的阳台上以速度v竖直向上抛出质量为m的物体，它上升 H后又返回下落，最后落在地面上，则下列说法中正确的是（不计空气阻力，以地面为参考面）（ ）
A．物体在最高点时机械能为mg(H+h);
B．物体落地时的机械能为mg(H+h)+ mv2/2
C．物体落地时的机械能为mgh+mv2/2
D．物体在落回过程中，经过阳台时的机械能为mgh+mv2./2
4．在离地高为H处以初速度v0竖直向下抛一个小球，若与地球碰撞的过程中无机械能损失，那么此球回跳的高度为（ ）
A．H+ B．H-
C． D．
5．如图5-4-6所示，质量为m和3m的小球A和B，系在长为L的细线两端，桌面水平光滑，高h（h<L），A球无初速度从桌边滑下，落在沙地上静止不动，则B球离开桌边的速度为（ ）
5-4-6
A．
B．
C．
D．
图5-4-7
6．如图5-4-7所示，一斜面放在光滑的水平面上，一个小物体从斜面顶端无摩擦的自由滑下，则在下滑的过程中下列结论正确的是（ ）
A．斜面对小物体的弹力做的功为零.
B．小物体的重力势能完全转化为小物体的动能.
C．小物体的机械能守恒.
D．小物体，斜面和地球组成的系统机械能守恒.
A
B
R
V0

图5-4-8
7.如图5-4-8所示，光滑的水平轨道与光滑半圆弧轨道相切.圆轨道半径R=0.4m，一小球停放在光滑水平轨道上，现给小球一个v0=5m/s的初速度，求：小球从C点抛出时的速度（g取10m/s2）.
3m/s
K
图5-4-9
8.如图5-4-9所示，粗细
均匀的U形管内装有总
长为4L的水.开始时阀
门K闭合，左右支管内
水面高度差为L.打开阀门
K后，左右水面刚好相
平时左管液面的速度是多
大？（管的内部横截面很
小，摩擦阻力忽略不计）
【解析】由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒.从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L/2的水柱由左管移到右管如图5-4-10所示.
K
图5-4-10
系统的重力势能减少，
动能增加.该过程中，
整个水柱势能的减少
量等效于高L/2的水
柱降低L/2重力势能的减少.设L/2水柱的质量为m，则整个水柱的质量为8mg ,由机械能守恒定律有
，得.
【点拨】本题在应用机械能守恒定律时仍然是用ΔE增 =ΔE减 建立方程，在计算系统重力势能变化时用了等效方法.需要注意的是：研究对象仍然是整个水柱，到两个支管水面相平时，整个水柱中的每一小部分的速率都是相同的.

1.BD2 A 3ACD 4A 5A 6D

机械能守恒定律的应用
基础知识回顾
1．应用机械能守恒定律解决力学问题
先分析研究对象在运动过程中的受力情况，并确定各力的做功情况，在动能和重力势能的相互转化中，如果只有重力（或弹力）做功，就可以用机械能守恒定律求解.
2.应用机械能守恒定律解题
可以只考虑物体运动的初状态和末状态，不必考虑运动过程.
3.应用机械能守恒定律解题的思路与方法
(1)选择研究对象——物体或物体系
(2)对研究对象所经历的过程，进行受力分析，做功情况分析，判断机械能是否守恒
(3)选择初、末状态及参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能
(4)根据机械能守恒定律列方程或方程组
(5)求解、检查、作答
4.机械能守恒定律与动能定理的比较
机械能守恒定律和动能定理是本章的两个重点内容，也是力学中的两个基本规律，在物理学中占有重要的地位，两者既有区别也有相同之处.
(1)相同点：都是从功和能量的角度来研究物体动力学问题.
(2)不同点：
①解题范围不同，动能定理的范围相对来说要大些.
②研究对象及角度不同，动能定理一般来说是研究单个物体在研究过程中合外力做功与动能的变化，而机械能守恒定律只要满足其成立条件，则只需找出系统初、末状态的机械能即可.
5.几种常见的功和能量转化的关系
(1)合外力对物体所做的功等于物体动能的变化：W合=EK2-EK1 此即动能定理.
(2)只有重力（或弹力）做功时，物体的机械能守恒:E1=E2
(3)重力做功（或弹力做功）与重力势能的变化（或弹性势能的变化）的关系:
WG=-△EP=EP1-EP2
(4)重力和弹簧弹力之外的其它外力对物体所做的功WF，等于物体机械能的变化，即
WF=△E=E2-E1
WF>0,机械能增加. WF<0,机械能减少.
重点难点例析
一、应用机械能守恒定律解题的步骤：
1.根据题意选取研究对象（物体或系统）；
2.分析研究对象在运动过程中的受力情况以及各力做功的情况，判断机械能是否守恒；
3.确定运动的始末状态，选取零势能面，并确定研究对象在始、末状态时的机械能；
4.根据机械能守恒定律列出方程进行求解
注意：列式时，要养成这样的习惯，等式作左边是初状态的机械能而等式右边是末状态的机械能，这样有助于分析的条理性.
图5-5-1
【例1】如图5-5-1所示，光滑的倾斜轨道与半径为R的圆形轨道相连接，质量为m的小球在倾斜轨道上由静止释放，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点，小球释放点离圆形轨道最低点多高？通过轨道点最低点时球对轨道压力多大？
【解析】 小球在运动过程中，受到重力和轨道支持力，轨道支持力对小球不做功，只有重力做功，小球机械能守恒．取轨道最低点为零重力势能面．
因小球恰能通过圆轨道的最高点C，说明此时，轨道对小球作用力为零，只有重力提供向心力，根据牛顿第二定律可列 得

在圆轨道最高点小球机械能:

在释放点，小球机械能为:
根据机械能守恒定律 列等式： 解得
同理，小球在最低点机械能
小球在B点受到轨道支持力F和重力根据牛顿第二定律，以向上为正，可列

据牛顿第三定律，小球对轨道压力为6mg．方向竖直向下．
● 拓展

图5-5-2
如图5-5-2长l=80cm的细绳上端固定，下端系一个质量m＝100g的小球.将小球拉起至细绳与竖立方向成60°角的位置，然后无初速释放.不计各处阻力，求小球通过最低点时，细绳对小球拉力多大？取g=10m/s2.
【解析】小球运动过程中，重力势能的变化量，此过程中动能的变化量.机械能守恒定律还可以表达为 即

整理得 又在最低点时，有
在最低点时绳对小球的拉力大小
通过
二、机械能守恒定律在多个物体组成系统中的应用
对单个物体能用机械能守恒定律解的题一般都能用动能定理解决．而且省去了确定是否守恒和选定零势能面的麻烦，反过来，能用动能定理来解决的题却不一定都能用机械能守恒定律来解决，在这个意义上讲，动能定理比机械能守恒定律应用更广泛更普遍。故机械能守恒定律主要应用在多个物体组成的系统中.
A
B
O
图5-5-3
A
【例2】如图5-5-3所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴.AO、BO的长分别为2L和L.开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方.让该系统由静止开始自由转动，求：⑴当A到达最低点时，A小球的速度大小v；⑵ B球能上升的最大高度h；⑶开始转动后B球可能达到的最大速度vm.
A
B
O
v
v/2
图5-5-4
【解析】以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒.
(1)过程中A的重力势能减少，A、B的动能和B的重力势能增加， A的即时速度总是B的2倍, 如图5-5-4所示.
由系统机械能守恒有:
O
A
B
α
α
图5-5-5
，解得
⑵B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向左偏了α角.如图5-5-5示,
由系统机械能守恒有:
2mgž2Lcosα=3mgžL(1+sinα)，此式可化简为
4cosα-3sinα=3，利用三角公式可解得
sin(53°-α)=sin37°，α=16°
B
O
θ
A
θ
A
图5-5-6
⑶B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功WG.设OA从开始转过θ角时B球速度最大，如图5-5-6所示.
=2mgž2Lsinθ-3mgžL(1-cosθ)
=mgL(4sinθ+3cosθ-3)≤2mgžL，解得
● 拓展
如图5-5-7所示，在质量不计长为L的不能弯曲的图5-5-7
轻直杆的一端和中点分别固定两个质量均为m的小球A、B，杆的另一端固定在水平轴O处，杆可以在竖直面内无摩擦地转动，让杆处于水平状态，从静止开始释放，当杆转到竖直位置时，两球速度vA、vB分别为多少？
【解析】AB两球和地球组成的系统由于只有重力势能跟动能的相互转化，所以机械能守恒.初、末态分别选在水平位置、竖直位置，零势面选在竖直位置
A球所在的水平面，由机械能守恒定律得：①
由于两球转动时的角速度相同
②
三、机械能守恒定律在多个过程系统中的应用
多物体多过程系统的机械能守恒问题要特别注意机械能守恒定律成立的条件,守恒条件的表达很简单,但在一些具体问题中来判断还是有一定难度的,例如:一般情况下碰撞过程中的系统的机械能是不守恒的(弹性碰撞例外).此处常常容易出错.
零势面
v
图5-5-9
课堂自主训练
零势面
v
图5-5-9
1.如图5-5-9所示,总长L的光滑匀质铁链跨过一个光滑轻小滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时，其一端下落，刚铁链刚脱离滑轮的瞬间速度为多少？
【解析】取底面为零势面，下落过程只有重力做功，机械能守恒，初态时：
末态时：
由 有
v1
v2
图5-5-10
2.如图5-5-10所示，将楔木块放在光滑水平面上靠墙边处并用手固定，然后在木块和墙面之间放入一个小球，球的下缘离地面高度为H，木块的倾角为θ，球和木块质量相等，一切接触面均光滑，放手让小球和木块同时由静止开始运动，求球着地时球和木块的速度.
【解析】此题的关键是要找到球着地时小球和木块的速度的关系。因为小球和木块总是相互接触的，所以小球的速度v1和木块的速度v2在垂直于接触面的方向上的投影相等，即:v1cosθ=v2sinθ
由机械能守恒定律可得：
mgH=mv12/2+mv22/2
由上述二式可求得：
v1=sinθ, v2=cosθ.
3.质量为m的小球，沿光滑环形轨道由静止滑下（如图5-5-11所示），滑下时的高度足够大.则小球在最低点时对环的压力跟小球在最高点时对环的压力之差是小球重力的多少倍？
H
A
B
R
图5-5-11

【解析】以小球和地球为研究对象，系统机械能守恒，即
………………………①
…………②
小球做变速圆周运动时，向心力由轨道弹力和重力的合力提供
在最高点A：…………③
在最高点B： ………④
由①③解得：
由②④解得：

课后创新演练
B
图5-5-12
A
1.如图5-5-12所示，两质量相同的小球A、B，分别用线悬线在等高的O1、O2点，A球的悬线比B比球的悬线长，把两球的悬线均拉到水平后将小球无初速释放，则经过最低点时（悬点为零势能）（ ）
A．A球的速度大于B球的速度
B．A球的动能大于B球的动能
C．A球的机械能大于B球的机械能
图5-5-13
D．A球的机械能等于B球的机械能
2．如图5-5-13所示，
小球自高为H的A点
由静止开始沿光滑曲
面下滑，到曲面底B
点飞离曲面，B点处曲
面的切线沿水平方
向．若其他条件不变，
只改变h，则小球的水平射程s的变化情况是 ( )
A．h增大，s可能增大
B．h增大，s可能减小
C．h减小，s可能增大
D．h减小，s可能减小
3．人站在h高处的平台上，水平抛出一个质量为m的物体，物体落地时的速度为v，以地面为重力势能的零点，不计空气阻力，则有（ ）
A．人对小球做的功是
B．人对小球做的功是
C．小球落地时的机械能是
D．小球落地时的机械能是
4．在下面列举的各例中，若不考虑阻力作用，则物体机械能发生变化的是（ ）
Ａ．用细杆栓着一个物体，以杆的另一端为固定轴，使物体在光滑水平面上做匀速率圆周运动
Ｂ．细杆栓着一个物体，以杆的另一端为固定轴，使物体在竖直平面内做匀速率圆周运动
Ｃ．物体沿光滑的曲面自由下滑
Ｄ．用一沿固定斜面向上、大小等于物体所受摩擦力的拉力作用在物体上，使物体沿斜面向上运动
5．如图5-5-14所示，长为L1的橡皮条与长为L2的细绳的一端都固定
在O点，另一端分
别系两球A和B，A和B的质量相等，现将两绳都拉至水平位置，由静止释放放，摆至最低点时，橡皮条和细绳长度恰好相等，若
不计橡皮条和细绳的质量，两球经最低点速度相比 ( )
A．A球大 B．B球大
C．两球一样大 D．条件不足，无法比较
图5-5-14

m
M
A
B
C
图5-5-15

6.如图5-5-15所示，一
轻绳的两端各系一小
球（可视为质点），质
量分别为M和m
（M>m），跨放在一个
光滑的半圆柱体上.两球由水平直径AB的两端由静止释放，当m刚好到达圆柱体的最高点C时，恰好脱离圆柱体.则两小球的质量之比为多少？
A
B
h
θ
图5-5-16
7.如图5-5-16所示，跨过同一高度的滑轮的细线连着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆高h=0.2m，开始时让连A的细线与水平杆夹角θ=530，由静止释放，在以后的过程中A能获得的最大速度是多少？（Sin530 = 0.8 , Cos530 = 0.6 , g取10m/s2）

8.如图5-5-17所示，光滑水平面AB与竖直面的半圆形导轨在B点衔接，导轨半径R，一个质量为m的静止物块在A处压缩弹簧，把物块释放，在弹力的作用下获得一个向右的速度，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C点，求：
（1）弹簧对物块的弹力做的功；
（2）物块从B至C克服阻力所做的功；
A
B
C
R
图5-5-17
（3）物块离开C点后落回水平面时动能的大小.

1 ABD 2ABCD 3BC 4B 5B
6【解析】经分析可知，A、B运动时系统内只有动能和重力势能的相互转化，所以系统的机械能守恒，由机械能守恒有

又m在最高点C时作圆周运动，恰好脱离圆柱体，由牛顿第二定律有
由可解得

7解析】分析可知：当与A连接的细线运动到竖直方向时，A的速度最大，此时B的速度为零.由于两个物体的运动过程中只有重力做功,系统机械能守恒.由机械能守恒得

所以=1m/s

8解析】(1)在B点对物块有：
解得：
（2）在C点对物块有：得
在由B到C过程由功能关系有：

3在由C到落回地面的过程由机械能守恒有：