云南中考数学《专项三：压轴题》精讲教学案类型② 图形面积存在性问题探究.doc

类型②　图形面积存在性问题探究
,备考攻略)

1．三角形面积的最大值
(1)“抛物线上的顶点，使之和一条定线段构成的三角形面积”的问题．
(2)“抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题．
(3)“三边均动的动三角形面积最大”的问题．
2．四边形面积的最大值
(1)“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大”的问题．
(2)“定四边形面积的求解”问题．
3．图形运动过程中出现重叠部分的图形面积．

1．动点坐标与动线段，长度的转化不能较好理解．
2．列出面积的表达式后，化简能力缺乏．
3．对图形运动过程缺乏分析，遗漏答案．

1．过动点向y轴作平行线，找到与定线段(或所在直线)的交点，从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，动点坐标设好，转化为长度代入，利用二次函数最值进一步可得到题目要求出的最大值．
2．先把动三角形分割成两个基本模型的三角形(有一边在x轴或y轴上的三角形，或者有一边平行于x轴或y轴的三角形，称为基本模型的三角形)面积之差，设出动点在x轴或y轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似(常为图中最大的那一个三角形)．利用相似三角形的性质(对应边的比等于对应高的比)可表示出分割后的一个三角形的高．从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式，相应问题也就轻松解决了．
3．经过三角形的3个顶点构造矩形，利用矩形面积减去3个三角形面积．
4．一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题，由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形(连接两个定点，即可得到一个定三角形)的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大．
5．“定四边形面积的求解”问题：有两种常见解决的方案：
方案(一)：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和；
方案(二)：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向x轴(或y轴)作垂线，或者把该点与原点连接起来，分割成一个梯形(常为直角梯形)和一些三角形的面积之和(或差)，或几个基本模型的三角形面积的和(差)，转化为一个开口向下的二次函数问题．

1．三角形面积
(1)已知抛物线三定点形成的三角形面积：抛物线与一条直线相交得出两个交点，联立方程组即可求出这两个点的坐标，再与抛物线上的顶点形成三角形，并求出这个三角形面积．
(2)已知抛物线上一动点与两定点形成的三角形面积：抛物线与一条直线相交得出两个交点，联立方程组即可求出这两个点的坐标，再在抛物线上求一动点与它们形成三角形，并求出这个三角形面积的最大值．
(3)三边都在变化的三角形的面积：两个动点沿两条直线运动与一个定点形成的三角形的面积最大值．
2．四边形面积的最大值
(1)抛物线上的顶点，使之和另外三个定点构成的四边形面积：抛物线与两坐标轴的三个交点与顶点形成的四边形的面积．
(2)一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积：抛物线与两坐标轴的三个交点与另一动点形成的四边形的最大值．
3．重叠部分的面积
几何图形由于折叠、平移与一基本图形出现重叠部分，求重叠部分的图形面积．,典题精讲)
◆三角形面积
【例1】如图，一小球从斜坡O点抛出，球的抛出路线可以用二次函数y＝－x2＋4x刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画．
(1)请用配方法求二次函数图象最高点P的坐标；
(2)小球的落点是A，求点A的坐标；
(3)连接抛物线的最高点P与点O，A得△POA，求△POA的面积；
(4)在OA上方的抛物线上存在一点M(点M与点P不重合)，△MOA的面积等于△POA的面积，请写出点M的坐标．

【解析】(1)配方法即可求得P点坐标；(2)联立方程组可求点A的坐标；(3) 过点P作PB⊥x轴交OA于点B，可得点B的坐标，表示出PB的长，以PB为公共边求出两个三角形的面积之和即可；(4)利用三角形同底等高的知识，过点P作PM∥OA交抛物线于点M，保证两个三角形的高相等，从而面积相等．
【答案】解：(1)y＝－x2＋4x＝－(x2－4x)＝－(x2－4x＋4)＋4＝－(x－2)2＋4，
∴最高点P的坐标为(2，4)；
(2)点A的坐标满足方程组
解得或
∴点A的坐标为；
(3)如图，过点P作PB⊥x轴交OA于点B，
则点B的坐标为(2，1)，∴PB＝3.
∴S△POA＝S△OPB＋S△APB＝×3×2＋×3×＝；
(4)过点P作PM∥OA交抛物线于点M，连接OM，AM，则△MOA的面积等于△POA的面积，
设直线PM的解析式为y＝x＋b，代入P(2，4)，得×2＋b＝4，解得b＝3，
∴直线PM的解析式为y＝x＋3，
根据题意可列方程组
解得或
∴点M的坐标为.
【例2】(2014昆明中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)与x轴交于点A(－2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
(3)当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点M，使S△CBM∶S△PBQ＝5∶2，求M点坐标．

【解析】(1)待定系数法求出二次函数解析式；(2)设经过t s时，可知PB＝6－3t，BQ＝t，B(4，0)，C(0，－3)，则BC＝5，过Q点作 QK⊥x轴于K点，利用三角形相似表示KQ的长度，从而表示出△PBQ的面积为二次函数，利用二次函数的最值即可求出面积最大值；(3)根据(2)的结果求出△CBM的面积，依据函数解析式表示出动点M的坐标，过M点作y轴的平行线交BC于N点，交x轴于R点，表示N的坐标，分割△CBM为两个三角形，列出方程即可求出答案．
【答案】解：(1)y＝ax2＋bx－3经过A(－2，0)，B(4，0)，
∴解得：
∴y＝x2－x－3；
(2)设经过t s时，△PBQ面积最大．
∴PB＝6－3t，BQ＝t，∵B(4，0)，C(0，－3)，∴BC＝5.
过Q点作QK⊥x轴于K点．
∵OC⊥x轴，QK⊥x轴，∴OC∥QK，
∴＝＝，即＝，
∴KQ＝t，
∴S△BPQ＝BP×KQ＝×t(6－3t)
＝－(t－1)2＋，
∴当t＝1时，S△BPQ取最大值为；

(3)当S△BPQ取最大值时，S△CBM∶S△PBQ＝5∶2，即S△CBM＝，
∵M在抛物线上，且在BC下方，设M，
过M点作y轴的平行线交BC于N点，交x轴于R点，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，代入B(4，0)，C(0，－3)，得解得
∴直线BC解析式为y＝x－3，
∴N点坐标为，
∴S△CMB＝S△CMN＋S△NMB＝MN×OR＋MN×BR＝MN(OR＋BR)＝MN×OB，
∴＝×4×，
解得t1＝1，t2＝3，
∴M1，M2.
◆四边形面积
【例3】如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，－3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．

【解析】(1)由B，C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；(2)连接BC，则△ABC的面积是不变的，过P作PM∥y轴，交BC于点M，设出P点坐标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时△PBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积．
【答案】解：(1)把B，C两点坐标代入抛物线解析式，得解得
∴抛物线解析式为y＝x2－2x－3；
(2)连接BC，过P作y轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H.
在y＝x2－2x－3中，令y＝0，得0＝x2－2x－3，解得x＝－1或x＝3，∴A点坐标为(－1，0)，
∴AB＝3－(－1)＝4，且OC＝3，
∴S△ABC＝AB·OC＝×4×3＝6，
∵B(3，0)，C(0，－3)，
∴直线BC解析式为y＝x－3，
设P点坐标为(x，x2－2x－3)，则M点坐标为(x，x－3)，
∵P点在第四限，
∴PM＝x－3－(x2－2x－3)＝－x2＋3x，
∴S△PBC＝PM·OH＋PM·HB＝PM·(OH＋HB)＝PM·OB＝PM，
∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，
∵PM＝－x2＋3x＝－＋，
∴当x＝时，PMmax＝，则S△PBC＝×＝，
此时P点坐标为，S四边形ABPC＝S△ABC＋S△PBC＝6＋＝，
即当P点坐标为时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为.
【例4】如图所示，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c过点C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为M，求四边形ABMD的面积；
(3)在y轴上找一点E，使S△ABE＝S四边形ABMD，求出点E的坐标．

【解析】(1)由C，D两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；(2)求出顶点M的坐标，过点M作MN⊥x轴于点N，得出点N的坐标，把四边形ABMD分割成两个直角三角形，一个梯形，求出面积之和；(3)设出点E的坐标，直接列方程求解．
【答案】解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c过点D(0，5)，C(3，8)，
∴解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5；
(2)抛物线y＝－x2＋4x＋5与x轴交于点A(－1，0)，B(5，0)，顶点为M(2，9)，过点M作MN⊥x轴于点N，则N(2，0)．
∴S四边形ABMD＝SRt△AOD＋S梯形DONM＋SRt△BMN
＝×1×5＋×(5＋9)×2＋×9×3＝30；
∴四边形ABMD的面积为30；
(3)设点E的坐标为(0，y)，
则S△ABE＝×6×|y|＝3|y|.
∵S△ABE＝S四边形ABMD，∴3|y|＝30，解得y＝10，y2＝－10.∴点E的坐标为(0，10)或(0，－10)．

1．如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；
(3)当(2)中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．

解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
∵抛物线经过A，B两点且对轴为直线x＝，
∴
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x－4，
配方，得y＝－＋，
∴顶点坐标为；
(2)设E点坐标为，
S＝2×OA·yE＝6
即S＝－4x2＋28x－24；
(3)平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形，理由如下：
当平行四边形OEAF的面积为24时，即
－4x2＋28x－24＝24，
化简，得x2－7x＋12＝0，
解得x＝3或4，当x＝3时，EO＝EA，平行四边形OEAF为菱形；当x＝4时，EO≠EA，平行四边形OEAF不为菱形．　
◆重叠部分面积
【例5】如图①，在直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx＋b交x轴，y轴于点E，F.点B的坐标是(2，2)，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A，C.点D是线段CO上的动点，以BD为对称轴，作与△BCD成轴对称的△BC′D.
(1)当∠CBD＝15°时，求点C′的坐标；
(2)当图①中的直线l经过点A，且k＝－时(如图②)，求点D由C到O的运动过程中，线段BC′扫过的图形与△OAF重叠部分的面积．

【解析】(1)利用翻折变换的性质得出∠CBD＝∠C′BD＝15°，C′B＝CB＝2，进而得出CH的长，进而得出答案；(2)首先求出直线AF的解析式，进而得出当D与O重合时，点C′与A重合，且BC′扫过的图形与△OAF重合部分是弓形，求出即可．
【答案】解：(1)由题意得：△CBD≌△C′BD，
∴∠CBD＝∠C′BD＝15°，C′B＝CB＝2，
∴∠CBC′＝30°.
如图①，作C′H⊥BC于H，则C′H＝1，HB＝，
∴CH＝2－，
∴点C′的坐标为(2－，1)；
(2)如图②，∵A(2，0)，k＝－，
∴代入直线AF的解析式y＝－x＋b，
∴b＝，
则直线AF的解析式为y＝－x＋，
∴∠OAF＝30°，∠BAF＝60°，
∵在点D由C到O的运动过程中，BC′扫过的图形是扇形，
∴当D与O重合时，点C′与A重合，
且BC′扫过的图形与△OAF重合部分是弓形，
当C′在直线y＝－x＋上时，BC′＝BC＝AB，
∴△ABC′是等边三角形，这时∠ABC′＝60°，
∴重叠部分的面积是：－×22＝π－.
图①
　　　图②

2．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋x＋3交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D.
(1)求直线BC的解析式；
(2)点E(m，0)，F(m＋2，0)为x轴上两点，其中2<m<4，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线与点E′，F′，交BC于点M，N，当ME′＋NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RF′－RE′|值最大，请求出R点的坐标及|RF′－RE′|的最大值；
(3)如图②，已知x轴上一点P，现以点P为顶点，2为边长在x轴上方作等边三角形QPC，使GP⊥x轴，现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到达点A时停止，记平移后的△QPG为△Q′P′G′，设△Q′P′G′与△ADC的重叠部分面积为S，当点Q′到x轴的距离与点Q到直线AW的距离相等时，求S的值．
图①
　图②

解：(1)y＝－x＋6；
(2)如图①，∵点E(m，0)，F(m＋2，0)，
∴E′，
F′，
∴E′M＝－m2＋m＋3－(－m＋6)
＝－m2＋2m－3，
F′N＝－m2＋4－(－m＋4)
＝－m2＋m，
∴E′M＋F′N＝－m2＋3m－3，
当m＝－＝3时，E′M＋F′N的值最大，
∴E′，F′，
∴E′F′解析式为y＝－x＋，
∴R，根据勾股定理得：RF′＝10，RE′＝6，∴|RF′－RE′|max＝4；
(3)由题意，Q点在∠WAB的角平分线或外角平分线上，
①如图②，当Q点在∠WAB的角平分线上时，
Q′M＝Q′N＝，AW＝，
∵△RMQ′∽△WOA，∴＝，
∴RQ′＝，∴RN＝＋，
∵△ARN∽△AWO，
∴＝，∴AN＝，
∴DN＝AD－AN＝4－＝，
∴S＝；

图③
②如图③，当Q点在∠WAB的外角平分线上时，
∵△Q′RN∽△WAO，∴Q′R＝，
∴RM＝－.
∵△RAM∽△WOA，∴AM＝，
在Rt△Q′MP′中，MP′＝Q′M＝3，
∴AP′＝MP′－AM＝3－＝，
在Rt△CP′S中，P′S＝AP′＝×，
∴S＝.

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