线性代数课程复习提纲.doc

线性代数课程复习提纲
王航平

第一章　行列式：
1、行列式的定义：
（1）（仅）适用于2、3阶行列式的对角线法则；
（2）逆序数与排列的奇偶性；
（3）n阶行列式的定义（的意义与展开，展开式中项的规律与符号的确定（3种方式））；
（4）抽象表示技能。
2、行列式的基本计算：
（1）利用定义计算；
（2）利用行列式的性质，化行列式为上（下）三角行列式计算；
（3）利用行列式的性质，化某行（列）只留一个（可能的）非零元，再用行列式的按行按列展开定理（子式，余子式，代数余子式）计算。
3、行列式的常用计算技巧：
（1）利用行和或列和相等的特点计算；
（2）加边法；
（3）同时拆行（列）法；
（4）递推法*；
（5）利用Vandermonde行列式计算；
(6)　数学归纳法*。
（此次考试仅要求有限阶的数字行列式与文字行列式的计算）
4、Cramer法则：
注意Cramer法则使用的前提条件：
（1）方程组的个数与未知量的个数相等；
（2）系数行列式不为零。
难点：抽象表示（n阶行列式的定义）、n阶行列式的计算。
第二章　矩阵及其运算
矩阵的各类运算：
1、 乘法：
（1） 两矩阵相乘的前提（左矩阵的列数与右矩阵的行数相等）；
（2） 乘法交换律不成立（导致乘法公式不成立，二项式公式不成立，消去律不成立）；
（3） 积矩阵中元的表示。（）
2、 转置、方阵的行列式、共轭矩阵：定义与运算性质（穿脱原理；、等）。
3、 逆矩阵：
（1） 逆矩阵的定义；
（2） 可逆的充要条件（行列式不为零、非奇异、满秩）；
（3） 伴随矩阵；利用伴随矩阵求逆。（注意伴随矩阵的计算程序，以保证计算结果的准确性）
4、 矩阵的分块：
（1） 分块运算的定义，尤其是分块的转置、分块乘法中左（右）矩阵的块保持在左（右）边；
（2） 分块求逆法（设未知矩阵求解矩阵方程、准对角矩阵的求逆）
重点：矩阵的求逆（要求掌握各种求逆方法）。

第三章　矩阵的初等变换与线性方程组
1、矩阵的初等变换、行阶梯形矩阵、行最简矩阵；
2、子式、求矩阵的秩，三秩相等定理；
3、线性方程组的有解判别定理；
4、初等矩阵及八字原则（左行右列，首尾为主）；
5、利用初等变换求矩阵的逆、求解矩阵方程。
第四章　向量组的线性相关性
1、线性表示、线性组合、两向量组的等价
2、 线性相关性：
（1） 定义（2个）；
（2） 相关性的判别：转为向量方程是否有非零解，转为齐次线性方程组是否有非零解；转为求矩阵的秩；
向量组线性相关向量方程有非零解
矩阵的秩
3、极大无关组、秩及其求法；(对矩阵施行初等行变换，不改变矩阵列向量之间的线性关系。)
4、相关性与矩阵间的关系（表示矩阵等）；

（3） （即为基本定理）
（4） 当线性无关时，有
5、 相关性的有关性质：
尤其是线性相性的基本定理：向量组A可由向量组B线性表示，
则(－秩)
6、 向量空间：
（1） 定义与判别；
（2） 生成子空间及相关性质：

（3） 基与维数：能找出给定空间的基（一般为常见空间）
7、求解线性方程组（基础解系、通解、特解。有解判定定理。系数矩阵的秩与基础解系所含向量个数的关系）（注意求解程序，以保证计算的正确性）
基本题型：
（1） 相关性的证明；
（2） 求给定向量组的极大无关组、秩，并用该极大无关组表示其余向量；
（3） 相关性的判断；
（4） 求解线性方程组。
（5） 重点：线性相关性、求解线性方程组。

第五章　相似矩阵与二次型
1、向量的内积：定义（对称性、线性性、非负性）、长度、正交；
2、正交向量组、规范正交基、Schmidt正交化、正交矩阵、正交变换；
3、特征值、特征向量、特征多项式及Hamilton-Cayley定理、属于不同特征值的特征向量线性无关；
4、相似矩阵：定义（是矩阵间的一种等价关系）、相似矩阵具有相同的特征多项式、相似对角化、矩阵能相似对角化的充要条件、充分条件；
5、实对称矩阵的相似性：特征值必为实数、属于不同特征值的特征向量必正交、任一特征值的代数重数等于其几何重数、实对称矩阵必可相似对角化、实对称矩阵必可正交对角化；
6、二次型：二次型矩阵、二次型的秩、矩阵的合同变换、标准形、惯性定理；
7、二次型的正定性：正定二次型、正定矩阵、正定的充要条件、霍尔维茨定理（顺序主子式）。
基本题型：
1、 用正交变换化二次型为标准形；
2、 相似对角化及其证明；
3、 正定矩阵证明。
注意：注意有关结论的前提，是一般的方阵，还是实对称矩阵。
第六章　线性空间与线性变换
1、 线性空间的定义：11条
2、 线性空间的性质及证明：公理化方法
3、 子空间的定义及其判断
4、 维数、基与坐标：要求能熟练计算
5、 线性空间的同构及应用同构理论解决一般线性空间中的问题
6、 过渡矩阵与基变换、坐标变换：要求熟练矩阵表示，过渡矩阵的列向量的几何意义
7、 线性变换与其在某基下矩阵：基下矩阵的列向量的几何意义
8、 线性变换的性质与向量组与象向量组的线性关系：
线性相关线性相关，但其逆不真。
9、 线性变换的象与核、线性变换的秩
10、 同一线性变换在不同基下的矩阵相似。

基本题型：
1、 线性空间与子空间的判定；
2、 求给定间的基与维数、求给定向量在定间基下的坐标；
3、 求过渡矩阵与基变换、坐标变换（常通过第三个基进行过渡）
4、 求基下矩阵。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2004/6/19