第9讲 回归旋转设计.doc

第九讲 回归旋转设计分析方法
REGRESSION ROTATABLE DESIGN
回归旋转设计是在回归正交设计的基础上发展而来的。但后者的预测值的方差很大程度上依赖于试验点在因子空间的位置。由于误差的干扰，试验不能根据预测值直接寻找最优区域。若使用二次设计具有旋转性，便能使与试验中心点距离相等的试验点上的预测值方差相等。将有助于克服回归正交设计的不足。故此，本讲着重讨论二次回归旋转设计及分析。
第一节 二次通用旋转设计的方法
一、试验点的确定
二次旋转设计也是一种组合设计（为克服试验规模过于庞大，在因素空间中选择n类具有不同特点的点，把它们适当组合起来而形成试验计划）。它的试验处理数目N由三部分组成，即：
N=mc+2P+m0 （9—1）
其中：mc为所选用正交表中的全试验数；p为试验因素的个数；m0为各因素零水平组成的中心试验点的重复数。
N个试验点是分布在三个半径不相等的球面上。其中mc个点分布在半径pc=的球面上；2p个点分布在半径pγ=γ的球面上；m0个点集中在半径p0=0的球面上。因此，它满足了旋转性和非退化性。
有关m0的重复次数，二次旋转组合设计对m0的选择是自由的，即使中心点的试验一次也不做，也不会影响旋转性，但中心点附近区域往往是我们所关心的区域，而且中心点重复试验能给出回归方程在中心点的拟合情况。所以，中心点m0的重复试验是很有必要的。 m0因p不同而不同。现将通用旋转设计的一些有关参数列于表9—1，供设计时查用。
表9—1 二次通用旋转设计的参数表
因素个数（p）
N mc 2p m0 γ
2
3
4
5（1/2实施）
6（1/2实施）
7（1/2实施）
8（1/2实施）
8（1/4实施）
13 4 4 5 1.44
20 8 6 6 1.682
31 16 8 7 2.000
32 16 10 6 2.000
53 32 12 9 2.378
92 64 14 14 2.828
165 128 16 21 3.364
93 64 16 13 2.828
表9—1中γ值可按下式计算
(9—2)
式中：p为因素个数；i为实施情况，当试验全实施时i=0，1/2实施时i=1；1/4实施时i=2。
二、二次旋转计划的安排
设为研究的因素有p个，分别以Z1、Z2、…、Zp表示，每因素的上水平为Zi2，下水平为Zi1，零水平为Zi0，变动区间（Δi）为：

△
其中r值可按p的个数及实施情况查表9—1或按9—2式计算，然后编制因素水平的编码表9—2。
表9—2 因素水平的编码表
xia
Z1
Z2
……
Zp
γ
1
0
－1
－γ
Z12
Z10+△1
Z10
Z10－△1
Z11
Z22
Z20+△2
Z20
Z20－△2
Z21
……
……
……
……
……
Zp2
ZP0+△P
ZP0
ZP0－△p
ZP1

第二节 二次通用旋转设计的结果分析
一、回归系数的计算
在二次通用旋转设计中，回归系数按下列各式计算：

式中各常数e，k，E，F，G等按下式计算：
（9—6）
式中的N ，mc，p，r值均按p的个数查表9—1所得，如p=2时，查表9—1，得N=13，mc=4，r=1.414，代入（9—6）式得：
e = 4+2(1.414)2 = 8
f = 4+2(1.414)4=11.995
H = 2(1.414)4[13×11.995+（2-1）13×4－2×82]=639.094
┊
为方便见，一些常用的数据列于表9—3中，以供查用。
表9—3 二次通用旋转组合设计的一些常数
因素个数P
K E F G e
2
3
4
5（1/2实施）
5
6（1/2实施）
7（1/2实施）
0.20000 －0.1000 0.1437 0.0187 8.000
0.1663 －0.0568 0.0694 0.0069 13.656
0.1428 －0.00357 0.0350 0.0037 24.000
0.1591 －0.0341 0.0341 0.0028 24.000
0.0988 －0.0191 0.0180 0.0015 43.314
0.01108 －0.0187 0.0168 0.0012 43.314
0.0703 －0.0098 0.0083 0.0005 80.000
二、回归方程的显著性检验
设二次通用旋转设计N个组合的试验结果为Y1，Y2，…Yn，则它们的总平方和与自由度为：

剩余平方和与自由度为：
(9—8）
回归平方和与自由度为：
（9—9）
误差平方和与自由度为：
（9—10）
失拟平方和与自由度为：
（9—11）
检验时先对失拟均方进行显著性检验，即：
（9—12）
若不显著，可对回归方程进行显著性检验；若F 值显著或极显著，则要进一步考察原因，改变二次回归模型，说明存在着不可忽略因素的影响。
对回归方程进行显著性检验，即：
（9—13）

三、回归系数的显著性检验
可采用t测验，即：
（9—14）
若不显著（9-12）可用代（9-14）
第三节 二次通用旋转设计的实例分析
一、编制编码表安排试验
有一个三因素的试验，各个因素的水平编码如表9—4，由表9—1 查得 γ=1.628，于是，表9—4中的变动区间Δi为：
△1=
△2=
△3=
Z1（+1）=Z10+△1=55+15=70
Z1（-1）=Z10-△1=55-15=40
Z2（+1）=Z20+△2=70+305=100
Z2（-1）=Z20-△2=70-305=40
Z3（+1）=Z30+△3=150+89=239
Z3（-1）=Z30-△3=150-89=61
表9—4 三个因素水平编码表
因素
xia
Z1 Z2 Z3
+γ
+1
0
-1
-γ
80 120 300
70 100 239
55 70 150
40 40 61
30 20 0
Δi
15 30 89
按通用旋转设计，查表9—1，三个因素的处理组合N=20，其中mc=8，2p=6，m0=6，于是可得表9-5的20个处理组合，其中：
处理1为： x1=70，x2=100，x3=239
处理2为： x1=70，x2=100，x3=61
┆ ┆ ┆ ┆
处理9为： x1=80，x2=70，x3=150
处理10为： x1=30，x2=70，x3=150
┆ ┆ ┆ ┆
处理15-20为：x1=55 ，x2=70，x3=150
经试验后，把试验结果列于表9-5中的最后一列（y）。
表9-5 三因素二次通用旋转设计结果

二、试验结果分析
（一）由表（9-3）中查得有关常数代入（9-5）式计算各回归系数

于是得到回归方程为：

（二）回归方程的显著性检验，依公式可得下列各平方和及自由度。

SS失=SSQ－SSe=13.974－3.108=10.866
dfT=N―1=20―1=19
dfQ=N―=20―10=10
dfU=―1=9
dfe=m0－1=6－1=5
df失=20―10―6+1=5
对失拟均方进行显著性检验依

查F值表，F0.05(5，5)=5.05，p>0.05，说明不存在其它有影响的因素，故可作方差分析。
表9-6 回归结果的方差分析

F检验结果表明：二次回归方程与实际情况拟合很好，可用来预测，试验误差方差的估计值为：
，相关指数R2=3693.676/3707.65=0.9962。
（三）回归系数的显著性检验

查t值表，t0.05(10)=2.228，t0.01(10)=3.169，故最优回归方程为：

由于在计算过程中对x1、x2、x3的水平进行了标准化处理，故x1、x2、x3应该分别用（x1－55）/15、（x2―70）/30、（x3―150）/89取代。整理后的最优回归方程为：

该最优回归方程的估测误差为：Sy。e=，相关指数R2=3704.9045/3707.65=0.9993。说明用该回归方程估测y的准确性极高。

习题
9.1 为研究不同营养成份对奶牛产奶量的影响，试验设饲料中3种营养成份（因素）x1、x2、x3的水平变化范围： x1为300~400、x2为100~150、x3为1.2~1.8，试验采用二次旋转设计，各个因素的水平编码如表9-7。试验结果（产奶量）列于表9-8中的最后一列（y）。试作试验结果的分析。
表9—7 三个因素水平编码表
因素
xia
x1 x2 x3
+γ
+1
0
-1
-γ
400 150 1.8
380 140 1.7
350 125 1.5
320 110 1.3
300 100 1.2
Δi
30 15 0.2

表9—8 三因素二次通用旋转设计结果

（答案：，其中，x1=（x1-350）/50，x2=（x2-125）/25，整理后的最优回归方程为：，其中，b1，p<0.01；b4，P<0.05；b2、b3，P<0.1；R2=0.7885。）
9.2 有一再生稻的栽培试验，考察因素分别为播量（x1，kg）、秧龄（x2，天）、密度（x3，万株/亩）、N肥（x4，kg）、P肥（x5，kg）。试验采用5因素二次旋转设计， 1/2实施。各考察因素所设的上、下水平及水平编码如表9-9。试验结果（产量，公斤/亩）列于表9-10中的最后一列（y）。试作试验结果的分析。（答案：在x1=（x1-20）/5，x2=（x2-30）/5，x3=x3-3，x4=（x4-10）/2.5，x5=（x5-5）/2.5时，
，R2=0.8667）。
表9—9 三个因素水平编码表
因素
xia
x1 x2 x3 x4 x5
+γ
+1
0
-1
-γ
30 40 5 15.0 10.0
25 35 4 12.5 7.5
20 30 3 10.0 5.0
15 25 2 7.5 2.5
10 20 1 5.0 0
Δi
5 5 1 2.5 2.5

117

表9—10 五因素二次通用旋转设计结果
№

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
1
1
1
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1
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1
1
1
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4
4
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0
0
0
0
0
0
0
505.7
442.2
446.1
453.7
459.7
470.2
447.5
442.6
425.3
453.7
472.6
432.9
469.4
457.2
449.9
442.6
426.0
430.6
477.1
481.5
463.4
482.7
463.7
468.5
447.2
477.9
468.5
470.8
468.5
475.6
475.6
475.6
470.8
496.9
482.7
456.6

118