建模基本入门.doc

目 录

优秀论文学习及个人认识分析

原文主要内容： 2
摘要 2
关键字：罐容体储油量 分段积分 微分中值定理 线性拟合 循环迭代 3
问题的背景 3
问题的提出与重述 3
基本假设 3
模型的主要符号变量说明 3
问题的分析 3
模型建立与求解 3
模型的进一步讨论和改进 4

个人分析： 4

必做题MATLAB代码及答案： 5

1、水塔流量的估计 5
问题解析 5
MATLAB源代码： 6

2、最佳广告费用及其效应 7
问题分析  7
MATLAB源代码： 7

3、露天采矿 10
问题的分析 11

优秀论文学习及个人认识分析
储油罐的变位识别与罐容表标定
原文主要内容：
摘要
加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，可通过预先标定好的罐容表，可得到罐内油位高度与储油量的变化关系，因而建立储油罐变位后储油量与油高及变位参数（纵向倾斜和横向偏转）之间的一般关系，对罐体储油量的真实计算。
先建立没有变位时的罐体储油量和油位高度的关系， 其次，利用几何关系，将横向偏转修正，以消除其对储油量的影响，将问题归结为只需要计算纵向偏转对储油量的影响，最后利用循环迭代并结合矩形套定理，逐步缩小范围，以确定偏转角，用以模拟检验，得出结果与实际相符。
关键字：罐容体储油量 分段积分 微分中值定理 线性拟合 循环迭代

问题的背景
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

问题的提出与重述
由于地基变形等原因，使罐体的位置发生变位，从而导致罐容表不能显示实际的储油量，罐容表误差过大而不能正常使用，造成加油站油品虚假盈亏。这样，就给加油站经营管理带来一些问题。如造成加油站虚假盈亏，无法对油品数量进行正确的监控和管理，以及年底盘底或新旧站长变更时，无法进行正常的油品库存交接。因而需要对罐容表进行重新标定。

α

图1 储油罐正面示意图 图2 储油罐纵向倾斜变位后示意

基本假设
1. 假设油浮子始终处于水平状态，并且油浮子的体积不记，视为质点；
2. 假设油位探针是固定的，不发生任何转动；

模型的主要符号变量说明
主要符号说明：V：无变位时椭圆形储油罐的储油量；V1：椭圆型储油罐变位后，底部部分覆盖时的储油量；V2：椭圆型储油罐变位后，底部覆盖顶部未覆盖时的储油量；变位后，底部部分覆盖时，油位与底部的相交线离

问题的分析
首先建立了无变位时小椭圆形储油量与油位高度的一般关系函数式，由于小椭圆型储油罐纵向变形后，在油量少到低于油位探针最底端时和油量多于探针与椭圆柱体顶部的交点时，纵向变位后，在油液面低于柱体右端最低点和高于左端最高点，及两者之间，储油量与油位高度有不同的关系式。

模型建立与求解
由于对于特定的椭圆型储油罐，当其所处状态(变位或未变位)确定时，对于进油和出油的研究都一样，所以本问题只用进油这一情况进行分析。研究对于图4的小椭圆型储油罐，我们首先建立无变位时罐内储油量与油位高度的函数关系式：

其中a=1.78/2=0.89m，b=1.2/2=0.6m，L=2.45m。实际值与理论计算值随油位高度变化的图像见

模型的进一步讨论和改进
椭圆型储油罐纵向变位后，虽然计算值和实际值的误差很小，但为了计算更准确，更接近实际，我们对误差随监测油位高度的变化进行了多项式拟合，发现三次拟合效果最好。散点为附件五中的（理论计算值-实际值）/实际值，蓝线为拟合曲线），从图中可以看出拟合效果很好。因而设误差随油位高度变化的函数关系式为。

个人分析：
首先，我先谈谈自己对数学建模的理解，在学习优秀论文的过程中，我对数学建模有了自己的认识，虽然建模刚开始我并没有来，但就这几天的熟悉与了解，我觉得数学建模就是一把万能的钥匙，在生活中，我们无时无刻不在使用它，比如，我们去一个地方，我们肯定要考虑去那里的路线方式，还要考虑综合的价格与时间长短，受天气、个人行程的影响等因素，还有，对于全国性的疾病调查、人口统计等，数学建模都在起着无可代替的作用，所以，无论小事大事其实就已经涉及到了数学建模的最优问题、选择问题等，同时，我们在学习数学建模的过程中，我们要学会对大量的数学数据进行分析，这既要求我们去图书馆查阅相关的资料，也要学会筛选整理网上形形色色的信息，再次，数学模型的模型本身来自生活的各个方面，所以这就要求我们具备多学科交叉学习的能力，这既拓宽了我们的知识面，又使我们的逻辑思考、团队合作等太多的能力得以提高。
而对于论文写作，我觉得它要有一定的格式，但也要条理清晰，有所创新，用简洁的语言全面体现整个团队的思考，首先要进行模型准备，了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握数据对象的各种信息。用数学语言来描述问题。这个过程要求我们对大量的数据进行分析归纳，使用必要的软件，对数据进行导入导出。其次，我们要模型假设，根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。当然，我觉得最重要的是模型建立与模型的求解，在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。模型求解时，应利用获取的数据资料，对数据进行拟合，对主要参数进行必要的取舍，抓住主要因素，进行分析计算，这个过程中，我们要学会使用程序解答，以简单的文字、必要的图表、数据的结果图等形式呈现，实现问题的最优化，使其最准确的符合实际，最后，我们在完成模型分析后，要进行模型检验，将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。最后的最我们完成模型后要学会推广并应用，而应用方式因问题的性质和建模的目的而异。
总之，数学建模看似简单却并不简单，需要用心思考、用心努力。
必做题MATLAB代码及答案：
1、水塔流量的估计
某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最底水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位的时候停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约3h.
水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。按照设计。水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升至约10.8m时水泵停止工作。
下表是某一天的水位测量记录（符号“//”表示水泵启动），试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。

问题解析：流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。
水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为拟合的原始数据，我们希望水泵不工作时段的流量越准确越好。我们可以考虑先用表中数据拟合水位～时间函数，然后对之求导即可得到各时段的流量。有了任意时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。
MATLAB源代码：
>>
t=[0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 23.88 24.99 25.91];
h=[968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 1059 1035 1018];
c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3);
a1=polyder(c1);
tp1=0:0.1:9;
x1 =abs(polyval(a1,tp1));
c2=polyfit(t(11:21),h(11:21),3);
a2=polyder(c2);
tp2=11:0.1:20.8;
x2 =abs(polyval(a2,tp2));
xx1=abs (polyval(a1,[8 9]));
xx2=abs (polyval(a2,[11 12]));
xx12= [xx1, xx2];
c12= polyfit([8 9 11 12],xx12,3);
tp12=9:0.1:11;
x12 =polyval(c12,tp12);
dt3= diff (t(22:24));
dh3= diff (h(22:24));
dht3=-dh3/dt3;
t3= [20 20.8 t (22) t(23)];
xx3= [abs (polyval(a2,t3(1:2))),dht3];
c3=polyfit(t3,xx3,3)
tp3=20.8:0.1:24;
x3=polyval(c3,tp3);：
y1=0.1*trapz(x1)
y2=0.1*trapz(x2)
y12=0.1*trapz(x12)
y3=0.1*trapz(x3)
y= (y1+y2+y12+y3)*237.8*0.01
得结果： y1 =146.1815
y2 =258.0441
y12 =50.3990
y3 =74.9138
y =1.2592e+003

2、最佳广告费用及其效应
某装饰材料公司以每桶2元的价钱购进一批彩漆，为了尽快收回资金并获得较多的赢利，公司经理李先生打算做广告，于是便找到广告公司的王先生进行咨询。李经理认为，随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算（见表1）。他问王先生广告有多大效应。王先生说：“投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，这由销售增长因子来表示。例如，投入3万元的广告费，销售增长因子为1.85，即销售量将是预期销售量的1.85倍。据经验，广告费与销售增长因子的关系有表2。”李经理听后，迫切想知道最佳广告费和售价为多少时预期的利润最大，试经过计算给出解答。

问题分析 ：首先用回归建立基本模型，用函数关系式描述了售价与预期销售之间的关系
和广告费与销售增长因子之间的关系。然后，利用基本模型，构造出利润、销售量、广告费三者之间的函数表达式，在相应的限定条件下求出利润的最大值，以及在此最大值下的广告费和售价，即为最佳广告费和售价。 
所以，关键的问题在于如何根据已给定的数据（表一、表二给出），确定出变量与变量之间的最佳函数关系表达式。在此，我们用到了数据拟合中的最小二乘法。 

MATLAB源代码：
售价与预期销售量：
x=2:0.5:6; 
y=[41,38,34,32,29,28,25,22,20]; 
axis([2 8 15 45]); 
plot(x,y,'k*','markersize',6); 
title('售价与预期销售量');
xlabel('售价（X）');
ylabel('预期销售量（Y）'); 
mean_y=sum(y)/length(y); 
SS_T=sum(y.^2)-(sum(y))^2/length(y); 
SS_R=0; 
for i=1:length(y) 
SS_R=SS_R+(polyval(p,x(i))-mean_y)^2; 
end 
R=SS_R/SS_T;
利用Matlab程序依次对n=1,n=3进行拟合，拟合程序如下：
>>x=2:0.5:6; 
y=[41,38,34,32,29,28,25,22,20]; 
plot(x,y,'k*','markersize',10); 
axis([2 8 15 45]); 
p=polyfit(x,y,1); 
p1=polyfit(x,y,3); 
t=0:0.01:8;
s=polyval(p,t); 
s1=polyval(p1,t);
hold on 
plot(t,s,'k-','linewidth',2);
 plot(t,s1,'k--','linewidth',2);
 grid 
title('销售量与售价的拟合曲线');
 xlabel('售价（X）'); ylabel('销售量（Y）');

广告费与销售因子：
利用Matlab程序依次对n=1,n=3进行拟合，拟合程序如下：
>>
x=0:10000:70000; 
y=[1.0,1.4,1.7,1.85,1.95,2.0,1.95,1.8];
plot(x,y,'k*','markersize',10);
axis([0 70000 1.0 2.0]);
p=polyfit(x,y,1); 
p1=polyfit(x,y,3); 
t=0:0.01:8; 
s=polyval(p,t); 
s1=polyval(p1,t);
hold on 
plot(t,s,'k-','linewidth',2);
plot(t,s1,'k--', 'linewidth',2);
grid 
title('广告费与决定因子的散点图'); 
xlabel('广告费（X）'); 
ylabel('决定因子（Y）'); 
广告费与广告因子拟合曲线：
x=0:10000:70000;
y=[1.0,1.4,1.7,1.85,1.95,2.0,1.95,1.8];
plot(x,y,'k*','markersize',10);
axis([0 70000 1.0 2.0]);
p=polyfit(x,y,2);
p1=polyfit(x,y,3);
p2=polyfit(x,y,6)
t=0:1:70000;
s=polyval(p,t);
s1=polyval(p1,t);
s2=polyval(p2,t);
hold on
plot(t,s,'b','linewidth',2);
plot(t,s1,'k--','linewidth',2);
plot(t,s2,'r','linewidth',2);
grid
title('广告费与决定因子的拟合曲线');
xlabel('广告费（X）'); ylabel('决定因子（Y）');

综合考虑售价与销售、广告费与广告因子：
（1）当售价与销售n=1，广告费与广告因子n=2时：
>>f=inline('x(2)-(0*x(1)^2+(-5.1333)*x(1)+50.422)*(x(1)-2)*((-0.0426)*x(2)^2+0.4092*x(2)+1.0188)'); 
[x,fval]=fminsearch(f,[1,1])； 
程序运行结果为： 
x = 5.9113  4.6533  fval = -152.4447 
此时，当售价X=5.9113，广告费Z=4.533时，预期利润P最大，为152.4447（万元）

（2）考虑预期销售量（Y）与售价（X）之间的拟合次数n=1, 增长因子（K）与广告费(Z)之间的拟合次数n=3。 
>>f=inline('x(2)-((-5.1333)*x(1)+50.422)*(x(1)-2)*(0.0011*x(2)*x(2)^2-0.0545*x(2)^2+0.4405*x(2)+1.0068)');
  [x,fval]=fminsearch(f,[1,1]);
 程序运行结果为： 
x = 5.9112    4.5517  fval = -151.4408 
此时，当售价X=5.9112，广告费Z=4.5517时，预期利润P最大，为151.4408（万元）。 

（3）考虑考虑预期销售量（Y）与售价（X）之间的拟合次数n=3, 增长因子（K）与广告费(Z)之间的拟合次数n=3。 
>>f=inline('x(2)-((-0.1953)*x(1)*x(1)^2+2.5859*x(1)^2-15.8704*x(1)+64.0909)*(x(1)-2)*(0.0011*x(2)*x(2)^2-0.0545*x(2)^2+0.4405*x(2)+1.0068)'); 
[x,fval]=fminsearch(f,[1,1]);
程序运行结果为：
 x = 5.7832    4.5538  fval =    -153.4281 
此时，当售价X=5.7832，广告费Z=4.5538时，预期利润P最大，为153.4281（万元） 

综上：从以上结果可以看到，采用不同的拟合曲线，所得的最终结果非常相近，说明曲线的拟合优度较高。
3、露天采矿
某公司获准在一块200*200米的方形地上露天采矿。因为土石滑坡，控坑的坑边坡度不能斜于45度，公司一得到不同位置不同深度的矿砂含纯金属的百分数的估计值。考虑到坡度的坡度角对挖坑工作所加的限制，公司决定将问题作为长方形的挖取问题处理。每个长方形块水平尺寸为50*50，铅直尺寸为25。若在一个深度层挖了4块，则在下一层还可以挖一块；若俯视这5块的水平关系，将是图1所示的情形。这样一来，所能挖取的块数，第一层最多为16块，第二块最多为9块，第三层最多为4块，第四层最多为1块。不能再往下挖。所有这些能挖取的块，按已得的估计值，将各快含纯金属的百分数作为的值，则各快的值如下:

第一层
1.5
1.5
1.5
0.75
1.5
2.0
1.5
0.75
1.0
1.0
0.75
0.5
0.75
0.75
0.5
0.25

第二层
4.0
4.0
2.0
3.0
3.0
3.0
2.0
2.0
0.5
第三层
12.0
6.0
5.0
4.0
第四层
6.0

挖取费用随深度增加。各层的挖取费用为：
层
一 二 三 四
块费用
3000 6000 8000 10000
挖取一块的收入同该块的值成正比：从一个值为100的块可的收入200000。试建一模型以帮助挖取哪些块，使收入减费用最大。
问题的分析 
题目的要求是通过建立数学模型制定最优挖掘方案，使得收入与费用之差为最大，即纯收入最大，这是一个典型的优化模型的问题。根据题目条件，只有在一个深度上挖了四块，才能在下一层再挖一块。最多的挖掘块数为第一层最多为16块，第二层最多为９块，第三层最多４块，第四层最多１块。可以逆向思维，若挖取第四层的那块长方形块，则必须挖取所有的长方形块。而若该公司采用这种挖取方案，则可以根据题目中给出的各块长方形块的价值和挖取费用，计算出其总收入为710.2´（万元），其总挖取费用为160.390.640（万元）
两者之差为0.2-万元，说明若采用这种挖取方案，该公司将损失0.2万元。按照常理考虑，公司采矿的目的是为了盈利，该公司不会采用这种挖取方案。所以，第四层的那块长方形块不挖取。因此，我们在考虑建立模型的时候，只需研究前三层的长方形块
应用矩阵模型求解：
根据各块含纯金属的百分数作为块的值建立其价值矩阵为，分别代表第一层、第二层和第三层的价值矩阵。根据题中给出的数据，得到：
；
；
.
公司纯收入大于0时为盈利，小于0时为亏损。下面单独考虑每一个长方形块的盈利和亏损情况。根据题中条件，第一层中各块的挖取费用为0.3万元，第二层为0.6万元，第三层为0.8万元；而一个价值挖取一块的收入同该块的值成正比，一个值为１的块可得收入为0.2万元。因此，可以根据每一个长方形块的盈亏情况，将每一个长方形的值转移为其盈亏情况，建立“转移矩阵” ，即表示每一个长方形块的盈亏值，其计算公式为每一长方形块的值乘以，减去每一层的挖取费。计算得到：
；
；
.

第二层各块长方形块的盈亏值
长方形块
1
2
3
4
5
6
7
8
9
盈亏值
（万元）
0.3
0.3
-0.5
-0.1
-0.15
-0.9
-0.5
-0.8
-1.3

为了表达清晰，易于模型推广，将三个不同层长方形块的值的矩阵用同一个扩充矩阵来表示，建立一个的三维扩充矩阵，其元素为，分别表示第一、二、三层，分别表示各层各长方形块的坐标。根据题中所给数据，可以得到：

，

，

.
根据夹逼准则，它们应该满足以下关系：

设该公司采矿得到的收入为万元，则.
设该公司采矿所花的费用为万元，则有：，
其中表示各层的挖取费:.
设该公司采矿的盈利为万元，则:.
综上所述，得到单目标线性规划模型：

利用LINGO软件编程求解，求得结果如下：

，

，

.

由矩阵中的值（0表示不挖取，1表示挖取），可以得到结论：该公司最优的采矿方案是挖取第一层的第12356791011块，第二层的第1、2、4、5块和第三层的第一块长方形块。采用这种采矿方案能获得最大的17.5万元。