基本变形的应力和强度计算.doc

教学课题 基本变形的应力和强度计算【练习课】
教学目标或要求 1、理解各种基本变形的应力特点和分布规律；　
　2、掌握各种基本变形的应力和强度计算方法；　
　 3、理解材料在拉伸和压缩时的机械性能指标的含义。
教学重点、难点
教学方法、手段 讲练结合，以练为主
教学过程及内容
基本变形的应力和强度计算
强度是指材料在外力作用下对塑性变形和断裂的抵抗能力。强度问题事关重大，强度不足，就有可能酿成大祸。工程结构和机器零件必须具有足够的强度。强度是材料力学研究的一个主要问题。
第一节 轴向拉伸与压缩的应力和强度计算
一、横截面的正应力
例1：如图a所示一变截面直杆，横截面为圆形，d1＝200mm，d2＝150mm，承受轴向载荷F1＝30kN，F2＝100kN的作用，试求各段截面上的正应力。
图 a 图 b
解：1）计算轴力：AB段的轴力：NAB＝－F2＋F1＝－70kN（压）
　　　　BC段的轴力：NBC＝F1＝30kN（拉）
　　　　　画出轴力图如图12.1.2b所示。
2）求横截面面积 　　　　　
AB段的横截面积：
BC段的横截面积：
　3）计算各段正应力
AB段的正应力：
BC段的正应力：
负号表示AB上的应力为压应力。

二、强度问题 
例2：气动夹具如图所示，已知气缸内径D=140mm，缸内气压p=0.6MPa，活塞杆材料为20钢，[σ]=80MPa,试设计活塞杆的直径，
解：活塞杆两端受拉力，发生轴向拉伸变形，轴力可以由气体的压强求出，再利用N、[σ]就可以设计截面。
1．计算轴力kN
2.设计截面 mm
根据，得出 mm
因此，取dmm

注意：在解题目过程中，应首先判断问题是要设计截面，然后设法去求轴力，轴力利用压强可以求出，问题得到解决。另外要注意物理量的单位换算，当轴力、长度用N和mm时，应力的对应单位是MPa.

第一节 扭转时的应力和强度计算
一、 应力的计算
已知空心圆截面的扭矩T =1kN.m，D =40mm，d=20mm，求最大、最小剪应力。

二、强度问题 

小结公式

弯曲的应力和强度计算
一、纯弯曲
一般情况下，两弯曲时横截面上既有剪力，又有弯矩。对于横截面上的某点而言，既有切应力又正应力。但梁的强度主要决定与正应力的大小，切应力居于次要的地位。所以本节只讨论梁在纯弯曲的情况下横截面的正应力。所谓纯弯曲指横截面上的切应力为零。如图12.4.1所示，简支梁在两对称的集中力作用下的剪力图和弯矩图，从图中看出，在CD段，横截面上只有弯矩而没有剪力，发生纯弯曲变形，而在AC和DB段，既有弯矩又有剪力，这种弯曲称剪切弯曲。

图12.4.1
以CD段的纯弯曲为例，研究弯曲时的变形特点，从而应力在横截面上的分布情况。变形前在表面画两条纵向线和两条横线，发生纯弯曲后，观察梁的变形 （图12.4.2）：（1）横线仍然为直线，且与梁的轴线垂直，但倾斜了一定的角度。 （2）纵线缩短了，伸长了。
根据观察到的现象，可作如下推论：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍垂直与梁的轴线，但旋转了一定的角度。这也是梁纯弯曲时的平面假设。据此可知梁的各纵线受到轴向拉伸和轴向压缩，因此纯弯曲时横截面上只有正应力。两纵线发生轴向拉伸和压缩变形由于材料是连续的，变形也是连续的。因此在由压缩过渡到拉伸之间，必有一纵向线的长度不变，据此可知，必有一层纤维是既不伸长也不缩短，称为中性层，中性层与横截面的交线叫中性轴。
二、正应力的计算
1．正应力计算公式
梁发生纯弯曲时，横截面上的某点处正应力计算公式为：

式中：M表示横截面上的弯矩；      y表示横截面上该点到中性轴的距离；
表示横截面对中性轴的惯性矩；
2．惯性矩
圆形截面                                圆环截面          
三、弯曲时的最大正应力
从弯曲时应力的计算公式中可以分析出最大应力的位置，当同一截面上、都相同时，最大应力发生在y最大的地方。故最大应力的计算公式为：

上式中，如果令,Wz称为抗弯截面系数，则：
抗弯截面系数是衡量截面抗弯能力的一个几何量，越大，越小，梁的承载能力越强，与力的大小无关，其单位为m或mm。一些常用截面的抗弯截面系数需要记住，下面给出矩形、圆形和圆环截面的计算方法和结果。而对工字钢角钢槽钢等的抗弯截面系数，可以查有关的手册。
矩形截面：(宽度b平行于中性轴z轴,高度h)

圆形截面：
圆环截面：
四、弯曲的强度条件
要使梁有足够的强度，必须使梁内的最大的工作应力不超过材料的许用应力。即

需要注意的是，当材料的抗拉和抗压能力不同时，应分对最大拉应力和最大压应力建立强度条件，而当材料的抗拉和抗压能力相同时，不需要分开考虑。
利用梁弯曲时的强度条件也可以解决校核强度、设计截面尺和确定许可载荷三类问题。下面通过例题说明。
例12-5 ：如图12.4.6所示，一悬臂梁长l=1.5m，自由段受集中力P=32KN的作用，梁由22a工字钢制成，梁自重由=0.33KN/m计算，材料的许用应力[σ]=160MPa，试校核梁的强度。
解：要校核强度，须先求出最大正应力，为此须先求出最大的弯矩Mmax。
1、计算Mmax悬臂梁的最大弯矩在固定端A截面。

2、计算Wz对工字钢的抗弯截面系数，可查附表得：Wz=309cm
3、校核强度
即梁的强度合格。
图12.4.6
例12-6：T形截面外伸梁尺寸及受载如图12.4.7所示。截面对形心轴的的惯性矩 Iz=86.8cm4，y1 =3.8cm，材料的许用拉应力[ σl ]=30 MPa，许用压应力[σy] =60 MPa。试校核其强度。

图12.4.7
解：材料的许用拉应力和许用压应力不等，应计算出最大的拉应力和最大的压应力分别校核强度。
1、梁的支座反力为：RA＝0.6kN， RB＝2.2kN。
画出梁的弯矩图。由弯矩图可知，
最大正弯矩在截面C处，MC＝ 0.6kN·m；
最大负弯矩在截面B处，MB＝ －0.8kN·m
2、校核梁的强度
显然截面C和截面B都是危险截面，均要进行强度校核。
截面B：弯矩为负时产生上凸变形。故最大拉应力发生在截面上边缘各点处，最大压应力发生在截面下边缘各点处。

截面C：弯矩为正时产生下凹变形。虽然截面C的弯矩绝对值比B处小，但最大拉应力发生在截面下边缘各点处，而这些点到中性轴的距离比上边缘各点到中性轴的距离大，且材料的许用拉应力小于许用压应力，所以还需校核最大拉应力。

所以梁的强度足够，工作安全。
从本题可以看出，当材料的抗拉和抗压强度不同时，截面上下边缘又不对称时，对梁的最大正负弯矩的截面都应进行校核。
五、提高梁抗弯能力的措施
由于梁的承载能力主要由正应力控制，根据正应力的强度条件可知，梁横截面上的最大正应力与最大弯矩成正比，与横截面的抗弯截面系数成反比。提高梁的抗弯能力主要从提高Mmax和降低Wz两方面着手。
(一)选择合理的截面形状
1．根据比值Wz/A选择
抗弯截面系数一方面与截面的尺寸有关，同时还与截面材料的分布情况即截面的形状有关，梁的合理截面形状应是用最小的面积得到最大的抗弯截面系数。梁的截面经济程度可以用比值来衡量。该比值越大，截面就越经济合理，下面把圆形、矩形、及工字形截面的比值列出，见表12.4.1中。
表12.4.1　　圆形、矩形及工字形截面比较
截面形状
Wz
所需尺寸
A
Wz/A

250×102mm3
d＝137mm
148×102mm2
1.69

250×102mm3
b＝7mm
h＝144mm
104×102mm2
2.40

250×102mm3
20b工字钢
39.5×102mm2
6.33
从表中可以看出，截面的经济程度是工字形优于矩形，而矩形优于圆形。这是应为离中性轴越远，正应力越大，所以应使大部分的材料分布在离中性轴较远处，材料才能充分发挥作用，工字形截面就较好地符合这一点，矩形截面竖搁比横搁合理也是这个道理。
2．根据材料特性选择
对于抗拉和抗压能力相同塑性材料，一般采用对称与中性轴的截面，使得上下边缘的最大拉应力和最大压应力相等，同时达到材料的许用应力值。如矩形、圆形和工字形等。
对于抗拉和抗压能力不同的脆性材料，最好选择不对称与中性轴的截面，使得中性轴偏与强度较小的一侧，如铸铁梁常采用T形截面就是这个道理。当

截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到材料的许用应力,使得材料得到最充分的利用。如图12.4.8所示。
图12.4.8
(二)合理安排梁的受力情况，以降低最大弯矩值
在可能的情况下，将载荷靠近支座或将集中载荷分散布置都可以减小最大弯矩，从而提高梁的承载能力。如图12.4.9所示。

图12.4.9
(三)采用变截面梁
等截面梁的强度计算，都是根据危险截面上的最大弯矩来确定截面尺寸，这时其他截面的弯矩都小于危险截面的最大弯矩，其材料未能得到充分的利用。为了使材料得到充分的利用，应在弯矩较大的截面采用较大的截面尺寸，弯矩较小的截面采用较小的截面尺寸，使得每个截面的最大正应力都同时得到材料的许用应力，这样的梁称为等强度梁。阶梯轴就是根据等强度梁的近似尺寸，因为完全的等强度梁加工非常困难，也不能满足结构设计的要求。
作业
教学效果评估