基本变形的应力和强度计算.doc

教学课题 基本变形的应力和强度计算【练习课】
教学目标或要求 1、理解各种基本变形的应力特点和分布规律；　
　2、掌握各种基本变形的应力和强度计算方法；　
　 3、理解材料在拉伸和压缩时的机械性能指标的含义。
教学重点、难点
教学方法、手段 讲练结合，以练为主
教学过程及内容
基本变形的应力和强度计算
强度是指材料在外力作用下对塑性变形和断裂的抵抗能力。强度问题事关重大，强度不足，就有可能酿成大祸。工程结构和机器零件必须具有足够的强度。强度是材料力学研究的一个主要问题。
第一节 轴向拉伸与压缩的应力和强度计算

一、横截面的正应力
例1：如图a所示一变截面直杆，横截面为圆形，d1＝200mm，d2＝150mm，承受轴向载荷F1＝30kN，F2＝100kN的作用，试求各段截面上的正应力。
图 a 图 b
解：1）计算轴力：AB段的轴力：NAB＝－F2＋F1＝－70kN（压）
　　　　BC段的轴力：NBC＝F1＝30kN（拉）
　　　　　画出轴力图如图12.1.2b所示。
2）求横截面面积 　　　　　
AB段的横截面积：
BC段的横截面积：
　3）计算各段正应力
AB段的正应力：
BC段的正应力：
负号表示AB上的应力为压应力。

二、强度问题 
例2：气动夹具如图所示，已知气缸内径D=140mm，缸内气压p=0.6MPa，活塞杆材料为20钢，[σ]=80MPa,试设计活塞杆的直径，
解：活塞杆两端受拉力，发生轴向拉伸变形，轴力可以由气体的压强求出，再利用N、[σ]就可以设计截面。
1．计算轴力kN
2.设计截面 mm
根据，得出 mm
因此，取dmm

注意：在解题目过程中，应首先判断问题是要设计截面，然后设法去求轴力，轴力利用压强可以求出，问题得到解决。另外要注意物理量的单位换算，当轴力、长度用N和mm时，应力的对应单位是MPa.

第一节 扭转时的应力和强度计算
一、 应力的计算
已知空心圆截面的扭矩T 1kN.m，D =40mm，d=20mm，求最大、最小剪应力。

二、强度问题 

小结公式

弯曲的应力和强度计算
一、纯弯曲
一般情况下，两弯曲时横截面上既有剪力，又有弯矩。对于横截面上的某点而言，既有切应力又正应力。但梁的强度主要决定与正应力的大小，切应力居于次要的地位。所以本节只讨论梁在纯弯曲的情况下横截面的正应力。所谓纯弯曲指横截面上的切应力为零。如图12.4.1所示，简支梁在两对称的集中力作用下的剪力图和弯矩图，从图中看出，在CD段，横截面上只有弯矩而没有剪力，发生纯弯曲变形，而在AC和DB段，既有弯矩又有剪力，这种弯曲称剪切弯曲。

图12.4.1
以CD段的纯弯曲为例，研究弯曲时的变形特点，从而应力在横截面上的分布情况。变形前在表面画两条纵向线和两条横线，发生纯弯曲后，观察梁的变形 （图12.4.2）：（1）横线仍然为直线，且与梁的轴线垂直，但倾斜了一定的角度。 （2）纵线缩短了，伸长了。
根据观察到的现象，可作如下推论：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍垂直与梁的轴线，但旋转了一定的角度。这也是梁纯弯曲时的平面假设。据此可知梁的各纵线受到轴向拉伸和轴向压缩，因此纯弯曲时横截面上只有正应力。两纵线发生轴向拉伸和压缩变形由于材料是连续的，变形也是连续的。因此在由压缩过渡到拉伸之间，必有一纵向线的长度不变，据此可知，必有一层纤维是既不伸长也不缩短，称为中性层，中性层与横截面的交线叫中性轴。
二、正应力的计算
1．正应力计算公式
梁发生纯弯曲时，横截面上的某点处正应力计算公式为：

式中：M表示横截面上的弯矩；      y表示横截面上该点到中性轴的距离；
表示横截面对中性轴的惯性矩；
2．惯性矩
圆形截面                                圆环截面          
三、弯曲时的最大正应力
从弯曲时应力的计算公式中可以分析出最大应力的位置，当同一截面上、都相同时，最大应力发生在y最大的地方。故最大应力的计算公式为

上式中，如果令,Wz称为抗弯截面系数，则：
抗弯截面系数是衡量截面抗弯能力的一个几何量，越大，越小，梁的承载能力越强，与力的大小无关，其单位为m或mm。一些常用截面的抗弯截面系数需要记住，下面给出矩形、圆形和圆环截面的计算方法和结果。而对工字钢角钢槽钢等的抗弯截面系数，可以查有关的手册。
矩形截面：(宽度b平行于中性轴z轴,高度h)

圆形截面：
圆环截面：
四、弯曲的强度条件
要使梁有足够的强度，必须使梁内的最大的工作应力不超过材料的许用应力。即

需要注意的是，当材料的抗拉和抗压能力不同时，应分对最大拉应力和最大压应力建立强度条件，而当材料的抗拉和抗压能力相同时不需要分开考虑。
利用梁弯曲时的强度条件也可以解决校核强度、设计截面尺和确定许可载荷三类问题。下面通过例题说明。
例12-5 ：如图12.4.6所示，一悬臂梁长l=1.5m，自由段受集中力P=32KN的作用，梁由22a工字钢制成，梁自重由=0.33KN/m计算，材料的许用应力[σ]=160MPa，试校核梁的强度。
解：要校核强度，须先求出最大正应力，为此须先求出最大的弯矩Mmax。
1、计算Mmax悬臂梁的最大弯矩在固定端A截面。

2、计算Wz对工字钢的抗弯截面系数，可查附表得：Wz=309cm
3、校核强度
即梁的强度合格。
图12.4.6
例12-6：T形截面外伸梁尺寸及受载如图12.4.7所示。截面对形心轴的的惯性矩 Iz=86.8cm4，y1 =3.8cm，材料的许用拉应力[ σl ]=30 MPa，许用压应力[σy] =60 MPa。试校核其强度。

图12.4.7
解：材料的许用拉应力和许用压应力不等，应计算出最大的拉应力和最大的压应力分别校核强度。
1、梁的支座反力为：RA＝0.6kN， RB＝2.2kN。
画出梁的弯矩图。由弯矩图可知，
最大正弯矩在截面C处，MC＝ 0.6kN·m；
最大负弯矩在截面B处，MB＝ －0.8kN·m
2、校核梁的强度
显然截面C和截面B都是危险截面，均要进行强度校核。
截面B：弯矩为负时产生上凸变形。故最大拉应力发生在截面上边缘各点处，最大压应力发生在截面下边缘各点处。

截面C：弯矩为正时产生下凹变形。虽然截面C的弯矩绝对值比B处小，但最大拉应力发生在截面下边缘各点处，而这些点到中性轴的距离比上边缘各点到中性轴的距离大，且材料的许用拉应力小于许用压应力，所以还需校核最大拉应力。

所以梁的强度足够，工作安全。
从本题可以看出，当材料的抗拉和抗压强度不同时，截面上下边缘又不对称时，对梁的最大正负弯矩的截面都应进行校核。
五、提高梁抗弯能力的措施
由于梁的承载能力主要由正应力控制，根据正应力的强度条件可知，梁横截面上的最大正应力与最大弯矩成正比，与横截面的抗弯截面系数成反比。提高梁的抗弯能力主要从提高Mmax和降低Wz两方面着手。
(一)选择合理的截面形状
1．根据比值Wz/A选择
抗弯截面系数一方面与截面的尺寸有关，同时还与截面材料的分布情况即截面的形状有关，梁的合理截面形状应是用最小的面积得到最大的抗弯截面系数。梁的截面经济程度可以用比值来衡量。该比值越大，截面就越经济合理，下面把圆形、矩形、及工字形截面的比值列出，见表12.4.1中。
表12.4.1　　圆形、矩形及工字形截面比较
截面形状
Wz
所需尺寸
A
Wz/A

250×102mm3
d＝137mm
148×102mm2
1.69

250×102mm3
b＝7mm
h＝144mm
104×102mm2
2.40

250×102mm3
20b工字钢
39.5×102mm2
6.33
从表中可以看出，截面的经济程度是工字形优于矩形，而矩形优于圆形。这是应为离中性轴越远，正应力越大，所以应使大部分的材料分布在离中性轴较远处，材料才能充分发挥作用，工字形截面就较好地符合这一点，矩形截面竖搁比横搁合理也是这个道理。
2．根据材料特性选择
对于抗拉和抗压能力相同塑性材料，一般采用对称与中性轴的截面，使得上下边缘的最大拉应力和最大压应力相等，同时达到材料的许用应力值。如矩形、圆形和工字形等。
对于抗拉和抗压能力不同的脆性材料最好选择不对称与中性轴的截面，使得中性轴偏与强度较小的一侧，如铸铁梁常采用T形截面就是这个道理。当

截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到材料的许用应力,使得材料得到最充分的利用。如图12.4.8所示。
图12.4.8
(二)合理安排梁的受力情况，以降低最大弯矩值
在可能的情况下，将载荷靠近支座或将集中载荷分散布置都可以减小最大弯矩，从而提高梁的承载能力。如图12.4.9所示。

图12.4.9
(三)采用变截面梁
等截面梁的强度计算，都是根据危险截面上的最大弯矩来确定截面尺寸，这时其他截面的弯矩都小于危险截面的最大弯矩，其材料未能得到充分的利用。为了使材料得到充分的利用，应在弯矩较大的截面采用较大的截面尺寸，弯矩较小的截面采用较小的截面尺寸，使得每个截面的最大正应力都同时得到材料的许用应力，这样的梁称为等强度梁。阶梯轴就是根据等强度梁的近似尺寸，因为完全的等强度梁加工非常困难，也不能满足结构设计的要求。
作业
教学效果评估