常见函数的值域或最值的经典求法.pdf

陈升强 函数的值域是函数的三要素之一,求函数的值域,关键是依据解析式的结构特征,选择合理的思维方法,常用的经典求法有:单调性法,配方法,分离常数法,基本不等式法和判别式法。下面归纳提炼之。方法1:配方法例1 定义在R上的函数f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)的值域是。f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)=(x2+5x+4)(x2+5x+6)=(x2+5x)2+1 0(x2+5x)+2 4=(x2+5x+5)2-1。因为x2+5x+5=x+52 2-54-54,所以(x2+5x+5)20,所以(x2+5x+5)2-1-1,即函数f(x)的值域是-1,+)。提炼:先利用变量之间的关系,将函数配方成关于整体变量的二次函数,注意整体变量的取值范围,再结合二次函数在区间上的图像与性质求出函数的值域。方法2:基本不等式法例2 (1)函数f(x)=xx2+1的值域为()。A.(-,-22,+)B.(-,-11,+)C.-,-12 12,+D.-12,12 (2)函数y=x2+2x+2x+1的值域是。先合理分类,变形凑定值,再借助不等式求值域。(1)当x=0时,f(0)=0;当x0时,0 f(x)=1x+1x12x1x=12,当且仅当x=1时等号成立,这时0f(x)12;当x0时,f(x)=xx2+10,且f(x)=-1(-x)+1-x-12(-x)1-x=-12,当且仅当x=-1时等号成立,这时-12f(x)0,即x-1时,y=(x+1)+1x+1 2,当且仅当x+1=1x+1,即x=0时等号成立;当x+10,即x-1时,y=(x+1)+1x+1-2,当 且 仅 当x+1=1x+1,即x=-2时等号成立。综上所述,此函数的值域为(-,-22,+)。提 炼:形 如y=ex+fa x2+b x+c或y=a x2+b x+cex+f的函数,先配凑成y=a x+bx的形式,再利用基本不等式求最值,进而得到函数的值域。方法3:分离常数法,求分式类函数的值域例3 (1)函数y=1-x22+x2的值域是。(2)函数y=4x-2x+1的值域为。93经典题突破方法 高一数学 2 0 2 3年1 0月 (1)函数y=-(x2+2)+32+x2=-1+32+x2。因 为2+x22,所 以032+x232,所以-1-1+32+x212,所以函数y=1-x22+x2的值域是-1,12 。(2)函数y=4x-2x+1=4x+4-4-2x+1=4x+4x+1-4+2x+1=4-4+2x+1。因为u=1x的值域为(-,0)(0,+),所以v=1x+1的值域为(-,0)(0,+),所 以t=4+2x+1的值域为(-,0)(0,+),所以y=4x-2x+1的值域为(-,4)(4,+)。提炼:形如y=c x+da x+b的分式类函数,由c x+da x+b=ca(a x+b)+d-b caa x+b=ca+d-b caa x+b,结合x的取值范围,确定d-b caa x+b的取值范围,从而确定原函数的值域。方法4:换元法例4 函数f(x)=x2-1的定义域为0,4,则函数y=f(x2)+f(x)2的值域为()。A.-12,9 9 2 B.-12,2 4 C.-12,4 D.-12,4-2 2 函数f(x)=x2-1的定义域为 0,4,在y=f(x2)+f(x)2中,由0 x2 4,0 x 4,解得0 x2,即y=f(x2)+f(x)2的定义域为0,2。令t=x2,则t0,4,所 以y=f(x2)+f(x)2=x4-1+(x2-1)2=2x4-2x2,即y=2t2-2t=2t-12 2-12,t0,4。当t=12时,ym i n=-12;当t=4时,ym a x=2 4。所以函数y=f(x2)+f(x)2的值域为-12,2 4 。应选B。提炼:观察解析式的结构形式,当变量较多且相互关联时,选准一个整体变量为新元,得到一个新函数,求出新函数的值域即为原函数的值域。方法5:判别式法例5 若函数f(x)=3x2+x+3x2+1的最大值为a,且最小值为b,则a+b=()。A.4 B.6 C.7 D.8设函数y=3x2+x+3x2+1,则y x2+y=3x2+x+3,即方程(y-3)x2-x+y-3=0有实数根。当x=0时,y=3,满足有实数根;当y3时,因为xR,所以(y-3)x2-x+y-3=0有实数根,所以=1-4(y-3)20,解得52y72,所以52y72且y3。故此函数的最大值为72,最小值为52,其和为6。应选B。提炼:利用判别式法求函数的值域,常用于一些分式函数、无理函数等,使用此法要特别注意自变量的取值范围。函数y=2x+1-3x的值域是。提示:设t=1-3x(t0),则x=1-t23,所 以y=2(1-t2)3+t=-23 t2-32t-1=-23t-34 2-2 51 6 。因 为t0,所以当t=34时,y取最大值2 52 4,即y2 52 4,所以y-,2 52 4 。作者单位:山东省垦利第一中学(责任编辑 郭正华)04 经典题突破方法 高一数学 2 0 2 3年1 0月