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第三章 机械波
第2节 波的描述
重点+难点
核心素养解读
1．学会根据质点振动方向判定波的传播方向，根据波的传播方向判定质点的振动方向．
2．能够由波的图像判断传播方向与质点振动方向的关系，由有关信息画出波的图像．
3. 能用波的图像解决一些实际问题
1．知道波的图像中横、纵坐标表示的物理量，理解波的图像的物理意义．
2．知道什么是波的波长，能在波的图像中求出波长．
3．知道什么是波传播的周期(频率)，理解周期与质点振动周期的关系．
知识点一 波的图像
1．波的图像的画法
(1)建立坐标系，描点
用横坐标x表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移．得到一系列坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…的点．
(2)连线
用一条平滑的曲线把各点连接起来就是这一时刻波的图像，有时也称波形图.
2．正弦波(简谐波)
(1)如果波的图像是正弦曲线，这样的波叫作正弦波，也叫简谐波．
(2)简谐波中各质点的振动是简谐运动．
3．波形图与振动图像
(1)波形图表示介质中的“各个质点”在“某一时刻”的位移．
(2)振动图像表示介质中“某一质点”在“各个时刻”的位移．
知识点二 波长、频率和波速
1．波长λ
(1)定义：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离．
(2)特征
①在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长．
②在纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长．
2．周期T、频率f
(1)周期(频率)：在波动中，各个质点的振动周期(或频率)也叫波的周期(或频率)．
(2)周期T和频率f的关系：f＝.
(3)波长与周期的关系：经过一个周期T，振动在介质中传播的距离等于一个波长．
3．波速
(1)定义：机械波在介质中的传播速度．
(2)决定因素：由介质本身的性质决定，在不同的介质中，波速是不同(选填“相同”或“不同”)的．
(3)波长、周期、频率和波速的关系：v＝＝λf.
易错易混点一 波的图像
易错易混点1.1对波的图像认识不清。
例1． (多选)如图所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在某个时刻的波形图，由图像可知( )
A．质点b此时位移为零
B．质点b此时向－y方向运动
C．质点d的振幅是2 cm
D．质点a再经过通过的路程是4 cm，偏离平衡位置的位移大小是4 cm
【答案】AC
【解析】由题图波形图知，质点b在平衡位置，所以此时其位移为零，选项A正确；因波沿x轴正方向传播，波源在左侧，由“带动法”可知质点b此时向＋y方向运动，选项B错误；简谐波在传播过程中，介质中各质点的振幅相同，所以质点d的振幅是2 cm，选项C正确；再经过的时间，质点a将运动到负的最大位移处，通过的路程是4 cm，偏离平衡位置的位移大小是2 cm，选项D错误．
易错易混点1.1剖析
1．对波的图像的理解
(1)波的图像是某一时刻介质中各个质点运动情况的“定格”．可以将波的图像比喻为某一时刻对所有质点拍摄下的“集体照”．
(2)简谐波的图像是正弦曲线，介质中的质点做简谐运动．
2．由波的图像获得的三点信息
(1)可以直接看出该时刻各个质点偏离平衡位置的位移．
(2)可以直接看出该列波的波长及振幅．
(3)若已知该波的传播方向，可以确定各质点的振动方向；或已知某质点的振动方向，可以确定该波的传播方向．
3．波的图像的周期性
在波的传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动，一个周期内不同时刻质点的位移不同，则不同时刻波的图像不同，质点的振动位移做周期性变化，则波的图像也做周期性变化．传播过的区域，每经过一个周期，波的图像复原一次．
易错易混点1.2 质点振动方向与波传播方向的关系
例2． (多选)如图所示为一列简谐波在某一时刻的波形图，此时刻质点F的振动方向如图所示．则( )
A．该波向右传播
B．质点B和D的运动方向相同
C．质点C比质点B先回到平衡位置
D．此时质点F和H的加速度相同
【答案】CD
【解析】
由“同侧法”可知，质点F的运动方向向下，则波向左传播，同理，质点D的运动方向也向下，而质点A、B、H的运动方向向上，质点F、H相对各自平衡位置的位移相同，则两质点的加速度相同，因质点C直接从最大位移处回到平衡位置，即tC＝，而质点B要先运动到最大位移处，再回到平衡位置，故tB＞＝tC，故C、D正确．
易错易混点1.2剖析
1．带动法：后面质点依次重复前面质点的振动．
2．微平移法：如图所示，实线为t时刻的波形图，作出微小时间Δt后的波形如虚线所示，由图可见t时刻的质点P1(P2)经Δt后运动到P1′(P2′)处，这样就可以判断质点的运动方向了．
3．同侧法：在波的图像上的某一点，沿y轴方向画出一个箭头表示质点运动方向，并在同一点沿x轴方向画一个箭头表示波的传播方向，那么这两个箭头总是在曲线的同侧(如图所示)．
4.上下坡法：沿波的传播方向看，“上坡”的点向下运动，“下坡”的点向上运动，简称“上坡下，下坡上”(如图所示)．
易错易混点二 波长、频率和波速
易错易混点2.1波长、频率和波速之间关系
例3．(多选)如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，从波传到x＝5 m的M点时开始计时，已知P点相继出现两个波峰的时间间隔为0.4 s，下面说法中正确的是( )
A．这列波的波长是4 m
B．这列波的传播速度是10 m/s
C．质点Q(x＝9 m)经过0.5 s才第一次到达波峰
D．M点以后各质点开始振动的方向都是向下的
【答案】ABD
【解析】
从波的图像可以看出该波的波长为λ＝4 m，选项A正确；由题意可知该波的周期为T＝0.4 s，则该波的传播速度为v＝＝ m/s＝10 m/s，选项B正确；波峰传到Q所用的时间为t＝＝ s＝0.7 s，选项C错误；由波的图像可以看出，M点开始振动的方向向下，说明M点以后各质点开始振动的方向都是向下的，选项D正确．
易错易混点2.1剖析
1．波长的三种确定方法
(1)定义法：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离等于一个波长．
注意 两个关键词：“振动相位总是相同”、“两个相邻质点”．“振动相位总是相同”的两质点，在波的图像上振动位移总是相同，振动速度总是相同．
(2)图像法
①在波的图像上，无论从什么位置开始，一个完整的正弦曲线对应的水平距离为一个波长．
②在波的图像上，振动位移总是相同的两个相邻质点间的距离为一个波长．
(3)公式法：根据公式λ＝vT来确定．
2．波长、频率和波速的关系
(1)在一个周期内，振动在介质中传播的距离等于一个波长．波速与波长、周期、频率的关系为v＝＝λf.
(2)波的周期和频率由波源决定，与v、λ无关，当波从一种介质进入另一种介质时，周期和频率不发生改变．
(3)波速由介质本身的性质决定，在同一种均匀介质中波速不变．
(4)由λ＝可知，波长由波速和频率共同决定．
易错易混点2.2 振动图像和波的图像的比较
例4. 如图甲所示为一列简谐横波在t＝0时的波的图像，图乙所示为该波中平衡位置位于x＝4 m处的质点P的振动图像．下列说法正确的是( )
A．此波的波速为2 m/s
B．此波沿x轴正方向传播
C．t＝0.5 s时质点P的速度最大
D．t＝1.0 s时质点P的加速度最大
【答案】 C
【解析】
由题图可知，周期T＝1.0 s，波长λ＝4 m，则波速v＝＝ m/s＝4 m/s，选项A错误；平衡位置位于x＝4 m处的质点P在t＝0时刻向下振动，根据“上下坡法”知，波沿x轴负方向传播，选项B错误；t＝0.5 s时，质点P运动到平衡位置且向上振动，速度最大，选项C正确；t＝1.0 s时质点P运动到平衡位置且向下振动，加速度为零，选项D错误．
易错易混点2.2剖析
振动图像和波的图像的比较
比较项目
振动图像
波的图像
不同点
物理意义
表示某一质点在各时刻的位移
表示某时刻各质点的位移
研究对象
一个振动质点
沿波传播方向的所有质点
研究内容
一个质点位移随时间变化的规律
某时刻所有质点的空间分布规律
图像
图像随时间变化情况
随时间延伸，原有部分图形不变
整个波形沿波的传播方向平移，不同时刻波形不同
比喻
单人舞的录像
抓拍的集体舞照片
相同点
图像形状
正弦曲线
可获得的
信息
质点振动的振幅、位移、加速度的方向
针对训练
1．如图甲所示，轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端连接一轻质薄板。t=0时刻，一质量为m的物块从其正上方某处由静止下落，落至薄板上后和薄板始终粘连，其位置随时间变化的图像（x-t）如图乙所示，其中t=0.2s时物块刚接触薄板。弹簧形变始终在弹性限度内，空气阻力不计，则（ ）
A．当物块开始简谐运动后，振动周期为0.5s
B．t=0.4s时弹簧的弹力小于mg
C．从0.2s到0.4s的过程中物块加速度先变小再变大
D．若增大物块自由下落的高度，则物块与薄板粘连后简谐运动的周期增大
【答案】C
【解析】A.根据图乙可知，振动周期为
故A错误；
B.物块从其正上方某处由静止下落，t=0.2s时物块刚接触薄板，则物块到达最低点的加速度将大于重力加速度g，根据牛顿第二定律
解得
即t=0.4s时弹簧的弹力大于mg，故B错误；
C.根据图乙可知，x=30cm时物体处于平衡位置，此时物块的加速度为零，故从从0.2s到0.4s的过程中物块加速度先变小再变大，故C正确；
D.根据周期
可知，物块做简谐运动的周期与振幅无关，若增大物块自由下落的高度，则物块与薄板粘连后简谐运动的周期不变，故D错误。
故选C。
2．弹簧振子做简谐运动，若从平衡位置O开始计时，经过4s振子第一次经过P点，又经过了1s，振子第二次经过P点，则该简谐运动的周期可能的是（ ）
A．5s B．6s C．14s D．16s
【答案】B
【解析】如图，假设弹簧振子在水平方向BC之间振动
若振子开始先向右振动，振子的振动周期为
若振子开始先向左振动，设振子的振动周期为，则
解得
故选B。
3．如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为。下列说法不正确的是（ ）
A．间距离为10 cm B．振子的运动周期是0.2s
C．时，振子位于N点 D．时，振子具有最大速度
【答案】D
【解析】A．由振子的振动方程可知振子的振幅为5cm，则间距离为10 cm，故A正确；
B．根据振子的振动方程可知振子的周期
故B正确；
CD．将代入振动方程可得
振子位于正向位移最大处，即N点，此时振子速度为零，故C正确，D错误。
本题选不正确项，故选D。
4．一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列叙述正确的是（ ）
A．质点的振动频率为4Hz
B．在10s内质点经过的路程是10cm
C．在和两时刻质点的位移大小相等
D．在和两时刻质点的速度相同
【答案】C
【解析】A．质点的振动周期为T=4s，所以振动频率为
故A错误；
B．因为
所以在10s内质点经过的路程是
故B错误；
CD．根据简谐运动图像的对称性可知，在和两时刻，质点的位移大小相同，速度大小相同、方向相反，故C正确，D错误。
故选C。
5．如图所示，竖直轻质弹簧下端固定在水平面上，上端连一质量为M的物块A，A的上面放置一质量为M的物块B，系统可在竖直方向做简谐运动，振动过程中，AB未分离，则（ ）
A．平衡位置一定在AB振动过程中速度最大的位置
B．当B振动到最高点时的加速度一定小于振动到最低点时的加速度
C．当向上振动经过平衡位置时，B对A的压力为零
D．弹簧被压缩了时，系统速度最大
【答案】A
【解析】A．根据简谐运动特点，物体经过平衡位置时，加速度为零，速度最大，故A正确。
B．根据简谐运动特点，经过最高点及最低点位置的加速度大小相等，故B错误。
C．经过平衡位置时，加速度为零，合外力为零，A对B的支持力跟B自身的重力平衡，故此时B对A的压力为Mg，故C错误。
D．系统速度最大值是平衡位置，此时弹簧被压缩了 ，故D错误。
故选A。
6．某弹簧振子的振动图像如图所示，将小球从平衡位置拉开4cm后放开，同时开始计时，则（ ）
A．一次全振动小球的路程为16cm B．振动的周期为0.2s
C．0.1s小球的速度为零 D．0.2s小球的加速度为零
【答案】A
【解析】A．由图可知，振幅为4cm，则一次全振动的路程为
A正确；
B．由图可知，振动周期为0.4s，B错误；
C．0.1s小球处在平衡位置，速度最大，C错误；
D．0.2s小球处在最大位移处，加速度最大，D错误。
故选A。
7．一质点做简谐振动，其位移x与时间t的关系曲线如图。由图可知（ ）
A．质点振动的频率是4Hz
B．质点振动的振幅是4cm
C．在t=3s时，质点的速度为最大
D．在t=4s时，质点所受的回复力为零
【答案】C
【解析】A．由位移x与时间t的关系曲线可知周期为
频率为
故A错误；
B．质点的振幅等于振子的位移最大值，由位移x与时间t的关系曲线可知振幅为
故B错误；
C．在t=3s时，由图可知位移为零，回复力为零，质点加速度为零，质点的速度为最大，故C正确；
D．在t=4s时，由图可知位移最大，由公式
可知质点所受的回复力最大，故D错误。
故选C。
8．一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、两点，历时1s；质点通过点后再经过1s又第二次通过点。在这内质点通过的总路程为12，则质点的振动周期和振幅分别是（ ）
A．3s， B．4s， C．4s， D．2s，
【答案】B
【解析】质点运动的过程如图：
其中红色实线为由A到，绿色实线为第二次经过，红色、绿色虚线为补出的对称运动，从图像中可以观察到
红色实线绿色实线振幅
则振幅为。
红色部分与绿色部分的运动时间之和为一个周期，故周期为4s。
故选B。
9．（多选）一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知（ ）
A．质点振动的频率是，振幅是
B．时，质点的加速度为正向最大
C．时，质点的位移为零
D．内，质点通过的路程为
【答案】BC
【解析】A．由图可知，质点振动的振幅为，周期为，则频率为
故A错误；
B．由图可知，时，质点在负的最大位移处，有正向最大的加速度，故B正确；
C．由图可知，时，质点在平衡位置，则质点的位移为零，故C正确；
D．由图可知，质点在处在正向最大位移与平衡位置之间，且向平衡位置振动，则在内，质点通过的路程大于，故D错误。
故选BC。
10．（多选）一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．质点振动的频率为
B．在内质点经过的路程是
C．在末，质点的速度为零，加速度最大
D．和两个时刻质点的位移和速度方向都相反
【答案】BC
【解析】A．由题图可知，振幅，周期，频率
A错误；
B．当
故内质点经过的路程
B正确；
C．由图像，当，质点位移最大，速度为零，加速度最大，C正确；
D．由图像和根据正弦函数对称性的特点可知，这两个时刻的位移方向相反，但速度方向相同，D错误。
故选BC。
11．（多选）如图所示，为一简谐运动的振动图像，由图可得（ ）
A．该简谐振动的振幅为
B．该简谐运动的表达式为
C．该质点在第时的位移为
D．该质点在前内的路程为
E．该简谐振动的周期为
【答案】BDE
【解析】ABE．由图可知，振幅，周期，则有
则质点简谐运动的表达式为
故A错误，BE正确；
C．当时，位移为
故C错误；
D．1个周期内，路程为
前是3个周期，则路程为
故D正确。
故选BDE。
12．（多选）如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x=5sin（10πt+） cm。下列说法正确的是 （ ）
A．MN间距离为5 cm
B．振子的运动周期是0.2 s
C．t=0时，振子位于N点
D．t=0.05 s时，振子具有最大速度
【答案】BCD
【解析】A．MN间距离为
A错误；
B．由
可知
可知振子的运动周期是
B正确；
C．由
可知t=0时
即振子位于N点， C正确；
D．由
可知t=0.05 s时
此时振子在O点，振子速度最大，D正确。
故选BCD。
13．（多选）某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其振动图像如图所示，则（ ）
A．弹簧振子在t=0到t=10 s内路程为0.5 m
B．简谐运动的频率是0.125 Hz
C．弹簧振子在第4 s末的位移为零
D．在第3 s末与第5 s末弹簧振子的速度方向相同
E．第5 s末，弹簧振子的速度与加速度均为正值
【答案】BCD
【解析】A．弹簧振子在t=0到t=10 s内路程为5A，即2.5 m，选项A错误；
B．简谐运动的周期T=8 s，则频率是
选项B正确；
C．弹簧振子第4 s末在平衡位置，位移为零，选项C正确；
D．因x-t图像的斜率表示速度，可知在第3 s末与第5 s末弹簧振子的速度方向不变，选项D正确；
E．第5 s末，弹簧振子的速度沿y轴负方向，加速度沿y轴正方向，选项E错误。
故选BCD。
14．（多选）如图所示，小物块和轻弹簧组成弹簧振子系统，现使小物块沿竖直方向做简谐运动，小物块位移x=0.1sin（2.5πt）m。t=0时刻，一小球从距小物块h高处自由落下，t=0.6 s时，小球恰好与小物块处于同一高度。取竖直向上为正方向，重力加速度g=10 m/s2。则下列判断正确的是（ ）
A．h=1.7 m
B．小物块做简谐运动的周期为0.6s
C．0~0.6 s内，小物块运动的路程为0.3 m
D．t=0.4 s时，小物块与小球的运动方向相反
【答案】AC
【解析】A．当t=0.6 s时，小物块的位移
则对小球有
解得
h=1.7 m
A正确；
B．小物块做简谐运动的周期
B错误；
C．在0~0.6 s内，小物块运动的路程
s=3A=0.3 m
C正确；
D．当
此时小物块在平衡位置且向下振动，小物块与小球运动方向相同，D错误。
故选AC。
15．（多选）如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y=0.1sin（2.5πt）m。t=0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t=0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g=10m/s2。以下判断正确的是（ ）
A．h=1.7 m
B．简谐运动的周期是0.8 s
C．0.6 s内物块运动的路程是0.3 m
D．t=0.4 s时，物块与小球运动方向相反
【答案】ABC
【解析】A．由振动方程式可得，物体的位移为
则对小球有
解得
A正确；
B．由公式可知，简谐运动的周期为
B正确；
C．振幅为0.1m，故0.6s内物块运动的路程为，C正确；
D．，此时物体在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，D错误。
故选ABC。
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