第16讲-抛物线原卷版.docx

第16讲 抛物线

1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的几何性质．
2．通过抛物线与方程的学习，进一步体会数形结合思想．
3．了解抛物线的简单应用．

1 定义
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为 ，定点F称为抛物线的 ，定直线l称为抛物线的 .
如图，P在抛物线上，PH=PF.

2 几何性质
标准方程
y2=2px
(p>0)
y2=−2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=−2py
(p>0)
图象

顶点
(0,0)
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点
F(p2 , 0)
F(−p2 , 0)
F(0 , p2)
F(0 , −p2)
准线方程

离心率
e=1
3 一些常见结论
① 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A , B两点的线段AB，称为抛物线的“ ”，即|AB|=2p.
② 若A、B在抛物线y2=2px上，F是焦点，则AF=xA+p2，AB=xA+xB+p.

【题型 1抛物线的定义与方程 】
【典题】（1）
与圆x－22+y2=1外切，且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是　 　．

巩固练习
1. 若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离少1，则动点P的轨迹方程是　 ．

2.到直线x=－2与到定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线

【题型 2 抛物线的图象及其性质】
【典题】（1）已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M，N在抛物线上，且M，N，F三点共线点P在准线上，若PN→=NM→，则p|MF|=　 　．

【典题】（2）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF=60°，则|FR|等于　　．

【典题】（3）已知F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，K为C的准线与x轴的交点，点P在抛物线C上，设∠KPF=α，∠PKF=β，∠PFK=θ，有以下3个结论：
①β的最大值是π4；②tanβ=sinθ；③存在点P，满足α=2β．
其中正确结论的序号是　 ．

巩固练习
1.如图过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则p=(　　)
A．2 B．32 C．3 D．6

2. 【多选题】抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y2=4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l1从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点P(x1,y1)反射后，再经抛物线上另一点Q(x2,y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的是(　　)
A．x1x2=1 B．kPQ=−43
C．|PQ|=254 D．l1与l2之间的距离为4

3. 已知点A(0,4)，抛物线C：x2=2py(0<p<4)的准线为1，点P在C上，作PH⊥l于H，且|PH|=|PA|，∠APH=120°，则抛物线方程为　　．

4. 【多选题】已知抛物线x2=12y的焦点为F，M(x1,y1)，N(x2,y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　)
A．点F的坐标为(18，0)
B．若直线MN过点F，则x1x2=−116
C．若MF→=λNF→，则|MN|的最小值为12
D．若|MF|+|NF|=32，则线段MN的中点P到x轴的距离为58
5 如图，点A是曲线y=x2+2(y≤2)上的任意一点，P(0 , －2)，Q(0 , 2)，射线QA交曲线y=18x2于B点，BC垂直于直线y=3，垂足为点C．则下列判断：①|AP|－|AQ|为定值22；②|QB|+|BC|为定值5．其中正确的说法是(　　)

A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①都错误，②正确

【题型3 最值问题】
【典题】（1）已知O是坐标原点，A，B是抛物线y=x2上不同于O的两点，且OA⊥OB，下列结论中正确的是(　　)
A．|OA|∙|OB|≥2 B．|OA|+|OB|≥22
C．直线AB过抛物线y=x2的焦点 D．O到直线AB的距离小于或等于1

【典题】（2）若点P是曲线C1：y2=16x上的动点，点Q是曲线C2：x－42+y2=9上的动点，点O为坐标原点，则PQOP的最小值是　 　．

巩固练习
1. 若点A为抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|=6，点P为直线x=－1上的动点，则|PA|+|PF|的最小值为　 　．

2.已知点Q(22 , 0)及抛物线y=x24上一动点P(x0 , y0)，则y0+|PQ|的最小值为　　．

3. 已知点M(2 , 0)，点P在曲线y2=4x上运动，点F为抛物线的焦点，则|PM|2|PF|−1的最小值为　 　．

4. 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，M(x1 , y1)，N(x2 , y2)是抛物线C上的两个动点，若x1+x2+2=2|MN|，则∠MFN的最大值为　 ．

5. 已知点P是抛物线y2=4x上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为(－1 , 0)，则PFPA的最小值为　 　．

一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ）
A．7 B．6 C．5 D．4

2．（2007·山东·高考真题）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（    ）
A． B． C． D．

3．（2007·全国·高考真题）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点．若，则（    ）
A．9 B．6 C．4 D．3

4．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．
5．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．3

二、多选题
6．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形

7．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．

三、填空题
8．（2023·全国·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .

9．（2023·天津·统考高考真题）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 ．

10．（2005·重庆·高考真题）连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 .（填写所有正确选项的序号）

11．（2020·山东·统考高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于 .

四、解答题
12．（2008·浙江·高考真题）已知曲线C是到点和到直线距离相等的点的轨迹．l是过点的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，，轴（如图）．

(1)求曲线C的方程；
(2)求出直线l的方程，使得为常数．

13．（2003·上海·高考真题）在以O为原点的直角坐标系中，点为的直角顶点．已知，且点B的纵坐标大于零．
(1)求向量的坐标；
(2)求圆关于直线对称的圆的方程；
(3)是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围．

14．（2005·上海·高考真题）已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离为5，过A作轴，垂足为B，OB的中点为M．
(1)求抛物线的方程；
(2)过M作，垂足为N，求点N的坐标；
(3)以M为圆心，MB为半径作圆M，当是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．

15．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.

五、双空题
16．（2005·北京·高考真题）抛物线的准线方程是 ．焦点坐标是 ．

一、单选题
1．抛物线W：的焦点为F.对于W上一点P，若P到直线的距离是P到点F距离的2倍，则点P的横坐标为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4

2．过抛物线：焦点的直线与交于，两点，过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则（    ）
A． B． C．18 D．20

3．抛物线的焦点坐标是（    ）
A． B． C． D．

4．抛物线的焦点与圆C：上动点的距离的最小值为（    ）
A．7 B．3 C． D．1

5．已知A，B两点在以F为焦点的抛物线上，并满足，过弦AB的中点M作抛物线对称轴的平行线，与OA交于N点，则MN的长为（    ）
A． B． C． D．

6．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，在准线上的射影为，，则等于(　　)．
A． B． C． D．

二、多选题
7．平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线.则（    ）
A．曲线的方程为
B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时，
D．当点在曲线上时，点到直线的距离

8．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C：，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点N.下列说法正确的是（    ）
A．若，则
B．若，则MB平分
C．若，则
D．若，延长交直线于点D，则D，B，N三点共线

三、填空题
9．抛物线过点，则抛物线的焦点坐标为 ．

10．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为 .

11．已知圆：和抛物线：，请写出与和都有且只有一个公共点的一条直线的方程 .（写出一条即可）

12．已知抛物线E：的焦点为F，直线l的倾斜角 ，l与抛物线交于，两点，且，过F作l的垂线，垂足为D，P为抛物线上任意一点，则的最小值为 ．

四、解答题
13．已知抛物线上的一点M的纵坐标为1，求点M到焦点的距离.

14．已知动点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交轨迹于两点，设直线的斜率为，求的值.

15．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.
（1）求抛物线的方程;
（2）直线过点交抛物线于两点，过点作抛物线的切线与准线交于点，求面积的最小值.

16．已知拋物线C：经过点，其焦点为F，M为抛物线上除了原点外的任一点，过M的直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点．
Ⅰ求抛物线C的方程以及焦点坐标；
Ⅱ若与的面积相等，证明直线l与抛物线C相切．