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第11讲 二次函数与幂函数
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点
坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
1、【2021年甲卷文科】下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
2、(2016全国III) 已知，，，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，，且幂函数在上单调递增，指数函数在上单调递增，所以，故选A．
1、若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为( )
A.1或3 B.1
C.3 D.2
【答案】 B
【解析】 由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，解得m＝1.
2、若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x2－3x
B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x
D．g(x)＝－3x2－2x
【答案】 B
【解析】 二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
设二次函数为g(x)＝ax2＋bx，
可得
解得a＝3，b＝－2，
所求的二次函数为g(x)＝3x2－2x.
3、已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则=_____．
【答案】
【解析】由题意为奇函数，所以只能取，又在上递减，所以
4、若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
【答案】A
【解析】二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2.
当k<0时，<0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)
考向一 幂函数的图像与性质
例1、（1）幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的解析式为___________．
（2）图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图像．已知α取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为____________．
（3）已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？
【答案】（1）．
（2） 2，，－，－2（3）m＝－1．
【解析】（1）令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝，∴．
（2）：2，，－，－2
（3）∵函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1．
当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；
当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．∴m＝－1．
变式1、已知幂函数f(x)＝ ，若f(a＋1)＜f(10－2a)，求实数a的取值范围．
【解析】 由题意，得函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．
因为f(a＋1)<f(10－2a)，所以0≤a＋1<10－2a，解得－1≤a<3，
故实数a的取值范围是[－1，3).
变式2、已知幂函数f(x)＝x-1 ，若f(a＋1)＜f(10－2a)，求实数a的取值范围．
【解析】 由题意，得函数f(x)的定义域为 (－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上单调递减．
因为f(a＋1)<f(10－2a)，
所以a＋1>10－2a>0或0>a＋1>10－2a或 a＋1<0<10－2a，
解得3<a<5或无解或a<－1.
综上，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，5).
方法总结：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
考向二 一元二次函数的解析式
例2、(1)函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0.请写出函数f(x)的一个解析式________.(只要写出一个即可)
【答案】 f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)
【解析】 由二次函数的对称性、值域及单调性可得f(x)的解析式可以为f(x)＝(x－2)2＋1，
此时f(x)图象的对称轴为x＝2，开口向上，满足②，
∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，
都有＜0，
等价于f(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴f(x)＝(x－2)2＋1满足③，
又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①，
故f(x)的解析式可以为f(x)＝x2－4x＋5.
(2)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________.
【答案】 －4x2＋4x＋7
【解析】 法一 (利用“一般式”)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得解得
∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二 (利用“顶点式”)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝，
∴m＝.
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
∴y＝f(x)＝a＋8.
∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三 (利用“零点式”)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍).
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
变式1、已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.
【答案】x2－4x＋3
【解析】 因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.
又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，
所以f(x)＝0的两根为2－＝1或2＋＝3.
所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).
因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).
又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，
所以3a＝3，则a＝1.
故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3
变式2、(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论正确的为( )
A.b2＞4ac B.2a－b＝1
C.a－b＋c＝0 D.5a＜b
【答案】 AD
【解析】 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确.
对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误.
结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误.
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.
根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确
方法总结：求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：
考向三 一元二次函数的最值问题
例3、已知函数y＝4x2－12x＋3．当x∈R时，值域为________；当x∈[2，3]时，值域为________；
当x∈[－1，5]时，值域为________．
2．若函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围．
3．求函数f(x)＝x2－2ax在区间[0，1]上的最小值．
【解析】：1．因为y＝4x2－12x＋3＝4－6，所以
当x∈R时，值域为[－6，＋∞)；
当x∈[2，3]时，∉[2，3]，根据函数图象知函数在区间[2，3]上单调递增，故当x＝2时，y取得最小值－5，当x＝3时，y取得最大值3，则值域为[－5，3]．
当x∈[－1，5]时，∈[－1，5]，则当x＝时，y取得最小值－6，当x＝5时，y取得最大值43，故值域为[－6，43]．
2．作出函数y＝x2－2x＋3的图象如图．
由图象可知，要使函数在[0，m]上取得最小值2，则1∈[0，m]，从而m≥1，
当x＝0时，y＝3；当x＝2时，y＝3，
所以要使函数取得最大值为3，则m≤2，
故所求m的取值范围为[1，2]．
3．f(x)＝x2－2ax＝(x－a)2－a2，对称轴为x＝a．
(1)当a＜0时，f(x)在[0，1]上是增函数，
∴f(x)min＝f(0)＝0．
(2)当0≤a≤1时，f(x)min＝f(a)＝－a2．
(3)当a＞1时，f(x)在[0，1]上是减函数，
∴f(x)min＝f(1)＝1－2a，
综上所述，f(x)min＝
变式1、求函数y＝ax2－2x＋3(a∈R)在区间[0，1]上的最大值．
【解析】 当a＝0时，y＝－2x＋3在区间[0，1]上单调递减，则y的值域为[1，3]；
若a>0，则当≥1，即0<a≤1时，函数在区间[0，1]上单调递减，则y的值域为[a＋1，3]；
当0<≤，即a≥2时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则y的值域为；
当<<1，即1<a<2时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则y的值域为；
若a<0，则函数在区间[0，1]上单调递减，则y的值域为[a＋1，3].
综上，当a∈(－∞，2)时，y的最大值为3；
当a∈[2，＋∞)时，y的最大值为a＋1.
变式2、若函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围．
【解析】 由题意，得函数在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．
令y＝3，x2－2x＝0，解得x＝0或x＝2，
令y＝2，x2－2x＋1＝0，解得x＝1.
因为函数在区间[0，m]上有最大值3，最小值2.
所以实数m的取值范围是[1，2].
1、已知是奇函数，当时，，则的值是 ．
【答案】
【解析】是奇函数，当时，，则．
2、（2022·山东·烟台二中模拟预测）请写出一个定义在R上的函数，其图象关于y轴对称，无最小值，且最大值为2．其解析式可以为______．
【答案】或（，等）（答案不唯一）
【解析】根据题中的条件可知函数是偶函数，最大值为2，所以满足题中的条件，再如，再如等等（答案不唯一）.
故答案为：或（，等）（答案不唯一）.
3、(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)若，，，，则a，b，c，a的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 幂函数在上单调递增，又，
，，故选：C.
4、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x＋2)＜5的解集为( )
A．(－3，7) B．(－4，5) C．(－7，3) D．(－2，6)
【答案】C
【解析】由题意可知，因为函数f(x)为偶函数，所以f(|x＋2|)＝f(x＋2)，则不等式f(x＋2)＜5可化为f(|x＋2|)＜5，即|x＋2|2－4|x＋2|＜5，可化为(|x＋2|＋1)(|x＋2|－5)＜0，
解得|x＋2|＜5，解得－7＜x＜3，故答案选C．
5、(2022·江苏镇江中学高三10月月考)满足的实数m的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】幂函数在为减函数，且函数值为正，在为减函数，且函数值为负，等价于，或或，
解得或或，所以不等式的解集为.
故选：D.
6、(多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是( )
A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数
B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数
C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于x＝1对称
D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点
【答案】AB
【解析】对于选项A，若a2－b≤0，则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2在区间[a，＋∞)上是增函数，故A正确；对于选项B，当a＝0时，f(x)＝|x2＋b|显然是偶函数，故B正确；对于选项C，取a＝0，b＝－2，函数f(x)＝|x2－2ax＋b|化为f(x)＝|x2－2|，满足f(0)＝f(2)，但f(x)的图象关于x＝1不对称，故C错误；对于选项D，如图，a2－b－2＞0，即a2－b＞2，则h(x)＝|(x－a)2－b－a2|－2有4个零点，故D错误．
7、(2022·烟台莱州一中月考)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x＋1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[t，t＋2](t∈R)时，求函数f(x)的最小值g(t)(用t表示)．
【解析】 (1)因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x＋1，
所以
即所以
解得因此f(x)＝x2＋2.
(2)因为f(x)＝x2＋2是图象的对称轴为直线x＝0，且开口向上的二次函数，
当t≥0时，f(x)＝x2＋2在x∈[t，t＋2]上单调递增，
则f(x)min＝f(t)＝t2＋2；
当t＋2≤0，即t≤－2时，
f(x)＝x2＋2在x∈[t，t＋2]上单调递减，
则f(x)min＝f(t＋2)＝(t＋2)2＋2＝t2＋4t＋6；
当t<0<t＋2，
即－2<t<0时，f(x)min＝f(0)＝2，
综上g(t)＝
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