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第16讲 存在与任意问题（微专题）
题型一 、 函数的存在问题
例1、（2021·山东济宁市·高三二模）设函数，，若存在、使得成立，则的最小值为时，实数______．
变式1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）若函数存在最小值，则实数a的取值范围为___________.
变式2、（山东省威海市2020-2021学年高三模拟）若关于的方程在 （0，+） 上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
方法总结：函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
题型二、 函数的恒成立问题
例2、（2021·山东济南市·高三二模）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
变式1、(2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测)已知函数f(x)＝x3＋mx，若f(ex)≥f(x－1)对x∈R恒成立，则实数m的取值范围为 ．
变式2、【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B．
C． D．
变式3、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)已知函数f(x)＝ax－x2＋3，g(x)＝4x－2，若对于任意x1，x2∈(0，1]，都有f(x1)≥g(x2)成立，则a的取值范围为 ．
变式4、（2022·广东·铁一中学高三期末）已知直线恒在函数的图象的上方，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
方法总结：函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）
参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）（1）若的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
题型三、函数的存在与恒成立的综合问题
例3、已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对任意的x1∈[0,3]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是 ；若对任意的x1∈[0,3]，任意x2∈[1,2]，有f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是 .
变式1、已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是 .
方法总结：存在于恒成立的综合性问题主要存在一下几方面的题型
1、 设函数f(x)，g(x)，对任意的x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使得f(x1)≥g(x2)，则f(x1)min≥g(x2)min.
2、 设函数f(x)，g(x)，对任意的x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使得f(x1)≤g(x2)，则f(x1)max≤g(x2)max.
3、设函数f(x)，g(x)，存在x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使得f(x1)≥g(x2)，则f(x1)max≥g(x2)min.
4、 设函数f(x)，g(x)，存在x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使得f(x1)≤g(x2)，则f(x1)min≤g(x2)max.
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