第07练-函数的基本性质Ⅰ-单调性与最值(基础+重难点)(新高考通用)解析版.docx

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第07讲 函数的基本性质Ⅰ-单调性与最值（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．在下列四个函数中，在上为增函数的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性确定正确答案.
【详解】A选项，是常数函数，不符合题意.
B选项，的开口向上，对称轴为，
所以在上递减，不符合题意.
C选项，，在上为增函数，符合题意.
D选项，当时，，在上递减，不符合题意.
故选：C
2．函数在区间上的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可．
【详解】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．
故选：B
3．设函数，若，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】判断出的单调性，由此化简不等式，从而求得的取值范围.
【详解】画出的图象如下图所示，结合图象可知在上递增，
由得，解得.
故选：B

4．已知，则“”是“函数在内单调递减”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求得“函数在内单调递减”时的取值范围，根据充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】若函数在内单调递减，
当时，在内单调递减，符合题意.
当时，的开口向上，对称轴为，
则，解得.
当时，的开口向下，对称轴为，
则，解得.
综上所述，若函数在内单调递减，则.
所以“”是“函数在内单调递减”的充分不必要条件.
故选：A
5．若对任意的，恒成立，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将原不等式参数分离，转化为基本不等式即可求解.
【详解】 ，
即m大于函数 的最大值， ，
∴ 的最大值为-2， ；
故选：C.
6．已知函数的最小值为a，则函数的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可得，然后根据二次函数的性质即得.
【详解】因为函数与函数在上为增函数，
所以函数为增函数，
所以，
∴，
∴当，即时，函数有最小值.
故选：B.
7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可.
【详解】根据题意，函数在时为单调递增，即，解得；
易知，二次函数是开口向上且关于对称的抛物线，所以为单调递增；
若满足函数在上单调递增，
则分段端点处的函数值需满足，如下图所示：

所以，解得；
综上可得.
故选：A
8．若偶函数在上单调递增，且，则不等式解集是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据偶函数的性质，结合分类讨论思想进行求解即可.
【详解】因为是偶函数，所以由，
当时，由，
因为在上单调递增，
所以，或，
而，所以；
当时，由，
因为在上单调递增，
所以或，
而，所以，
故选：A
二、多选题
9．已知函数则下列结论正确的是（    ）
A．f(x)的定义域是，值域是
B．f(x)的单调减区间是(1，3)
C．f(x)的定义域是，值域是
D．f(x)的单调增区间是(-∞，1)
【答案】AB
【分析】先根据被开方数大于等于零，求出函数定义域，再结合二次函数的对称性求出函数的值域并判断函数的单调性，逐一判断各选项即可.
【详解】已知函数，
对于A、C，令，则，解得，定义域为.
，又，函数的值域为，故A正确，C错误；
对于B、D，函数定义域为，函数的对称轴为，所以在区间单调递增，在区间上单调递减，故B正确，D错误；
故选：AB.
10．若二次函数在区间上是增函数，则a可以是（    ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】AB
【分析】根据单调性得二次函数的对称轴和区间的位置关系，据此列不等式求解即可.
【详解】二次函数对称轴为，
因为二次函数在区间上是增函数，
所以，解得.
故选：AB.
11．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（    ）
A．
B．若，则或
C．若，则
D．，使得
【答案】ABD
【分析】根据奇偶性、单调性定义易知偶函数在上单调递减，在上单调递增，且，进而逐项分析各项的正误．
【详解】由①，，得为偶函数，
②，，当时，都有，所以在上单调递减，
故,故A正确；
对于B，由,可得或，解得或，故B正确；
对于C，由，得，
若，则或，解得，故C错误；
对于D，由为上的偶函数，在单调递减，在单调递增，
又因为函数的图象是连续不断的，所以为的最大值，
所以，，使得，故D正确．
故选：ABD
三、填空题
12．函数在上的值域为________．
【答案】
【分析】先确定函数的单调性，再根据单调性求值域即可.
【详解】在上为增函数，
则在上的最小值为，最大值为，
即．
故答案为：.
13．函数的单调递增区间为__．
【答案】
【分析】求得的定义域，由二次函数和对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得所求区间
【详解】令，解得或，则的定义域为，
由在单调递减，根据复合函数的单调性：同增异减，求出的
减区间即为的增区间，再结合的定义域可知的单调递增区间为，
故答案为：
14．定义在上的函数满足，，若，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题意可得函数在上单调递减，然后根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为定义在上的函数满足，，
所以在上单调递减，
所以由，得
，解得，
即m的取值范围是，故答案为：
15．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性可得答案.
【详解】因为函数在区间上单调递减，
所以，即，
故答案为：
四、解答题
16．函数，
(1)判断单调性并证明，
(2)求最大值和最小值
【答案】(1)增函数，证明见解析
(2)最大值，最小值
【分析】（1）根据定义法判断函数单调性的一般步骤，逐步计算，即可判断出函数单调性；
（2）根据函数单调性，可直接写成最值.
【详解】（1）（1）任取，且．
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴在上为增函数．
（2）（2）由（1）知：在上为增函数，
所以，．
17．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求．
(2)求函数的解析式．
(3)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）利用奇函数定义直接可得；
（2）设，利用，可得解析式；
（3）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“f”，再考虑到定义域即可求出a的范围．
【详解】（1）因为为奇函数，则
（2）因为为奇函数，，
设，则，
则,因为为奇函数，则
则．
（3）当时，为单调递增函数，由奇函数可知是定义在[﹣3，3]上的增函数，
又∵，∴，
故有：，则有，解得
所以实数a取值范围是：

【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．若1≤x≤2时，不等式恒成立，则实数m的最小值为（   ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数在区间上恒成立，列出满足的条件求解即可.
【详解】根据题意，令，若不等式在上恒成立，则有或或
解得，所以实数的最小值为:，
故选:B
2．函数的单调递增区间是（　　）
A． B．[2，＋∞）
C． D．
【答案】C
【分析】利用“同增异减”可求函数的单调增区间.
【详解】令，则，
故函数的定义域为，设，，
则当时，为增函数，此时；
当时，为减函数，此时.
而在上为增函数，
故在上为增函数，在上为减函数，此时.
而在上为减函数，
故在上为减函数，在上为增函数.
故选：C.
3．定义在R上的奇函数，满足，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】由已知化简不等式可得.然后根据单调性、奇偶性，分别讨论求解以及时，不等式的解集，即可得出答案.
【详解】由已知可得.
当时，有.
由，且在上单调递减，可知；
当时，有.
根据奇函数的性质，可推得，且在上单调递减，
所以.
综上所述，不等式的解集为或.
故选：B.
4．函数，，对，，使成立，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】理解题意，将“对，，使得成立”转化为两函数值域的包含关系，先分别求解两函数在上的值域，再由包含关系求出a的取值范围.
【详解】，
当时， ，，
即值域为.
又，则为增函数，
当时， 值域为.
要使对，，使得 成立，
则，
，解得 ，所以实数的取值范围是.
故选：C.
二、多选题
5．设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则（    ）
A．在上单调递减
B．
C．不等式的解集为
D．的图象与轴只有2个交点
【答案】ABC
【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可进一步求解.
【详解】根据是定义在上的奇函数，且在上单调递减可知在上单调递减，故选项A正确；
在上单调递减，，故选项B正确；
不等式的解集为，故选项C正确；
是定义在上的奇函数，所以，的图象与轴有3个交点，分别是.故选项D错误.
故选：ABC.
6．已知函数，以下结论正确的是（    ）
A．为奇函数
B．对任意的都有
C．对任意的都有
D．的值域是
【答案】ACD
【分析】根据奇偶性定义可知A正确；取可知B错误；当时，，结合反比例函数的性质可确定在上单调递增，结合奇偶性可知在上单调递增，知C正确；分离常数后可得在上的值域，结合对称性可得的值域，知D正确.
【详解】对于A，定义域为，，
为定义在上的奇函数，A正确；
对于B，由A知：为定义在上的奇函数，；
取，则，，
，B错误；
对于C，当时，，
在上单调递减，在上单调递增；
又为上的奇函数，在上单调递增，
在上单调递增，则，C正确；
对于D，当时，，，
又图象关于原点对称，当时，；
综上所述：的值域为，D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数奇偶性、单调性综合应用问题，解题关键是能够采用分类讨论的方式，通过对在上的单调性和值域的求解，结合奇偶性确定其在上的单调性和值域.
三、填空题
7．因函数的图像形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数，若对勾函数对于任意的，都有，则实数t的最大值为__________．
【答案】
【分析】由，移项后代入，构造新的关系式，对分类讨论，转化为恒成立问题即可解决.
【详解】因为，则，
所以，即
当，即时，因为，则，.
当即时，恒成立，所以.
综上,
所以实数的最大值为.
故答案为：
8．已知函数在区间上是严格增函数，则实数的范围是____________．
【答案】
【分析】先求解的根，判断两根的大小以及严格递增区间，再判断m的范围.
【详解】令，解得或，
∴当时，在上是严格增函数；
若时，函数在上单调递增，
又函数在区间上是单调递增，故；
若时，函数在上单调递增，则函数在区间上是单调递增恒成立，
综上m的范围是．
故答案为：
四、解答题
9．已知函数，其中.
(1)讨论函数的奇偶性：
(2)若函数在区间上是严格增函数，求实数a的取值范围.
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）分和两种情况讨论函数的奇偶性；
（2）根据条件转化为当时，，参变分离后，转化为求的范围，即可求参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
所以的定义域为，关于原点对称，
又，所以是偶函数；
当时，，所以，
所以是非奇非偶函数；
（2）由题意得任取且，则恒成立，
即，即，，
因为，所以，，
所以恒成立，
又，所以，则，
所以.
10．已知定义域为R的函数是奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断的单调性，并证明；
(3)若关于m的不等式在上有解，求实数t的取值范围．
【答案】(1)2
(2)严格减函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用奇函数性质代入求出，检验成立；
（2）根据函数单调性的定义即可证明；
（3）利用奇函数性质，单调性以及存在性问题即可求解.
【详解】（1）依题意，
由，得．
检验：时，，
∴对恒成立，即是奇函数．
（2）判断：严格减函数．
证明：设且，
则
，
∵，即．
又，∴，
∴，即．
∴在R上是严格减函数．
（3）∵是奇函数，
∴不等式，
即
∵在R上是严格减函数，
∴在上有解，
即在上有解，
∴在上有解，
∵，当且仅当时等号成立，
∴，即.
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性和单调性的判断与应用，以及不等式存在性问题，利用定义法和参数分离法是解决本题的关键.

【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，构造函数，求出函数的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集.
【详解】令，由题意知在上为减函数，
又为上的偶函数，所以为上的奇函数，
又在上为减函数，，
所以在上为减函数，
①当时，，即，
所以，所以，解得；
②当时，，即，
所以，所以，解得.所以或.
故选：D.
2．已知奇函数在上单调递增，对，关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（    ）
A．或 B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】根据函数的单调和奇偶性，将不等式转化为当时，在成立，上有解，结合主元变更求实数的取值范围，同样当时，在成立，上有解，结合主元变更求实数的取值范围即可.
【详解】解：①当时，可以转换为，
因为奇函数在上单调递增，
，则，
∴在成立，则，
由于，∴在递减，则，
又在上有解，则，∴；
②当时，由单调性和奇偶性可转换为：，
∴，在成立，则，
当时，在，递增，则，
又在有解，则，∴，
当时，在，递减，则，
又在有解，则，∴，综合得.
综上，或.
故选：A.
3．函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若对任意，均有，则实数t的最大值是（    ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性与单调性可得，再利用二次函数在区间的单调性与最值即可得解.
【详解】因为，所以，则，
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
则由得，
又因为在上是增函数，所以，
两边平方化简得在恒成立，
令，则，
又因为开口向上，对称轴为，
所以在单调递增，
则，解得，
又因为，所以，
所以的最大值为.故选：B.
二、多选题
4．已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有．若对所有恒成立，则实数m的取值范围可能是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】先根据题目给出的条件，判断是定义在区间上的单调函数，求出其最大值，代入中解出m的取值范围即可.
【详解】不妨令
，
对任意都有在上单调递增，

对所有恒成立，
对所有恒成立，
对所有恒成立，令
故只需解之：
故选：AD
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
三、填空题
5．若函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是______.
【答案】．
【分析】分类讨论，按绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号，然后对分类函数的两个二次函数的对称轴进行分类讨论可得．
【详解】因为，
当时，时，单调递增，不合题意；
当时，时，，函数在区间上是严格减函数，
则，即；
当时，时，，函数在区间上是严格减函数，
则，即；
当时，，
，因此在是单调递增，不合题意；
综上，的范围是．
故答案为：．
6．已知，若对恒成立，则实数___________.
【答案】
【分析】分情况讨论当时，可得，当时，可得，即求.
【详解】当，即时，，
又，故，则恒成立，
所以，解得；
当，即时，，故，即恒成立，
∴，解得；
综上，实数.
故答案为：.
7．已知，函数，使得，则a的取值范围________.
【答案】
【解析】由已知得出函数的单调性，再得出时，a的值，从而分两种情况，分别由解得可得a的取值范围.
【详解】因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，解得（舍去），
（1）当，解得；
（2）当，不符题意.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：有解⇔，有解⇔.
四、解答题
8．已知为上的奇函数，为上的偶函数，且.
(1)判断函数的单调性，并证明；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)函数在R上单调递减，证明见解析.
(2)
【分析】（1）由，根据函数奇偶性列方程组求函数解析式，用定义法判断并证明函数的单调性；
（2）原不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，利用基本不等式求的最小值，即可得实数的取值范围.
【详解】（1）由，可得
为上的奇函数，为上的偶函数，可得，，所以，
由，解得，，
函数定义域为R，是R上的减函数，证明如下：
任取，有，，
则，即，
函数在R上单调递减.
（2）由，不等式即  ，得，
当时，，，
不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，
，
当且仅当即时等号成立，得，
所以实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：此题的不等式恒成立问题，通过分离常数，转化为求新函数最值问题，可使用函数单调性或基本不等式等方法求函数最值.