变双曲圆弧齿线圆柱齿轮修形设计及承载接触分析.pdf

振动与冲击第42 卷第14期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol.42 No.14 2023变双曲圆弧齿线圆柱齿轮修形设计及承载接触分析马登秋，刘永平，叶振环，李大伟，魏永峭（1.兰州理工大学机电工程学院，兰州7 30 0 50;2.遵义师范学院工学院，贵州遵义56 30 0 6)摘要：为提高变双曲圆弧齿线（variable hyperbolic circular arc toothtrace，VH CA T T）圆柱齿轮承载能力和改善其动态特性，提出齿面修形设计方法，即齿线方向的刀盘倾斜法和齿廓方向的抛物线修形刀刃法。首先，根据齿轮啮合原理和变双曲圆弧齿线圆柱齿轮修形齿面成形原理，推导修形齿面方程，利用软件MATLAB和UG实现齿面重构；其次，通过齿轮几何接触分析，计算齿面间隙，同时利用有限元法计算接触点柔度矩阵，进而建立承载接触非线性数学规划模型，获取轮齿承载啮合特性；最后，分析刀盘倾角、抛物线系数与抛物线顶点位置对修形齿面载荷分布与承载传动误差的影响。研究结果表明：取值合理的刀盘倾角和抛物线顶点位置可有效降低齿面载荷与改善系统承载传动误差特性；取值合理的抛物线系数可改善单齿和双齿啮合交替时的载荷突变情况。研究结果为变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的动态设计和工业应用提供了理论基础。关键词：变双曲圆弧齿线（VHCATT)圆柱齿轮；齿面修形设计；承载接触分析；齿面载荷分布；承载传动误差中图分类号：TH132文献标志码：AD0I:10.13465/ki.jvs.2023.014.020Modification design and load tooth contact analysis of a cylindrical gear with variablehyperbolic circular arc tooth traceMA Dengqiul-2,LIU Yongping,YE Zhenhuan,LI Dawei,WEI Yongqiao(1.School of Mechanical and Electrical Engineering,Lanzhou University of Technology,Lanzhou 730050,China;2.School of Engineering and Technology,Zunyi Normal College,Zunyi 563006,China)Abstract:To improve the load-bearing capacity and dynamic characteristics of a cylindrical gear with the variablehyperbolic circular arc tooth trace(VHCATT)cylindrical gear,a modification design method for the VHCATT cylindricalgears surface was put forward,that is,the cutter inclination method was applied in the direction of tooth line and theparabola modification blade method was applied in the direction of tooth profile.According to the gear meshing principleand the modified tooth surface shaping principle of the VHCATT cylindrical gear,the modified tooth surface equation wasderived,and the tooth surface reconstruction was realized by using MATLAB and UG.The tooth contact analysis wascarried out to calculate the tooth surface clearance.At the same time,the contact point flexibility matrix was calculated byusing the finite element method,and a nonlinear mathematical programming model for the load-bearing contact wasestablished to investigate the load-bearing meshing characteristics.Then,the influences of the cutter inclination angle,parabolic coefficient and parabolic vertex position on the load distribution and load transmission error of the modified toothsurface were analyzed.The results show that:the reasonable cutter inclination angle and parabolic vertex position caneffectively reduce the load on the tooth surface and improve the system load transmission error characteristics.Thereasonable parabolic coefficient can improve the sudden change of load in the intermeshing from single tooth to doubleteeth.The results provide a theoretical basis for the further design and industrial application of VHCATT cylindrical gears.Key words:variable hyperbolic circular arc tooth trace(VHCATT)cylindrical gear;tooth surface modificationdesign;load tooth contact analysis;tooth surface load distribution;load transmission error变双曲圆弧齿线圆柱齿轮是一种新型的传动形基金项目：国家自然科学基金（517 6 50 32）；贵州省科学技术基金（黔科合基础-ZK2021一般2 7 3收稿日期：2 0 2 2-0 7-2 9修改稿收到日期：2 0 2 2-0 9-2 7第一作者马登秋男，博士生,1991年生通信作者刘永平男，博士，教授,博士生导师,197 3年生式,齿向线为一段圆弧线，中截面齿廓曲线为标准渐开线,其他截面齿廓为双曲线，兼具直齿、斜齿以及人字齿等齿轮传动的优点，在汽车、航天航空及重型机械等领域具有良好的应用前景1。第14期目前变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的研究主要集中在啮合原理、三维建模与接触性能、加工方法和应用等方面。例如,Tseng等2-4基于啮合原理推导齿面方程，并在此基础上建立3D模型。宋爱平等5-6 对该齿轮加工方法开展研究，分别提出了平行连杆装置铣削加工和大刀盘铣削加工两种加工方法。文献7 10 建立变双曲圆弧齿线圆柱齿轮三维模型，利用有限元研究齿轮接触性能,并与直齿轮和斜齿轮等接触性能进行对比。马登秋等11-12 建立啮合接触冲击模型,分析其啮合接触冲击特性，讨论齿面冲击应力分布规律。Wei 等13基于赫兹接触理论建立圆弧齿线圆柱齿轮接触应力计算模型,为该齿轮接触应力计算提供了参考。关于该齿轮的应用，最为典型的是林子光14将齿轮泵的直齿轮替换为圆弧齿线圆柱齿轮，解决了齿轮泵困油问题。该齿轮的诸多研究成果对齿轮应用有着积极的作用。但变双曲圆弧齿线圆柱齿轮齿面修形设计研究和承载接触分析则少见或者研究不深入，无法完成变双曲圆弧齿线圆柱齿轮齿面优化和高品质齿轮传动系统设计，进而无法进行传动系统减噪优化设计，严重制约了齿轮应用推广。但应用在其他齿轮修形设计与承载接触分析中的方法可以借鉴，相关的文献综述如下。齿面修形技术可以改善齿面载荷分布情况，变形后运转更平稳，啮人和啮出冲击更小，是齿轮传动系统减振降噪的有效技术。例如,蒋进科等15-16 为改善准双曲面齿轮动态性能、减小齿面磨损，提出齿面动态抗磨修形设计与分析方法，同时为提高汽车驱动桥综合传动性能,提出基于ease-off 拓扑修形准双曲面齿轮齿面多目标优化设计方法。贾超等17 为减小高速齿轮的振动与噪音,提出一种考虑重合度的齿面新修形方法，基于几何接触分析和承载接触分析的啮人冲击力计算方法，所提修形方法更能有效地减小承载传动误差波动和冲击力。王峰等18 为有效抑制齿面振动,建立考虑齿面/齿背啮合刚度、线外啮合冲击激励的高转速圆柱斜齿轮传动系统非线性振动模型，开展计及齿面、齿背接触状态的双齿面减振修形优化研究，该研究对提升系统稳定性设计有着积极的指导意义。李聚波等19高减比准双曲面齿轮常规加工计算方法难以实现对其齿面啮合质量的控制，推导修形刀盘的曲面方程，提出刀盘齿廓修形方法，解决了齿轮的齿面曲率修正问题。齿轮承载接触分析技术是齿面在真实载荷作用下对齿面承载情况进行分析的重要技术方法，其分析计算结果是衡量动态传动性能的重要技术指标，也是齿面几何参数设计与系统动力学行为分析的纽带。方宗德2 0 建立了齿轮承载接触分析(load tooth contact anal-ysis,LTCA)的模型，建立了齿轮几何分析与力学分析马登秋等：变双曲圆弧齿线圆柱齿轮修形设计及承载接触分析锥齿轮的承载传动误差。上述方法效率高，研究结果的可靠性和精度高，广泛应用在齿轮动态特性研究中，为变双曲圆弧齿线圆柱齿轮修形设计与承载接触分析研究提供了技术参考。本文提出变双曲圆弧齿线圆柱齿轮齿廓和齿线方向的齿面修形设计方法，推导修形齿面方程，建立齿轮传动几何接触模型，计算齿面间隙，利用有限元计算接触点柔度矩阵，进而承载接触分析模型，分析刀盘倾角、抛物线系数与抛物线顶点位置对修形齿面载荷分布与系统承载传动误差的影响。研究结果为变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的降噪设计提供理论基础。1修形齿面数学模型大刀盘铣削加工变双曲圆弧齿线圆柱齿轮通过刀盘旋转、刀盘平移、毛坏旋转和毛坏分度运动紧密配合完成加工，成形原理在Ma等和赵斐等的研究中已给出，不再赘述。为提高齿轮承载能力和改善动态特性，在齿线方向提出刀盘倾斜铣削加工变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的修形方法。图1（a)为刀刃倾斜大刀盘，内外刀刃与回转轴线为夹角为。为保证标准安装时刀刃节线与毛坏分度圆相切,将旋转刀盘倾斜一角度安装,如图1(b)所示。刀盘绕轴线mana旋转,刀盘平移往复运动为水平方向，节线等齿厚点到回转轴线man的距离为Rr，内外刀刃在节线上绕mna的回转半径为4cOs(1)式中：下标n为内刃；下标w为外刃。在齿廓方向，成形刀刃采用抛物线曲线=ax,如图2 所示。改变参数n(n=1,2,3，)取值可得二次、四次或者更高阶的抛物线曲线。图2 中：t与r分别为齿顶修形量与齿根修形量；Op为修形曲线顶点位置;为抛物线系数；uo为修形曲线顶点与未修形直线刀刃节线处的距离。在OarXarYarZar中刀刃修形曲线表达式为aar=f(u+uo)sin+m2n4ydr=0(zdr=(u+uo)cos ausin 171的桥梁。常乐浩等2 1建立齿轮承载接触分析修正模型，提出已知齿面误差分布时啮合刚度和综合啮合误差的确定方法，研究表明此方法可用于分析不同误差类型及分布形式对系统振动的影响规律。王笑乐等2 对准双曲面齿轮副进行不同载荷下的承载接触分析，获得等效啮合力、承载传动误差、综合弹性变形、时变啮合刚度及实际重合度等参数。牟彦铭等2 3为改善航空弧齿锥齿轮的承载啮合性能,结合 ease-off 技术提出一种波动齿面设计方法,并利用LTCA技术计算了弧齿(2)-aucos172式中，干的上部符号为外刀刃，下部符号为内刀刃。外刀刃外刀刃内刀刃2RT（a）刀刃倾斜大刀盘2RT元mmImdnRndRw（b）刀盘安装位置图1倾斜铣削加工大刀盘Fig.1 Large cutter inclination milling刀刃曲线zp=axZdpuuoOp0(a）齿廓曲线ydpdpZdpax图2齿廓修形刀刃曲线Fig.2 Curve of tooth profile modification blade图3所示齿面修形设计成形坐标系,其中图3（b）所示为刀盘位置及几何参数。O,X,Y,Z,为齿坏动坐标系;OaoXaoYaoZao为刀盘动坐标系；OaX.YaZ为刀盘静坐标系;O,X,Y,Z,为齿坏静坐标系；OXYZ为辅助坐标系;m为模数;R，为分度圆半径;b为齿宽；为刀盘旋转速度;W1为毛坏旋转速度;1为齿坏展角;0 a为刀盘展角。振动与冲击mdna节线uuoOar(b）刀具齿廓2023年第42 卷Rrcos y+R,01元m4JryRicos2RO2RTya旋转刀盘毛00.9（a）修形齿面成形坐标系a一Zag.元h。Xaf（b）刀盘位置及几何参数图3齿面修形设计成形坐标系Fig.3 Coordinate system of tooth surface modification design根据式(2）和图3,倾斜刀盘刀刃在O,X.Y.Z中的表达式为ra=(u l)in 4(u+ulo cos F ausin sin cos?XdpJ a=-(+10)sin 7-4(u+uo)cos aulsin sin sin za=-(u+ulo)sin -Tmaucos +Rr4(u+ulo os ausin cos根据齿轮啮合原理2 4，修形齿面刀刃和毛坏接触Xaf点法向量n，和相对速度v）的向量积为零，即nv(a）=0。式(4)为法向量和相对速度表达式。n,=-Bcos cos()+2nau2-in()i+Bisin cos()+ra-l in(y)ia+Bsi(a)-2nau2-l o(y a kadamrsin(a)oia(u l)i(y a)-(Rr+Rigicos)oika式中:B=-(u+uo)sin 4(u+uo)cos 干 au2sin sin。Z&doRTcosTm-ai cos -Rr cos+2nsin+(4)Tmaucos -RrJcos-2nao文a(10)第14期根据n，v(）=0 计算化简得关于u的式(5)，求解式(5)即可得u的解A-1+R,ua-1+,u+Q.=0其中，A,=2nacos 0R,=2naTmcos Ocos +2naRrcos Ocos()-42na(Rr+RiPicos)cos()-2naR,Prsin ycos Osin(F)cos(+1)sin(+$)A100则修形齿面数学模型为xi=(u+uo)sin(a)-au2cos()-R+4cos cos Ccos(+1)-马登秋等：变双曲圆弧齿线圆柱齿轮修形设计及承载接触分析0-sin(+i)(Rcos +Rii)cos i-Rrsin Pisin-Rtsin Pi0cos(+p1)(Rcos+Rii)sin$1+Rrcos Pisin+Rjcos$1-1000173P,=cos 0(8)0.=ulocos O+TInccos sin-RiPisinycos cos()+(5)4(R+Riicos)sin()-Rrcos Ssin()(9)(6)经MATLAB数值计算,式(5)有4n-2个虚根和1个实根,结合齿轮实际物理意义,取实根为u值。进一步求取修形齿面方程,将OaX,YZ中的刀具回转面方程变换到齿轮坐标系O,X,Y,Z,中。根据图3中各坐标系几何位(7)置关系,从O,X,YZO,X,Y,Z,的变换矩阵为AldTm014sin lsin(+91)+(Rrcos+Rrg1)cos 91-Rrsin 91 sin-R,sin 91cosJcos Ssin(+1)+4Tm(u+uo)cos(干)+au2sin(F)4sin lcos(+91)+(Rrcos+Rr91)sin 91+Rrcos pisin+Recos 9i(11)4cosysin 式中,n取1,2,3等整数,分别为2 阶、4阶和6 阶抛物线修形齿面方程。（a）齿线方向修形抛物线系数=-0.0001抛物线系数=-0.00005抛物线系数=0（未修形）齿宽端面（b）齿廓方向修形图4修形齿面Fig.4Modified tooth surface取齿数z=29,齿宽b=80mm,压力角=20,模数m=8mm,齿线半径R=200mm,利用软件MAT-LAB和UG实现齿面重构,如图4所示。如图4（a）所示为齿线方向修形前后对比图，可知刀盘倾角主要影响轮齿圆弧弯曲程度；图4（b)所示为齿廓修形前后对-7比图,可知齿廓修形主要改变齿顶和齿根区域的齿面结构特征。2齿轮系统几何接触模型图5所示齿轮副啮合传动坐标系，考虑到设计效率及加工经济性，仅对从动齿轮齿面进行修形。图5中：ZI为主动轮齿面；为从动轮齿面;M为齿面接触点;n。为接触点公法线;41为主动轮啮合转角;2 为从动轮啮合转角。齿面几何接触分析需将主动轮和从动轮齿面与法向量表示在某一固定坐标系中，本文取O.X.Y.Z。坐标系为固定坐标系,取主动轮凹面和从动轮凸面进行分析。根据啮合原理，当主动轮和从动轮齿面在M点接触时,在相同坐标系下主从动齿轮齿面M点具有相同齿宽中截面的位置矢量和单位法向量，但只有5个独立的标量方程，即存在以下关系式x(01,P1,小1)=xg(02,92,42)yg(01,P1,41)=2(02,P2,42)2(01,91,)=2(02,92,42)ng(01,91,51)=ng(02,P2,42)(01,P1,41)=ng,(02,P2,42)(12)174接触模型中有6 1,91,1,2,2,2 等6 个未知变量,取主动轮转角出，为输人量，求解几何接触模型，即可得（）（）（）,（）,（）。Y2YX,42X振动与冲击K2023年第42 卷SPM02NM2VLWZ,Z2R,+R2YYMXZZ图5传动副啮合传动坐标系Fig.5 Gear pair meshing transmission coordinate system3加载接触分析模型3.1齿轮加载接触模型建立图6 所示为齿轮承载接触变形模型，图6（a）单齿对接触变形,图6(b)双齿对接触变形。图6 中:Z,为主动轮齿面；Z为从动轮齿面；实线为变形前齿面；虚线为变形后齿面；点M为齿面接触点，受载后为接触线上一系列点的接触;i和 为在瞬时接触线上任意一离散点;w,为该点齿面法向间隙;F,和F,为法向载荷,载荷P作用下接触变形为u,和uj。假设小齿轮固定,大齿轮在外载荷作用下的法向位移为s，。根据方宗德的研究,散点j处的变形协调方程为(fx+Zfix)F,+w,=s:+d,式中:d,为齿面剩余间隙,若在离散点j处齿面接触,则有d,=0,F,0;若在离散点j处齿面不接触,则有 d,0,F,=0;f和f为主从动齿轮柔度系数。若齿面上有n个离散的接触点且考虑多齿对接触时，则总的变形协调方程写成矩阵形式为S.Fm+wm=s,e+dm,m=I,式中：S为齿面接触点柔度矩阵;F为齿面接触点载荷矩阵;w为变形前齿面初始间隙矩阵;d为变形后齿面接触点处剩余间隙矩阵；m为接触齿对数。齿面柔度矩阵是齿轮承载接触分析的关键技术之一。本文基于软件 ABAQUS 利用 Python 语言进行二次开发，建立有限元模型，计算齿面加载后的柔度系数，获得齿面节点柔度矩阵，进而利用二元插值计算瞬时接触椭圆长轴方向上接触离散点的柔度矩阵，图7（a)为节点载荷加载，图7（b)齿面节点变形。M,tn（a）单齿对接触变形FWilWjlWillI（b）双齿对接触变形图6 承载接触变形模型Fig.6 Load bearing contact deformation modelagnitude8.712E007(a）载荷加载图7 齿面节点加载与变形Fig.7 Node loading and deformation of tooth surface(13)3.2初始接触间隙计算图8 中：M。点为瞬时接触椭圆的中心;M.A为接触椭圆长轴的方向;n(Mo）为该点的单位法向量。假设M点为瞬时接触椭圆长轴方向任意一接触点，过M点平行于公法线n(o）的直线方程为L。设直线L和主从动齿面的交点M，和M，坐标分别为（x，y,z）和（，(14),2),M,坐标是关于0 和9的参数方程,M,坐标是关于Q2和2 的参数方程。M点处齿面法向间隙bM为bm=(x-x)+(y-)2+(z-2)2(15)方宗德的研究表明齿间间隙取决于几何传动误差，图9所示为几何传动误差，将几何传动误差按齿轮副几何关系转换为齿面法线方向位移，即为齿间间隙S。式(16)齿轮副为几何传动误差。s2=$2(g1）-2(910）-(s 1-$10)（16)52PFilWjll1I(b）齿面变形(18)第14期马登秋等：变双曲圆弧齿线圆柱齿轮修形设计及承载接触分析y2t02yg175学模型描述载荷作用下齿面接触的平衡状态=minX2(PS)Pn(M)w.=-S.Fm+se+dm,m=I,IT=Z(d.inFii+daunFan)ns.t:d,0(d,=0)IF,=0(F,0),s,0,F,0式中:P=F;F;S=S 0;0S;j=1,2,3,.A0图8 齿面法向间隙Fig.8Normal backlash of surface式中：2 为几何传动误差；P1o为主动轮初始角位移；P2（1o）为从动轮初始角位移;1为主动轮某时刻角位移;2（1）为从动轮某时刻角位移。图9齿间间隙Fig.9Backlash between teeth则齿轮加载变形前齿面间隙为w=b+83.3轮齿加载接触非线性规划模型以变形协调、力平衡与非嵌人等条件，建立如下数MoM2MML91I2n；I，I分别为第一对齿和第二对齿。该非线性规划的目标函数是传动系统变形能最小,已知参数为S,w,T,d和n等,待求参数为P,s，和d。求解轮齿加载接触非线性规划模型,将大齿轮在外载荷作用下的法向位移s，转换为从动轮转角位移e，则传动系统的承载传动误差计算公式为Ap=Ae+A24修形齿面载荷分布分析4.1刀盘倾角对载荷分布的影响图10 所示为刀盘倾角对修形齿面载荷分布的影响,其中刀盘倾角分别取0（未修形）,3,5和7,齿廓方向未修形,载荷取10 0 0 Nm。由图10 可知,随着刀盘倾角增大,接触区域宽度逐渐增大，修形齿面载荷逐渐较小，刀盘倾角对单齿啮合与双齿啮合交替区域载荷突变无影响。其中修形齿面载荷分布变化原因(17)为：刀盘倾角增大，修形齿面齿线方向曲率半径增大，齿面间间隙减小，受载后接触区域宽度增大，齿面载荷减小。(19)600N/d40020048200.20齿宽B/mm40110齿高R/mm(a)y=04.2抛物线系数对载荷分布的影响图11所示为抛物线系数对修形齿面载荷分布的影响,其中抛物线系数分别取0（未修形），-0.0 0 0 0 5，-0.00010和-0.0 0 0 50，抛物线顶点位置uo为0，刀盘倾角为5,载荷取10 0 0 Nm。由图11可知，修形后一对轮齿在开始进入啮合的双齿啮合区域齿面载荷逐渐增大，在退出啮合阶段的双齿啮合区域齿面载600N/d薄400200040125200.20120齿宽B/mm11540110齿高R/mm(b)y=3图10 刀盘倾角对齿面载荷分布影响Fig.10 Influence of cutter inclination on load distribution荷逐渐减小，单齿啮合和双齿啮合交替区域的齿面载荷突变得到改善。但是，随着抛物线系数增大，在开始或者退啮合时刻齿面载荷逐渐减小，甚至出现齿面实际不接触的现象,即此时齿面载荷为0,其原因为：随着抛物线系数的增大，开始啮合和退出啮合时，则齿顶和齿根修形量增大，导致齿顶和齿根的齿间间隙过大，齿面受载变形后齿面间仍有一定间隙,即不接触。6004002004012520120齿宽B/mm01152040110齿高R/mm(c)=5600N/d薄40020048125200.20120齿宽B/mm11540110齿高R/mm(d)=7125120115176振动与冲击2023年第42 卷600N/d40020048200.20齿宽B/mm40110齿高R/mm(a)a=04.3抛物线顶点位置对载荷分布的影响图12 所示为刀刃抛物线顶点位置对修形齿面载荷分布的影响,其中抛物线顶点位置分别取-3.0 mm，-1.5mm,0,1.5mm和3.0 mm,抛物线系数a为-0.00005，刀盘倾角为5,载荷取10 0 0 Nm。由图12 可知：抛物线顶点位置对齿面载荷大小有较大影响，当抛物线顶点位置从3-3mm变化时,齿面载荷逐渐较小,特别是抛物线顶点位置取-3mm时,在齿轮节圆附近实现全齿宽接触，齿面节点载荷最大值为114.4647N,相比抛物线顶点位置取3mm时的最大值504.9278N，降幅约为7 7.33%，且齿面载荷的突变特性得到有效改善。但由于齿宽端面刚度较小，全齿宽接触时端面载荷较大。600400200040020020齿宽B/mm40110115120齿高R/mm(a)uo=-3.0 mm600N/d4002000齿宽B/mm40200020-40110115.120齿高R/mm(c)uo=0600N/d鼎400200040220020齿宽B/mm40110115.120 125齿高R/mm(e)uo=3.0 mm图12抛物线顶点位置对齿面载荷分布影响Fig.12Influence of parabolic vertex position on loaddistribution600N/d鼎薄40020040125200.20齿宽B/mm11512040110齿高R/mm(b)=-0.000 05图11抛物线系数对齿面载荷分布影响Fig.11 Influence of parabolic coefficient on load distribution5修形齿轮承载传动误差5.1刀盘倾角对承载传动影响图13所示为刀盘倾角对修形齿轮承载接触传动误差影响，所选取参数同刀盘倾角对齿面载荷分布影响分析参数一致。-8C.)/o-12-16-2024-0.1小齿轮转角g/rad图13刀盘倾角对承载传动误差影响600Fig.13 Influence of cutter inclination on load transmission errorN/d鼎溝40020020200200.125齿宽B/mm40110115120齿高R/mm(b)uo=-1.5 mm600N/d薄400200125齿宽B/mm40200020-40110115:120齿高R/mm(d)uo=1.5 mm600N/d40020040125200.20120齿宽B/mm115.40110齿高R/mm(c)a=-0.000 100由图13可知：单齿啮合区承载传动误差较大，双齿啮合区承载传动误差较小，传动误差变化规律呈矩125形形状；承载传动误差幅值和变化幅度均随刀盘倾角增大而减小，如当=7 时，承载传动误差最大值为14.53，最小值为-8.90 ，当=0 时，承载传动误差最大值为-2 3.6 9,最小值为-14.35,变化幅度分别为5.63和9.34。承载传动误差随刀盘倾角变化的主要原因是：刀盘倾角增大,接触区域增大，,抵抗变形的能125力增大，系统的承载接触变形减小，所以承载传动误差减小。5.2抛物线系数对承载传动影响图14所示为抛物线系数对承载接触传动误差影响，所选取参数同抛物线系数对齿面载荷分布影响分析参数一致。由图14可知：在一定范围内增大抛物线系数，在单齿啮合与双齿啮合交替处承载传动误差突变幅度减小，承载传动误差幅度变化也减小，但在进入啮合和退出啮合处的承载传动误差幅值增大，如取0，-0.0 0 0 0 5，-0.0 0 0 10 对应的承载传动误差突变量分别为5.95,4.8 5 和3.8 3；承载传动误差变化幅值分别为7.37 ,5.2 9 和7.7 4；进入或者退出时刻的承载传60040020048125200.20120齿宽B/mm11540110齿高R/mm(d)a=-0.000 50-00.10.2125120115第14期动误差分别为-12.99，18.2 45 和-2 2.96 。但当抛物线系数较大时，系统承载接触误差急剧恶化，图14中抛物线系数取0.0 0 0 5时齿轮承载传动误差最大值为-57.2 1。根据抛物线系数对齿面载荷的影响可知，抛物线系数不同，齿廓曲线的修形量就不同。又因齿轮接触承载传动误差由几何传动误差和受载后系统变形引起的传动误差之和。经过数值计算，结果表明：修形参数抛物线系数增大了齿面间隙，以致于增大了系统几何传动误差，进而影响了系统承载传动误差，图15所示为抛物线系数对几何传动误差影响。-1624-32-40-48-56-0.2-0.1小齿轮转角,/rad图14抛物线系数对承载传动误差影响Fig.14Influence of parabolic coefficient on load transmissionerror8-16-24-32-40-0.2-0.1小齿轮转角g/rad图15抛物线系数对几何传动误差影响Fig.15Influence of parabolic coefficient on transmission error5.3抛物线顶点位置对承载传动影响图16 所示为抛物线顶点位置对承载接触传动误差影响，所选取参数同抛物线顶点位置对齿面载荷分布影响分析参数一致。由图16 可知：当抛物线顶点位置取值大于零时，抛物线顶点位置取值增大对进入啮合的双齿啮合区域承载传动误差影响小，退出啮合的双齿啮合区域承载传动误差则随之增大，总体上承载传动误差幅值变化幅度和单双齿交替时刻承载传动误差突变量随抛物线顶点位置增大而增大；当抛物线顶点位置取值小于零时，进入和退出啮合的双齿啮合区域承载传动误差和单双齿交替时刻承载传动误差突变量随抛物线顶点位置增大而减小，但承载传动误差幅值变化幅度略有增大。图17 所示为各抛物线顶点位马登秋等：变双曲圆弧齿线圆柱齿轮修形设计及承载接触分析uo-010-3.0mmuo=-1.3mm-24103.0mmuo-i.5mm-0.2-0.1小齿轮转角p/rad图16抛物线顶点位置对承载传动误差影响Fig.16 Influence of parabolic vertex position on loadtransmission error-a=0a=-5x10-5-1x10-4a-一a=-5x10-400.1a-0a-510-5+a=-1x10-4a=-5x10-400.10.2177置对应几何传动误差的变化规律，抛物线顶点位置改变将改变系统几何传动误差。一8-12-16-2000.20.30.30-4+uo-0-uo=-3.0 mmuo=-1.5 mm-uo=3.0 mm-8uo=1.5 mm-0.2-0.1小齿轮转角g/rad图17 抛物线顶点位置对几何传动误差影响Fig.17 Influence of parabolic vertex position on transmissionerror5.4载荷对齿轮承载传动误差影响图18 所示为载荷对承载传动误差的影响，修形参数抛物线系数为-0.0 0 0 0 5，抛物线顶点位置为-1.5mm，刀盘倾角为5，载荷分别取40 0 Nm，700 Nm,1 000 Nm,1 500 N m,1 800 Nm。由图18 可知，载荷越大，系统承载传动误差越大，且波动幅度也越大。其原因在于：载荷增大,齿轮系统的综合弹性变形增大。-8C.)/0-12-16-20-P-400NmP-700Nm-24.P-1000N.m-P-1500Nm-280.2-P-1800Nm-0.100.10.2小齿轮转角g/rad图18 载荷对承载传动误差影响Fig.18 Influence of load on transmission error0.100.10.20.20.30.30.31786结论本文提出了变双曲圆弧齿线圆柱齿轮齿面修形设计方法，推导修形齿面方程，建立三维模型，基于几何接触分析、有限元和承载接触分析求取齿轮承载接触特性，分析修形参数对齿面载荷与系统承载传动误差的影响。主要结论如下：（1)齿面载荷随着刀盘倾角增大逐渐较小，刀盘倾角对单双齿交替处载荷突变无影响；抛物线系数增大，单双齿交替处载荷突变得到改善，但抛物线系数过大时在进人或退出啮合时齿面实际不接触；抛物线顶点位置从3-3mm变化时,齿面载荷逐渐较小。(2)承载传动误差幅值和变化幅度均随刀盘倾角增大而减小；抛物线系数增大，传动误差和单双齿交替处误差突变幅度减小，但抛物线系数过大，传动误差急剧恶化；对于抛物线顶点位置，总体上抛物线顶点位置uo越小，传动误差幅值越小；载荷越大，传动误差越大，且波动幅度越大。1 M A D Q,LI U Y P,YE Z H,e t a l.A n a ly s is o f t h e t o o t hsurface contact area of a circular arc tooth trace cylindricalgear under load J.Transactions of FAMENA,2021,45(1):79-94.2 T SENG R T,T SA Y C B.M a t h e m a t i c a l m o d e l a n d s u r f a c edeviation of cylindrical gears with curvilinear shaped teeth cutby a hob cutter J.ASME Journal of Mechanical Design,2005,45:982-987.3狄玉涛,洪晓晖，陈明.弧齿线圆柱齿轮齿面形成原理J.哈尔滨轴承，2 0 0 6，2 7（3）：58-6 1.DI Yutao，H O NG Xi a o h u i，CH EN M i n g.G e n e r a t i o nprinciple of actuate tooth trace cylindrical gear J.Journalof Harbin Bearing,2006,27(3):58-61.4赵斐，侯力，段阳，等.旋转刀盘圆弧齿轮成形理论分析及数字化建模研究J四川大学学报（工程科学版），2016,48(6):119-125.ZHAO Fei,HOU Li,DUAN Yang,et al.Research on theforming theory analysis and digital model of circular arc gearshaped by rotary cutter J.Journal of Sichuan University(Engineering Science Edition),2016,48(6):119-125.5宋爱平，吴伟伟，高尚，等弧齿圆柱齿轮理想几何参数及其加工方法J上海交通大学学报，2 0 10,44（12）：1735-1740.SONG Aiping,WU Weiwei,GAO Shang,et al.The idea