2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练13-函数模型及其应用.docx

课时规范练13　函数模型及其应用
基础巩固组
1.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.

加油时间
加油量/升
加油时的累
计里程/千米
2021年5月1日
12
35 000
2021年5月15日
48
35 600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(　　)
A.6升 B.8升 C.10升 D.12升
2.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”,与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N=1 000v0.7v+0.3v2+d0,其中d0为安全距离(单位:m),v为车速(单位:m/s).当安全距离d0取30 m时,该道路一小时“道路容量”的最大值约为(　　)
A.135 B.149 C.165 D.195
3.某大型建筑工地因施工噪音过大,被周围居民投诉.现环保局要求其整改,降低声强.已知声强I(单位:W/m2)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度,声强级L(单位:dB)与声强I的函数关系式为L=10lg(aI),其中a为正实数.已知I=1013 W/m2时,L=10 dB.若整改后的施工噪音的声强为原声强的10-2,则整改后的施工噪音的声强级降低了(　　)
A.50 dB B.40 dB C.30 dB D.20 dB
4.驾驶员在血液中的酒精含量大于或等于20 mg/100 mL,小于80 mg/100 mL时的驾驶行为视为饮酒驾驶.某人喝了酒后,血液中的酒精含量升到60 mg/100 mL.在停止喝酒后,若血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少,为了保障交通安全,这人至少经过几小时才能开车(　　)(精确到1小时,参考数据:lg 3≈0.48,lg 2≈0.3)
A.7 B.6 C.5 D.4
5.冈珀茨模型(y=k·abt)是由冈珀茨(Gompertz)提出,可作为动物种群数量变化的模型,并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型:y=k0·e1.4e-0.125t(当t=0时,表示2020年初的种群数量),若m(m∈N*)年后,该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半,求m的最小值.(ln 2≈0.7)

综合提升组
6.某医药研究机构开发了一种新药,据监测,如果患者每次按规定的剂量注射该药物,注射后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与时间t(单位:小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定,当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时,治疗该病有效,有下列说法:

①a=3;②注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时;③注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克;④注射一次治疗该病的有效时间长度为53132小时.
其中说法正确的序号有　　　　　. 
7.科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫“黑体”,即一种能完全吸收照在其表面的电磁波(光)的物体.然后,黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波,科学研究发现单位面积的黑体向空间辐射的电磁波的功率B与该黑体的绝对温度T的4次方成正比,即B=σT4,σ为玻尔兹曼常数.而我们在做实验数据处理的过程中,往往不用基础变量作为横纵坐标,以本实验结果为例,B为纵坐标,以T4为横坐标,则能够近似得到　　　　(曲线形状). 
创新应用组
8.某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金不超过90万元,同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为y=f(x)时,在估计能获得[25,1 600]万元的投资收益时,该公司对函数模型的基本要求是:当x∈[25,1 600]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤90恒成立;③f(x)≤x5恒成立.
(1)现有两个奖励函数模型:①f(x)=115x+10;②f(x)=2x-6.试分析这两个函数模型是否符合公司要求?
(2)已知函数f(x)=ax-10(a≥2)符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a的取值范围.

参考答案
课时规范练13　函数模型
及其应用
1.B　5月1日到5月15日,汽车行驶了35 600-35 000=600(千米),实际耗油48升,所以该车每100千米平均耗油量为486=8(升).
2.B　由题意得,N=1 000v0.7v+0.3v2+d0=1 0000.7+0.3v+30v≤1 0000.7+20.3×30≈149,当且仅当0.3v=30v,即v=10时,等号成立,所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.
3.D　由已知得10=10·lg(a×1013),解得a=10-12,故L=10·lg(10-12×I)=10(-12+lg I).设施工噪音原来的声强为I1,声强级为L1,整改后的声强为I2,声强级为L2,则L1-L2=10(-12+lg I1)-10(-12+lg I2)=10(lg I1-lg I2)=10·lgI1I2=20.
4.C　设这人至少经过x小时才能开车,由题意得60(1-20%)x<20,即0.8x<13,所以x>log0.813=-lg33lg2-1≈-0.483×0.3-1=4.8,所以这人至少经过5小时才能开车.
5.解令t=m,由题意知,k0·e1.4e-0.125m<12k0·e1.4e0=12k0·e1.4,所以2<e1.4-1.4e-0.125m得1.4(1-e-0.125m)>ln 2≈0.7,则1-e-0.125m>12,所以e-0.125m<12,解得m>ln20.125≈0.70.125=5.6,所以m的最小值为6.
6.①④　由函数图象可知y=4t,0≤t<1,12t-a,t≥1,
当t=1时,y=4,即121-a=4,解得a=3,∴y=4t,0≤t<1,12t-3,t≥1,故①正确;
药物刚好起效的时间,4t=0.125,解得t=132,药物刚好失效的时间,12t-3=0.125,解得t=6,
故药物有效时长为6-132=53132小时,药物的有效时间不到6个小时,故②错误,④正确;
注射该药物18小时后每毫升血液含药量为4×18=0.5微克,故③错误.
7.射线　因为B=σT4,σ为玻尔兹曼常数.以B为纵坐标,以T4为横坐标,因为x=T4≥0,所以B=σx(x≥0),所以曲线是一条射线.
8.解(1)对于函数模型:f(x)=115x+10,验证条件③:当x=30时f(x)=12,而x5=6,
即f(x)≤x5不成立,故该函数模型不符合公司要求;
对于函数模型:f(x)=2x-6,当x∈[25,1 600]时,条件①f(x)是增函数满足;
∴f(x)max=21 600-6=2×40-6=74<90,满足条件②;
对于条件③:记g(x)=2x-6-x5(25≤x≤1 600),
则g(x)=-15(x-5)2-1,
∵x∈[5,40],∴当x=5时,g(x)max=-15(5-5)2-1=-1<0,
∴f(x)≤x5恒成立,即条件③也成立.
故函数模型f(x)=2x-6符合公司要求.
(2)∵a≥2,∴函数f(x)=ax-10符合条件①;
由函数f(x)=ax-10符合条件②,得a1 600-10=a×40-10≤90,解得a≤52;
由函数f(x)=ax-10符合条件③,得ax-10≤x5对x∈[25,1 600]恒成立,即a≤x5+10x对x∈[25,1 600]恒成立.
∵x5+10x≥22,当且仅当x5=10x,即x=50时等号成立,∴a≤22.
综上所述,实数a的取值范围是2,52.