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第39卷第5期2023年10月山西大同大学学报（自然科学版）Journal of Shanxi Datong University(Natural Science Edition)Vol.39 No.5Oct.2023SS-拟正规性对有限群p-超可解性的影响高建玲(山西大同大学 数学与统计学院，山西 大同 037009)摘要：设G为有限群，子群H称作在G中SS-拟正规，若存在B G使G=HB，且对任意p (B)，P Sylp(B)，皆有HP=PH。借助p-子群的SS-拟正规性，刻画有限群的结构。应用内p-幂零群与p-可解外p-超可解群的结构和极小阶反例法，得出若干p-幂零群、p-超可解群的判别准则。关键词：SS-拟正规子群；p-幂零群;p-超可解群；超可解群中图分类号：O152.1文献标识码：Adoi：10.3969/j.issn.1674-0874.2023.05.010只考虑有限群G，表示素数集合，(G)表示|G|的 素 因 子 集 合，p,q表 示 素 数，Op(G)=g G|p|/o(g)，其它术语和符号见文献1-2。作为S-拟正规性的推广，2008年，Li等3定义了SS-拟正规性，并用某些p-子群的SS-拟正规性刻画了p-幂零群与p-超可解群。之后，很多群论学者应用子群的SS-拟正规性来刻画有限群结构，已有许多丰富结果，如文献4-8。在文献4的基础上，应用某些特定p-子群的SS-拟正规性，得到了若干p-幂零群、p-超可解群及超可解群的判别条件。1 预备知识定义13设H G，则H称作在G中SS-拟正规。若 存 在B G使G=HB，且 对 任 意p (B)，P Sylp(B)，皆有HP=PH。引 理 13设K G，N-G且H在G中SS-拟正规。（1）若H K，则H在K中亦SS-拟正规；（2）HN/N在G N中SS-拟正规。引理23若p-群P G且P在G中SS-拟正规，则PQ=QP对所有Q Sylq(G)成立，这里q p。引理39设G是群，p (G)且(|G|,p-1)=1。（1）如果N-G且|N|=p，那么N Z(G)；（2）如果G的循环Sylowp-子群存在，那么G有正规p-补；（3）如果M G且|G:M|=p，那么M-G。引理49设p-群H在p-群P上作用。若P与Q8无关且H在1(P)上平凡作用，则H在P上平凡作用。引理52设p (G)且p最小，P Sylp(G)且P循环，那么G有正规p-补。引理610假定G是p-可解外p-超可解群，则：（1）G=AN，|N|=p，1，A N=1，这里N G且唯一，N是初等交换p-群，A G且A是p-超可解群；（2）(G)=1且Op(A)=1。2 主要结果定理 1 若p(G)，且(|G|,p-1)=1，PSylp(G)，O=P,Op(G)。则以下命题彼此等价：（1）G是p-幂零群；（2）P O同Q8无关，同时P O的p阶子群在G中SS-拟正规。证明（1）（2）：因G是p-幂零群，所以Op(G)为G的 正 规p-补。由 于Op(G)charG，于 是O=P,Op(G)Op(G)。因此P O P Op(G)=1，进而论断成立。（2）（1）：若论断不成立，G设为极小反例。对任一H G，Hp Sylp(H)，鉴于 Sylowp-子群的共轭性，可设HpP。故 Hp,Op(H)O，因而Hp Hp,Op(H)P O。由引理1（1）得，H符合假设，故H是p-幂零群。由H的取法知，G的真子群均p-幂零，故G是内p-幂零群。再运用11第VIII章定理3.4有G=P Q。此时Op(G)=G,P O=P。设P0 P且|P0|=p，运用题设及引理 2 有P0Q=收稿日期：2023-05-18基金项目：山西大同大学校级科研基金资助项目2020K8作者简介：高建玲（1981-），女，山西朔州人，硕士，讲师，研究方向：群论。E-mail:文章编号：1674-0874（2023）05-0041-03山西大同大学学报(自然科学版)2023年QP0。假设P0Q=G，则P=P0循环。运用引理3（2）得，G是p-幂零群，与G的取法矛盾。现设P0Q G，则P0Q=P0Q是p-幂 零 群。故Q CG(1(P)。若CG(1(P)G，则CG(1(P)是p-幂 零 群 且CG(1(P)-G。所 以QG，矛 盾。于 是CG(1(P)=G，因此1(P)Z(G)。若exp(P)=p，则P=1(P)，G=P Q，矛盾。因此p=2，exp(P)=4。由引理4，Q在P上平凡作用，于是G是2-幂零群，矛盾。综上讨论，G是p-幂零群。定理2 若p(G)，且(|G|,p-1)=1，PSylp(G)，O=P,Op(G)。则以下命题彼此等价：（1）G是p-幂零群；（2）P O的p阶子群在G中SS-拟正规；特别地，p=2时，P O的4阶循环子群在G中亦SS-拟正规。证明（1）（2）：由于G为p-幂零群，故Op(G)是G的 正 规p-补。又 因Op(G)charG，因 此O=P,Op(G)Op(G)。进一步P O P Op(G)=1，进而结论成立。（2）（1）：若论断不成立，G设为极小反例。对任一H 1,A N=1,其中N G且唯一，N是初等交换p-群，A 1矛盾，因此结论成立。推论3 假定G是-可解群。若对任意p ，G的任一循环p-子群在G中SS-拟正规，则G是-超可解群。推论4 假定G是可解群。若G的任一循环子群在G中均SS-拟正规，则G是超可解群。定理 4G是p-超可解群的充要条件是G有p-可解子群N且N-G使得G N是p-超可解群，同时N的任一循环p-子群在G中SS-拟正规。证明 显然必要性成立，下面只证充分性。G设为极小阶反例。则：（1）设H G，则G H是p-超可解群。由于N是p-可解群，G N是p-超可解群，故G是p-可解群，因此H是p-群或p-群。由假设NH/H-G H，NH/H N/(N H)是p-可解群，且(G/H)/(NH/H)G/NH (G/N)/(NH/N)是p-超可解群。对于每个循环p-子群K H，同定理4的证明可得K H在G H中SS-拟正规。因此，由G的选取知，G H是p-超可解群。并且对所有T-G且T非平凡，有G T是p-超可解群。（2）G是一个p-可解外p-超可解群。由（1）及G的取法知G是一个p-可解外p-超可422023年解群。由引理 6知G=MP0,|P0|=p,1,M P0=1,其中P0 G且唯一，P0是初等交换p-群，M 1矛盾，因此结论成立。推论5 假定N-G且N是-可解群。若G N是-超可解群，且对任意p ，N的任一循环p-子群在G中SS-拟正规，则G是-超可解群。推论6 假定N-G且N是可解群。若G N是超可解群，且N的任一循环子群在G中SS-拟正规，则G是超可解群。参考文献1 DOERK K，HAWKES T O.Finite soluble groups M.Berlin：Walter de gruyter，1992.2 徐明曜.有限群导引 M.北京：科学出版社，1999.3 LI S R，SHEN ZH C，LIU J J，et al.The influence of SS-quasinormality of some subgroups on the structure of finite groups J.Journal of Algebra，2008，319（10）：4275-4287.4 ZHAO T，LI X H.SS-quasinormal subgroups of finite groups J.Journal of Algebra and Its Applications，2010，9（6）：977-984.5 KANG P.On s-semipermutable or SS-quasinormal subgroups of finite groups J.Bulletin of Mathematical Sciences，2014，4（3）：397-405.6 ZHONG G，LIN SH X.On the SS-quasinormality of the maximal subgroups of a sylow subgroup in its normalizer J.Ricerchedi Matematica，2016，65（1）：187-192.7 KONG Q J，GUO X Y.On weakly s-semipermutable or SS-quasinormal subgroups of finite groups J.Ricerche di Matematica，2019，68（2）：571-579.8 高建玲，毛月梅.准素数子群SS-拟正规的有限群 J.西北师范大学学报（自然科学版），2023，59（1）：56-59.9 韦华全.子群特性与有限群结构 D.广州：中山大学，2006.10 陈重穆.内外群与极小非群 M.重庆：西南师范大学出版社，1988.11 徐明曜，黄建华，李慧陵，等.有限群导引 M.北京：科学出版社，2001.Influence of SS-quasinormality on the p-supersolvability of Finite GroupsGAO Jian-ling(School of Mathematics and Statistics,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)Abstract:Let G be a finite group.A subgroup H is calledSS-quasinormal in G if there exists a subgroup B of G such asG=HB,andHP=PHfor arbitrary prime p of(B)andP Sylp(B).The structures of finite groups are discussed by means of theSS-quasinormality of p-subgroups.Several criteria for a finite group to be p-nilpotent or p-supersolvable will be obtained by using the structure of inner p-nilpotent group or p-solvable outer p-supersolvable group and counterexample of minimal order.Key words:SS-quasinormal subgroup;p-nilpotent group;p-supersolvable group;supersolvable group责任编辑 王晓玲高建玲：SS-拟正规性对有限群p-超可解性的影响43