资源描述
平方根
教学目标
1.使学生理解数的平方根的概念,能运用根号表示一个数的平方根;
2.掌握用平方运算求某些数的平方根的方法.
教学重点和难点
重点:平方根的概念及求某些数的平方根的方法。
难点:平方根的概念.
教学过程设计
一、导入新课
我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算,但在现实生活中,有些问题仅运用这
五种运算是无法解决的.例如已知正方形一边长是4厘米,那么它的一条对角线的长是多少厘米?解决这个问题就要运用一种新的运算方法,这种运算叫做开方.这节课我们就要学习开方运算和平方根.
二、新课
计算:42; (-4)2; (23)2; (-23)2; (0.8)2; (-0.8)2;
答42=16; (-4)2=16; (23)2=49; (-23)2=49; (0.8)2=0.64; (-0.8)2=0.64.
问:什么叫乘方?什么叫幂?
答:求相同因数的积的运算叫做乘方,运算的结果叫做幂.在式子42=16中,4叫做底数,2叫做指数,16叫做4的二次幂.
乘方运算是已知底数和指数,求幂.
如果已知一个数的平方等于16,怎样求这个数?我们可以设这个数为x,则x2=16,问题归结为求x.这个问题可以通过乘方运算来解决.
因为42=16所以x=4;又因为(-4)2=16,所以x=-4.4或-4的平方都等于16,可以表示为(±4)2=16.
因为4或-4的平方都等于16,我们把4及-4叫做16的平方根.
1.平方根.
一般地,如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根(或二次方根).就是说,如果x2=a,那么x就叫做a的平方根.
如23与-23都是49的平方根.因为(±23)2=49,所以±23是49的平方根.
问:100的平方根是什么?1 100呢?
答:100的平方根是10与-10.因为(±10)2=100,所以10与-10是100的平方根.
1 100的平方根是1 10与-1 10.因为(±1 10)2=1 100,所以1 10与-1 10是1 100的平方根.
上面例子可以看到求一个数的平方根,可经转化为通过乘方运算来求.
问:16,49,100,1 100都是正数,它们有几个平方根?平方根之间有什么关系?
答:这些数都是正数,它们都有两个平方根,这些数的两个平方根都分别是互为相反数.
问:0的平方根是什么?
答:0的平方根是0,这是因为02=0.由于任何不为零的数的平方都不等于零,所以零的平方根只有一个,它就是零本身.
问:负数有平方根吗?为什么?
答:负数没有平方根.由于正数、零和负数的平方都不是负数,所以负数没有平方根.
请同学概括数的平方根的定义.
答:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根.
2.一个非负数a的平方根的表示法.
当a>0时,a的正的平方根用符号“2 a”表示,其中a叫做被开方数,2叫做根指数,a的负的平方根用符号“-2a”表示,这两个平方根合起来可以记作“±2a”.这里符号“2”读作“二次根号”,2a读作“二次根号a”.当根指数是2时,通常将这个2省略不写,如2a记作a,读作“根号a”;±2a记作±a,读作“正负根号a”.
一般地,如果x2=a(a≥0),那么a的平方根可以表示为x=±a.
例如,9的平方根记作±9,读作正负根号9.
那么3a的根指数是3,应读作三次根号a,na的根指数是n,读作n次根号a.
3.开平方.
求一个数a(a≥0)的平方根的运算,叫做开平方.开平方运算是已知指数和幂求底数.
平方与开平方互为逆运算.一个数可以是正数、负数或者是0,它的平方数只有一个,正数或负数的平方都是正数,0的平方是0.但一个正数的平方根却有两个,这两个数互为相反数,0的平方根是0.负数没有平方根.
因为平方与开平方互为逆运算,因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根,也可以通
过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根.
例1 求下列各数的平方根:
(1)81; (2)1916; (3)0.09.
分析:求平方根是开方运算,我们可以通过平方运算来解决.
解 (1)因为(±9)2=81,所以81的平方根是±9,即
±81=±9.
(2)因为19 16=25 16,(±54)2=25 16,所以1916的平方根是±54,即
±1916=±2516=±54.
(3)因为(±0.3)2=0.09,所以0.09的平方根是±0.3,即
±0.09=±0.3.
例2 下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根;如果没有,请说明理由.
(1)-64; (2)0; (3)(-4)2 (4)10-2.
分析:因为只有正数和零才有平方根,所以首先应观察所给出的数是否为正数或0.
解 (1)因为-62是负数,所以-64没有平方根;
(2)0有一个平方根,它是0;
(3)因为(-4)2=16>0,所以(-4)2,有两个平方根,且±(-4)2=±16=±4;
(4)因为10-2=1 102 >0所以10-2有两个平方根,且
±10 -2=±(1 10)2=±1 10.
问:(1)-42有平方根吗? (2)(-4)2与-4相等吗?为什么?
答:(1)因为-42=-16是负数,所以-42没有平方根.
(2)因为(-4)2=16=4,16是(-4)2的正的平方根,所以等于4,而不等于-4.
三、课堂练习
1.填空:
(1)因为(±37)2=9 49所以______是______的平方根;
(2)因为(±0.6)2=0.36,所以______是______的平方根;
(3)(-2)2的平方根是 ,(12)2的平方根是 ;
(4)0.0081的平方根是 ,10-6的平方根是 .
2.求下列各数的平方根:
(1)49 81; (2)25 64; (3)1.44; (4)49×10-4.
3.判断下列说法是否正确?
(1)0的平方根是0; (2)1的平方根是1;
(3)-1是1的平方根; (4)-1的平方根是-1;
(5)(-1)2的平方根是-1.
答案:
1.(1)±37 是9 49 的平方根; (2)±0.6是0.36的平方根;
(3)(-2)2的平方根是±2;(12)2的平方根是±12;
(4)0.0081的平方根是±0.09;10-6的平方根是±10-3.
2.(1)49 81 的平方根是±1.2; (2)25 64的平方根是±5 8;
(3)1.44的平方根是±79; (4)49×10-4=0.0049,平方根为±0.07.
3.(1)正确;(2)错误,1的平方根是±1;(3)正确; (4)错误,-1没有平主根;(5)错误,因为(-1)2=1,1的平方根是±1.
四、小结
1.如果x2=a,那么x就叫做a的平方根,用±a来表示.
当a>0时,a有两个平方根,即±a,a表示a的正的平方根,-a表示a的负的平方根,它们互为相反数;当a=0时,a有一个平方根,就是它本身;负数没有平方根.
2.求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,平方和开平方运算有区别又有联系.区别在于,平方运算中,已知的是底数和指数,求的是幂;而在开平方运算中,已知的是指数和幂,求的是底数.在平方运算中的底数可以是任意数,平方的结果是唯一的;在开平方运中,被开方数必须是非负数,开平方的结果不一定是唯一的.
平方和开平方运算又有联系,二者互为逆运算.
求一个数的平方根,可以通过平方运算来解决.
五、作业
(一)选择题:
1.在四个数0,-9,2,(-2)2中,有平方根的是( ).
A.0与-9; B.0,-9和(-2)2; C.0与(-2)2; D.0,2和(-2)2.
2.数16的平方根是( ).
A.4; B.16; C.-4; D.4或-4.
3.数0.25的平方根是( ).
A.0.5; B.0.05; C.-0.5; D.0.5或-0.5.
4.数1 79的平方根是( ).
A.49或-49; B.43或-43; C.113; D.179.
5.数(-6)2的平方根是( ).
A.-6; B.6; C.6或-6. D.无平方根.
(二)填空题:
1.数61925的平方根是 ;
2.数0.0196的平方根是 ;
3.数11549的负的平方根是 ;
4.数(-2.2)2的平方根是 ;
5.-0.13是 的负的平方根.
(三)写出下列各数的平方根.
121,144,169,196,225,256,289,324,361.
答案:
( (一)1.D; 2.D; 3.D 4.B 5.C
(二)1.±135; 2.±0.14; 3.-87; 4.±2.2; 5.0.0169.
(三)±11;±12;±13;±14;±15;±16;±17;±18;±19.
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