S-弱鞅的一类Marshall型极大值概率不等式.pdf

Pure Mathematics 理论数学理论数学,2023,13(10),2942-2947 Published Online October 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/pm https:/doi.org/10.12677/pm.2023.1310301 文章引用文章引用:岳丹,鲁雅莉,冯德成.S-弱鞅的一类 Marshall 型极大值概率不等式J.理论数学,2023,13(10):2942-2947.DOI:10.12677/pm.2023.1310301 S-弱鞅的一类弱鞅的一类Marshall型极大值概率不等式型极大值概率不等式 岳岳 丹，鲁雅莉，冯德成丹，鲁雅莉，冯德成 西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州 收稿日期：2023年9月11日；录用日期：2023年10月13日；发布日期：2023年10月24日 摘摘 要要 本文利用本文利用S-弱鞅的一个弱鞅的一个Chow型极大值概率不等式，得到了关于型极大值概率不等式，得到了关于S-弱鞅的一类弱鞅的一类Marshall型极大值概率不等式型极大值概率不等式。关键词关键词 S-弱鞅，弱鞅，Chow型极大值不等式，型极大值不等式，Marshall型极大值不等式型极大值不等式 A Class of Marshall Type Maximal Inequality for Strong Demimartingales Dan Yue,Yali Lu,Dengcheng Feng College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou Gansu Received:Sep.11th,2023;accepted:Oct.13th,2023;published:Oct.24th,2023 Abstract In this paper,a class of Marshall type maximal inequality is obtained for strong demimartingales by using a Chow type maximal inequality.Keywords Strong Demimartingales,Chow Type Maximal Inequality,Marshall Type Maximal Inequality Copyright 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/Open AccessOpen Access岳丹 等 DOI:10.12677/pm.2023.1310301 2943 理论数学 1.简介和预备知识简介和预备知识 在本文中，,1nSn 或,1nXn 表示定义在概率空间(),上的随机变量序列，00S，AI表示集合 A 的示性函数。定义定义 1 设,1nXn 是1L随机变量序列，称,1nXn 是相协的是指对于任意使下述协方差存在的分量不减的函数 f 和 g，都有()()()11,0nnCov fXXg XX 定义定义 2 设,1nSn 是1L随机变量序列，称,1nSn 是一个弱鞅是指对任意使下述期望存在的分量不减的函数 f，以及1,2,j=都有()()11,0jjjESSf SS+(1.1)Newman 和 Wright 在文献1中提出了弱鞅的概念以及弱鞅的 Chow 型极大值不等式，并证明了均值为零的相协序列的部分和序列是一个弱鞅。之后众多学者基于此概念进行了进一步的研究，并给出了一些有意义的结果2 3 4 5。Christofides 6推广了 Chow 型极大值概率不等式，并利用它得到了弱鞅的强大数定律。定义定义 3 设,1nSn 是1L随机变量序列，称,1nSn 是一个 S-弱鞅是指对任意使下述协方差存在的分量不减的函数 f 和 g，以及1,2,j=都有()()()11,0jjjCov g SSf SS+(1.2)S-弱鞅的概念由 Hadjikyriakou 于文献7中提出，该文献给出了 S-弱鞅的中心极限定理。一个随机变量序列,1nSn，其中1nnniSX=，nX是相协的，则序列,1nSn 是一个 S-弱鞅，此外，如果,1nXn 是一个零均值序列，则序列,1nSn 是一个弱鞅。文献8给出了 S-弱鞅的 Chow 型极大值概率不等式和 Brunk-Prokhorov 型强大数定律。注注 相协随机变量的部分和序列是一个 S-弱鞅，各项均值相同的 S-弱鞅是一个弱鞅。一般地，设 X 是零均值的平方可积随机变量，对任意0，有()222EXP XEX+Marshall 9将上述概率不等式推广到如下形式 2122111max,0nkiiink niiiEXPXEX=+(1.3)这里10EX=，()1121,0iE X XXX=，2in，且2iEX，1in。此不等式也被称为 Marshall型极大值概率不等式。在上述条件下，如果令1iijjSX=，则,1iS in 是一个鞅。Mu 和 Miao 10将(1.3)式推广到如下形式()11maxpnkpppk nnE SPSE S+(1.4)这里，piE X，1,2,in=，且2p，111pq+=，其中是下列函数的最大值 岳丹 等 DOI:10.12677/pm.2023.1310301 2944 理论数学 ()()2111,0,1qqh xxxxx=+特别地，当2p=时，(1.4)式为(1.3)式所表示的 Marshall 型极大值概率不等式。Hu 11将文献10中的结论推广到弱鞅情形下，得到了弱鞅的Marshall型极大值和极小值概率不等式。文献12将文献11中关于弱鞅,1nSn 的Marshall型极大值概率不等式推广到弱鞅函数的情形下。受到上述文献的启发，文本利用S-弱鞅的一个Chow型极大值概率不等式，得到了关于S-弱鞅,1nSn 的一类Marshall型极大值概率不等式。2.主要结论及其证明主要结论及其证明 引理引理 1 13 若pE X，qE Y (2.1)()()11,01pqpqE XYE XE Yp，有()1max11maxk nkknSk nnPSE S IMES +(2.3)特别地，当0M=时，有()1max11maxk nkknSk nnPSE S IES +引理引理 3 设,1nSn 是一个 S-弱鞅，且对任意1n 有0nES，假定存在1p，使得对所有1n，都有pnE S，有()()()()()()()()()1111qpqqpnnppppE SESp+(2.4)其中1maxk nkS =。证明证明 记YI=，由引理 1 中的(2.1)式和引理 2，可得()()()()()()()11pqpqnnnnnnnnnE YEYE SE YEY SEYEY SE YSEYESE I SEI ESE I SESP=+又因为()()()()()()()()()()()1111qqqqqE YEYEYPPPPPPP=+=+岳丹 等 DOI:10.12677/pm.2023.1310301 2945 理论数学 结论得证。定理定理 1 设,1nSn 是一个 S-弱鞅，且对任意1n，0nES。若存在1p，使得对任意1n，有0pnE S，有()11PN+其中 N 是下面方程的正解()()1,0,qxxx=+(2.5)这里()()q pqpnnESE S=+，111pq+=，1maxk nkS =。证明证明 当()0P =，结论显然成立，下面考虑()0P 的情况。由引理 3 可知()()()()()()()()11qqpqqqpnnPPPPE SESP+两边同除以()qP 可得()()()()()()()()11qqpqpnnqPPPE SESP+令()()01PxP=，()()qnqppnESE S+=，则有()011Px=+。因此 000011qxxxx+即()001qxx+令()()1qh xxx=，易得()h x有唯一正解，设 N 是方程(2.5)的唯一正解，由于当()0,x+时，()()210qhxq qx=，因此对任意()0,xN，有()()()()00h xhh Nh xxNx 由于()00h=且()0h N=，所以对任意()0,xN，有()0h x，使得对任意1n，有0pnE S，有()11PN+其中 N 为下面方程的正解()()1,0,qxxx=+这里()()q pqpnnESE S=+，111pq+=，1maxk nkS =。岳丹 等 DOI:10.12677/pm.2023.1310301 2946 理论数学 证明证明 当 S-弱鞅各项期望都相等时，该序列是一个弱鞅序列，则由文献12中推论 2，结论得证。定理定理 2 设,1nSn 是一个 S-弱鞅，且满足0nES，1n。假定存在一个2p，使得对任意1n，有pnE S，有()()11maxpnkpppk nnnE SPSESE S+这里为()()2111qqh xxxx=+在区间0,1上的极大值。证明证明 显然()h x在区间0,1上有极大值，设此极大值为，因为()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11111111121111111111111qqqqqqqqpppqqqqpqqpqPPPPPPPPPPPPPPPP+=+=+根据(2.5)式()()()()()()11111ppqpqnnPPE SESP+即()()()()()111111ppqpqnnPE SESP+上式两边同时 p 次方()()()()()1pppqnnPE SESP+则()()11maxpnkpppk nnnE SPSESE S+结论得证。基金项目基金项目 国家自然科学基金项目(12261080,62261049)，西北师范大学研究生科研资助项目(2021KYZZ02093)。参考文献参考文献 1 Newman,C.M.and Wright,A.L.(1982)Associated Random Variables and Martingale Inequalities.Zeitschrift Fr Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete,59,361-371.https:/doi.org/10.1007/BF00532227 2 Wang,J.F.(2004)Maximal Inequalities for Associated Random Variables and Demimartingales.Statistics&Proba-bility Letters,66,347-354.https:/doi.org/10.1016/j.spl.2003.10.021 3 胡舒合,杨文志,王学军,沈燕.关于 N-弱鞅和弱鞅不等式的一个注记J.系统科学与数学,2010,30(8):1052-1058.岳丹 等 DOI:10.12677/pm.2023.1310301 2947 理论数学 4 Christofides,T.C.and Hadjikyriakou,M.(2012)Maximal Moment Inequalities for Demimartingales and N-Demi-martingales.Statistics&Probability 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