2-4-3-函数的表示(讲+练)(原卷版).docx

第2.4章 函数的概念与性质
2.4.3 函数的表示

高中要求
1在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法)表示函数；
2 通过具体实例,了解简单的分段函数，并能简单应用；
3 掌握求解函数解析式的方法.

1函数的表示方法
1 表格法

如上表，我们很容易看到y与r之间的函数关系.
在初中刚学画一次函数时，想了解其图像是一直线，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.
(2) 图像法

如上图，很清晰的看到某天空气质量指数I与时间t两个变量之间的关系，特别是其趋势.
数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.
(3) 解析式
比如正方形周长C与边长a间的解析式为C=4a，圆的面积S与半径r的解析式S=πr2等.
求函数解析式的方法
① 配凑法 ② 待定系数法 ③ 换元法 ④ 构造方程组法 ⑤ 代入法
2 分段函数
定义：有些函数在其定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．
Eg f(x)=|x|=&x,   x≥0&−x, x<0，f(x)=(−1)x=&−1, x 为奇数&1,   x为偶数 (x∈N).

【题型1】求函数解析式
【典题1】 已知函数f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1，求f(x)的解析式．

【典题2】若f(x+1)=x+x，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)=x2−x B．f(x)=x2−x(x≥0)
C．f(x)=x2−x(x≥1) D．f(x)=x2+x

变式练习
1.已知函数f(2x+1)=5x−6，且f(t)=9，则t= (　　)
A．7 B．5 C．3 D．4
2.已知函数f(x)为一次函数，且f(3)=7,f(5)=−1，则f(1)=(　　)
A．15 B．−15 C．9 D．−9
3.若函数f(x)对于任意实数x恒有f(x)−2f(−x)=3x−1，则f(x)等于(　　)
A．x+1 B．x﹣1 C．2x+1 D．3x+3
4.已知f(x+1)=x+2x，求f(x+1).

5.已知函数y=x2+x 与y=g(x)与的图像关于(−2,3)对称，求g(x)的解析式.

【题型2】 分段函数
【典题1】 已知函数f(x)=&2x,x<0&−x,0⩽x<2&12x−3,x⩾2．
(1)求f(0),f(f2)；(2)若f(m)=−1，求m的值；(3)作出函数f(x)的图象．

变式练习
1.函数f(x)=x+|x|x的图像是　　
A． B．C．D．
2.已知函数f(x)=x2+1,x≤0−2x,x>0，若f(x)=5，则x的值是(　　)
A．－2 B．2或−52 C．2或－2 D．2或－2或−52
3.设f(x)=&x−2,x⩾10&f[f(x+6)],x<10，则f(5)的值为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
4.已知f(x)=1,x≥0−1,x<0则不等式x+(x+2)f(x+2)≤5的解集是　 　．
5.已知函数f(x)=ax2+2x+1,(−2<x≤0)ax−3,(x>0)与x轴有3个交点，则实数a的取值范围是　 ．

【题型3】 函数的简单应用
【典题1】 如图，将水注入下面四种容器中，注满为止．如果注水量V与水深ℎ的函数关系的图象如图所示，那么容器的形状是　　

变式练习
1.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是　　
A． B． C． D．
2.某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往旅游，他先前进了akm，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm⁡(b<a)，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进．则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为　　

1.某人去上班，先快速走，后中速走．如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是　　

2.如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有(　　)

A．1个　　 　B．2个　 　　C．3个　　 　D．4个
3.已知f(x+2)=x，则有(　　)
A．f(x)=(x−2)2(x≥0) B．f(x)=(x−2)2(x≥2)
C．f(x)=(x+2)2(x≥0) D．f(x)=(x+2)2(x≥2)

4.若xR，f(x)是y=2−x2，y=x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为(　　)
A．2　　　　B．1 C．－1 D．无最大值
5.设函数f(x)=12x−1(x≥0)1x(x<0)，若f(a)=a，则实数a的值为　 　．
6.已知f(x−1)=x2+3x−10，则f(x)=0的解集为 .
7.已知函数f(x)=x2−4,x≤02x,x>0，则不等式f(x)≥4的解集为　 ．
8.设f(x)是一次函数，且f[ f(x) ]=4 x+3，求f(x)的解析式.

9.已知函数f(x)=x2−6x+6 , x≥03x+4 , x<0，若互不相等的实数x1 , x2 , x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3)，求x1+x2+x3的取值范围.

10.已知函数f(x)=&3−x2&(x>0)&2&(x=0)&1−2x&(x<0)．
(1)画出函数f(x)图象；
(2)求f(f(3))，fa2+1(a∈R)的值；
(3)当fx≥2时，求x的取值范围．

11.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本固定成本生产成本)，销售收入R(x)满足R(x)=&−0.4x2+4.2x−0.8(0≤x≤5)&10.2(x>5)，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：
(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？