第01讲-基本立体图形、简单几何体的表面积与体积-(精讲)(原卷版).docx

第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
目录
第一部分：知识点必背 2
第二部分：高考真题回归 6
第三部分：高频考点一遍过 7
高频考点一：基本立体图形 7
高频考点二：立体图形的直观图 8
高频考点三：空间几何体的表面积与体积 10
角度1：表面积和侧面积 10
角度2：体积 10
角度3：蚂蚁爬行最短问题 12
高频考点四：空间几何体的外接球 15
角度1：补形法 15
角度2：对棱相等型 15
角度3：借助三角形外心确定球心 16
高频考点五：空间几何体的内切球 18
第四部分：数学文化题 19

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第一部分：知识点必背
知识点一：空间几何体的结构特征
1、多面体的结构特征
1.1棱柱
（1）棱柱的定义
定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
底面(底)：两个互相平行的面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与底面的公共顶点
（2）棱柱的图形

（3）棱柱的分类及表示
①按棱柱底面边数分类:
②按棱柱侧棱与底面位置关系分类:
③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱
表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱
1.2棱锥
（1）棱锥的定义
定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
底面：多边形面
侧面：有公共顶点的各三角形面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：各侧面的公共顶点
（2）棱锥的图形

（3）棱锥的分类及表示
按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥……
特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥
表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥
1.3棱台
（1）棱台的定义
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台
上底面：原棱锥的截面
下底面：原棱锥的底面
侧面：除上下底面以外的面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
（2）棱台的图形

（3）棱台的分类及表示
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
用各顶点字母表示棱柱，如棱台
2、旋转体的结构特征
2.1圆柱
（1）圆柱的定义
以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体
圆柱的轴：旋转轴
圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边
（2）圆柱的图形
（3）圆柱的表示
圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱
2.2圆锥
（1）圆锥的定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
轴：旋转轴叫做圆锥的轴
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
锥体：棱锥和圆锥统称为锥体
（2）圆锥的图形

（3）圆锥的表示
用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥
2.3圆台
（1）圆台的定义
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台
轴：圆锥的轴
底面：圆锥的底面和截面
侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分
母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分
台体：棱台和圆台统称为台体
（2）圆台的图形

（3）圆台的表示
用表示它的轴的字母表示，如图，圆台
2.4球
球的表面积和体积
（1）球的表面积：
（2）球的体积:
知识点二：直观图
1、空间几何体的直观图的绘制方法
（1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面；
（2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；
（3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；
（4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.
2、斜二测画法保留了原图形中的三个性质
①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．
知识点三：柱、锥、台、球的表面积和体积
几何体
表面积
体积
柱体（棱柱，圆柱）

椎体（棱锥，圆锥）

台体（棱台，圆台）

球

知识点四：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
几何体
圆柱
圆锥
圆台
图示

侧面积公式

常用结论
1.球的截面的性质
(1)球的截面是圆面,且球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;
(2)球心到截面的距离与球的半径及截面的半径的关系为
第二部分：高考真题回归
1．（多选）（2023·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
2．（2023·全国（乙卷文）·统考高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________．
3．（2023·全国（甲卷文）·统考高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________．
4．（2023·全国（甲卷理）·统考高考真题）在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．
5．（2023·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
6．（2023·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．

第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：基本立体图形
典型例题
例题1．（2023春·黑龙江大庆·高一铁人中学校考期中）给出下列说法：
①有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
④一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成7块
其中正确说法的个数是（    ）
A． B． C． D．
例题2．（2023春·山东临沂·高一校考期中）下列说法中，正确的是（    ）
A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥
B．以正方体的顶点为顶点可以构成正四棱锥
C．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
例题3．（2023·江西·统考模拟预测）已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（    ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
例题4．（2023春·高一课时练习）如图，已知正方体中截去一部分，其中，剩下的较大的几何体是什么？

练透核心考点
1．（2023春·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习）下列叙述正确的是（    ）
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
2．（2023春·广东深圳·高一校考期中）从正方体的8个顶点上任取4个顶点，则这4个顶点构成的几何图形不可能是（    ）
A．三个面是直角三角形的正三棱锥
B．有一个面是钝角三角形的四面体
C．每个面都是等边三角形的四面体
D．每个面都是直角三角形的四面体
3．（多选）（2023春·高一课时练习）下列说法正确的是（    ）
A．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
B．以等腰三角形底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥
C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
东莞·高一东莞市东莞中学校考阶段练习）下列命题中正确的是（    ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
B．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥
D．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥

高频考点二：立体图形的直观图
典型例题
例题1．（2023春·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习）如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则是（    ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．以上选项都不对

例题2．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（    ）

A．面积为的矩形 B．面积为的矩形
C．面积为的菱形 D．面积为的菱形
练透核心考点
1．（2023春·高一课时练习）如图是水平放置的三角形ABC的直观图，是中边上的一点，且离比离近，轴，轴，那么线段AB，AD，AC中，最长、最短的线段分别是（    ）

A．AB，AC B．AC，AD C．AD，AC D．AB，AD
2．（2023春·高一课时练习）用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图．

高频考点三：空间几何体的表面积与体积
角度1：表面积和侧面积
典型例题
例题1．（2023·山东烟台·统考三模）已知底面半径为的圆锥，其轴截面为正三角形，若它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积为（    ）
A． B． C． D．
例题2．（2023春·高一课时练习）已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和2，高为1，则圆台的表面积为（    ）
A． B． C． D．
例题3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期中）棱长为1的正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒上，分别将四点两两相连，构成的几何体的表面积为__________．

例题4．（2023春·黑龙江大庆·高一铁人中学校考期中）由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为______.

角度2：体积
典型例题
例题1．（2023春·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习）圆柱的轴截面是周长为12的矩形，则满足条件的圆柱的最大体积为（    ）
A． B． C． D．

例题2．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）某广场内供休闲人员休息的石凳是由一个正方体石块截去8个相同的四面体得到的，如图所示，若被截正方体石块棱长为，则该石凳的体积为（    ）（单位）

A．180000 B．160000 C．140000 D．120000
例题3．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）如图，正方体的棱长为4，点，，分别在棱，，上，且，则以平面截正方体所得截面为底面，为顶点的棱锥的体积为___________.

例题4．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）如图；在直三棱柱中，，，，点为的中点．

(1)求证；
(2)求三棱锥的体积．

角度3：蚂蚁爬行最短问题
典型例题
例题1．（2023春·高一课时练习）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2cm，，分别是两底面的直径，，是母线.若一只小虫从点出发，沿侧面爬行到点处，则小虫爬行的最短距离是（    ）

A． B．2cm C． D．1cm
例题2．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）有一个圆锥形铅锤，其底面直径为，母线长为．是铅锤底面圆周上一点，则关于下列命题：①铅锤的侧面积为；②一只蚂蚁从点出发沿铅锤侧面爬行一周、最终又回到点的最短路径的长度为．其中正确的判断是（    ）

A．①②都正确 B．①正确、②错误
C．①错误、②正确 D．①②都错误
例题3．（2023春·高一单元测试）如图，已知圆柱的高为，底面半径为，轴截面为矩形，在母线上有一点，且，在母线上取一点，使，则圆柱侧面上、两点的最短距离为________．

例题4．（2023·安徽铜陵·统考三模）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为2km，山高为，是山坡上一点，且.现要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为______.

练透核心考点
1．（2023春·全国·高一专题练习）已知等边三角形SAB为圆锥的轴截面，AB为圆锥的底面直径，O，C分别是AB，SB的中点，过OC且与平面SAB垂直的平面记为，若点S到平面的距离为，则该圆锥的侧面积为（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则圆台的体积为（    ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·统考高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（    ）
A．1 B． C．2 D．3
4．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）将边长为1的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为______.
5．（2023·全国·高一专题练习）如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥.则三棱锥的体积是_________.

6．（2023春·高一课时练习）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是______.
7．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校考期中）如图所示，正三棱柱，，，分别为，的中点．

(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．

8．（2023春·高一课时练习）如图是一个圆锥形物体，其母线长为3cm，一只小虫子从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫子爬行的最短路程为，求圆锥底面圆的半径.

9．（2023春·高一课时练习）已知圆锥底面圆的半径为1，高为，要想从底面圆周上一点出发拉一条细绳绕圆锥的侧面一周再回到，求该条细绳的最短长度.

10．（2023春·高一课时练习）如图，圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，从母线AB的中点拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点，求BM间细绳的最短长度.

高频考点四：空间几何体的外接球
角度1：补形法
典型例题
例题1．（湖南省新高考教学教研联盟2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题）很多人的童年都少不了折纸的乐趣，如今传统意义上的手工折纸已经与数学联系在一起，并产生了许多需要缜密论证的折纸问题.有一张矩形纸片，，为的中点，将和分别沿、翻折，使点与点重合于点，若，三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高一专题练习）在矩形中，平面，则与平面所成的角是_____．四棱锥的外接球的表面积为____．

角度2：对棱相等型
典型例题
例题1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）在三棱锥中，，．若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为______．

例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（    ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中，已知，则三棱锥外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．

角度3：借助三角形外心确定球心
典型例题
例题1．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
例题2．（2023春·全国·高一专题练习）某儿童玩具的实物图如图1所示，从中抽象出的几何模型如图2所示，由，，，四条等长的线段组成，其结构特点是能使它任意抛至水平面后，总有一条线段所在的直线竖直向上，则=（    ）

A． B． C． D．
例题3．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中，是边长为6的等边三角形，，三棱锥体积的最大值是__________；当二面角为时，三棱锥外接球的表面积是__________.

练透核心考点
1．（2023春·高一课时练习）正四面体的所有棱长均为12，球O是其外接球，M，N分别是与的重心，求球O截直线MN所得的弦长.

2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知三棱锥中，，若均在半径为2的球面上，求的范围_________．
3．（2023·全国·模拟预测）已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，，，，为球的球面上一动点，则点到平面的最大距离为（    ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）腰长为的等腰的顶角为，且，将绕旋转至的位置得到三棱锥，当三棱锥体积最大时其外接球面积为（    ）

A． B．
C． D．
5．（2023·重庆·统考模拟预测）已知四棱锥的底面四边形是边长为的正方形，且平面，，点M为线段上的动点（不包含端点），则当三棱锥的外接球的体积最小时，的长为_________．

高频考点五：空间几何体的内切球
典型例题
例题1．（广西三新联盟2022-2023学年高二下学期5月期中联考数学试题）已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（    ）

A． B．
C． D．
例题2．（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则（    ）
A．圆台的母线长为4 B．圆台的高为4
C．圆台的表面积为 D．球O的表面积为
例题3．（2023春·高一课时练习）如图，有一个倒圆锥形容器中有部分水，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为的铁球，此时水面与球正好相切，则原来容器中水的深度为______．

练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（    ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）已知圆锥的母线长为6，侧面积为，则下列说法正确的是（    ）
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的内切球的体积为
C．该圆锥的外接球的表面积为 D．该圆锥的内接正方体的棱长为
3．（2023·广东韶关·统考模拟预测）将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为______.
第四部分：数学文化题
1．（多选）（2023·全国·高一专题练习）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，AC⊥BC，且．下列说法正确的是（    ）

A．四棱锥为“阳马”
B．四面体的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为
C．四棱锥体积最大值为
D．四面体为“鳖臑”
2．（多选）（2023·湖南岳阳·湖南省平江县第一中学校考模拟预测）勒洛三角形也被称为定宽曲线，勒洛三角形的立体版就是如图所示的立体图形，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分组成的，因此它能像球一样来回滚动.这种立体图形称为勒洛四面体，若图中勒洛四面体的四个顶点分别为P、A、B、C，任意两个顶点之间的距离为1，则下列说法正确的是（    ）

A．图中所示勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为1
B．图中所示勒洛四面体的内切球的表面积为
C．平面截此勒洛四面体所得截面的面积为
D．图中所示的勒洛四面体的体积是
3．（2023·广东广州·统考三模）我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面的面积都相等，由此得到新几何体与半球的体积相等，即．现将椭圆绕轴旋转一周后得到如图3所示的椭球，类比上述方法，运用祖暅原理可求得该椭球的体积为（    ）

A． B． C． D．
4．（2023·河北·统考模拟预测）柷（zhù），是一种古代打击乐器，迄今已有四千多年的历史，柷的上方形状犹如四方形木斗，上宽下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞击其内壁发声，表示乐曲将开始.如图，某柷（含底座）高，上口正方形边长，下口正方形边长，底座可近似地看作是底面边长比下口边长长，高为的正四棱柱，则该柷（含底座）的侧面积约为（）（    ）

A． B． C． D．

5．（2023·全国·高一专题练习）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱所组成的公共部分为“牟合方盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为，若“牟合方盖”的体积为，则正方体的体积为______，正方体的外接球的表面积为______.

6．（2023·全国·高一专题练习）古希腊伟大的数学家阿基米德（公元前287~公元前212）出生于叙拉古城，在其辉煌的职业生涯中，最令他引以为傲的是记录在《论球和圆柱》中提到的：假设一个圆柱外切于一个球，则圆柱的体积和表面积都等于球的一倍半（即）.现有球与圆柱的侧面与上下底面均相切（如图），若圆柱又是球的内接圆柱，设球，圆柱的表面积分别为，体积分别为，则_________；_________.