2-3-1-两条直线的交点坐标(导学案)-(原卷版).docx

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2.3.1 两条直线的交点坐标
导学案
地 位：
本节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）
第二章 直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
学习目标：
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标,提升数学运算的核心素养.
2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系,培养逻辑推理的核心素养.
学习重难点：
重点：能用解方程组的方法求两直线的交点坐标
难点：会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系

自主预习：
1. 本节所处教材的第 页.
2. 复习——
①　 直线的平行：
②　 直线的垂直：
3. 预习——
交点坐标的求法：

两条直线位置关系的判断：

新课导学

学习探究
（一）新知导入
在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题等。

（二）直线的交点坐标
【探究1】直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的解有什么样的关系？
【探究2】已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？
【探究3】由两条直线方程联立解方程组，若方程组有唯一解，说明两条直线是什么位置关系？若无解或无数组解呢？

◆直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示.
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1和l2公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1和l2的位置关系
相交
重合
平行

【做一做1】 (教材P71例2改编)直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为(　　)
A．(－1,1)　　　　　　　 B．(1，－1)
C．(1,1) D．(－1，－1)
【做一做2】(教材P72练习3改编) 经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线方程为(　　)
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0

1.直线的交点问题
例1.分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.

【类题通法】将两条直线的方程联立，若方程组有唯一解，说明两直线相交；若方程组无解，说明两直线没有公共点即两直线平行；若方程组有无数个解，说明两直线重合．
【巩固练习1】 已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是　　　　　. 

2.直线系方程的应用
例2.　经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为________．

【类题通法】1.常见的四大直线系方程
(1)过定点P(x0，y0)的直线系A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)，还可以表示为y－y0＝k(x－x0)(斜率不存在时可视为x＝x0)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(3)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．
(4)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．应用直线系的关注点
利用平行直线系或垂直直线系求直线方程时，一定要注意系数及符号的变化规律．
【巩固练习2】经过2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点，且与x＋2y＝0垂直的直线方程为_________．

3.直线恒过定点问题
【例3】求证不论m取何实数，直线(3m＋1)x－(2m－1)y＋3m－1＝0都过一个定点，并求这个定点的坐标．

【类题通法】形如A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)的直线，由于λ取任意实数，所以代表无数条直线，且所有的直线恒过一个定点，只要取出λ的任意两个值，得到两条直线的交点坐标即为定点坐标。

【巩固练习3】无论m为何值，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0恒过一定点P，则点P的坐标为_________．

（四）操作演练 素养提升
1.斜率为2，且过直线和直线交点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．

2.当0＜k＜时，直线l1：kx－y－k＋1＝0与直线l2：ky－x－2k＝0的交点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3.（多选题）已知三条直线x－2y＝1，2x＋ky＝3，3kx＋4y＝5相交于一点，则k的值为（ ）
A．－ B．－1 C．1 D．

4.不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点，则此定点坐标为________．

课堂小结
1. 通过这节课，你学到了什么知识？

2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？

学习评价
【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差

【导学案评价】 本节导学案难度如何（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差

【建议】 你对本节导学案的建议：

课后作业

完成教材：第72页 练习 第1，2，3题
第79页 习题2.3 第1,2,3,9,10题