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第02讲 图形的旋转
【题型1 生活中的旋转现象】
【题型2 利用旋转的性质求角度】
【题型3利用旋转的性质求线段长度】
【题型4 旋转对称图形】
【题型5作图-旋转变换】
考点1：旋转的概念
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点.
注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。
（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。
（3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。
【题型1 生活中的旋转现象】
【典例1】（2023秋•扶余市期末）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．属于旋转的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-1】（2023秋•秀屿区校级期中）下列属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了10米 B．传送带传送货物
C．电梯从1楼到10楼 D．小萌在荡秋千
【变式1-2】（2022秋•安次区校级期中）按图中所示的排列规律，在空格中应填（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022秋•利川市期末）下面A、B、C、D四个图形中的哪个图案可以通过旋转图案①得到（ ）
A．B．C．D．
考点2 ：旋转的性质
旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
（3）旋转前、后的图形全等。
注意 ：
（1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键.
（2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础.
（3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。
【题型2 利用旋转的性质求角度】
【典例2】（2023秋•哈密市期末）如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，若∠C＝50°，∠B＝90°，∠CAD＝10°，则旋转角的度数为（ ）
A．80° B．50° C．40° D．10°
【变式2-1】（2023秋•江北区期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，若∠C′＝45°，且AB′⊥BC于点E，则∠BAC的度数为（ ）
A．60° B．75° C．45° D．50°
【变式2-2】（2023秋•巴南区期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝30°，则∠ADC的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【变式2-3】（2023秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AED的位置，点E与B对应，且CD∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．70° D．110°
【题型3利用旋转的性质求线段长度】
【典例3】（2023秋•武威期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使点C的对应点E恰好落在AB上，求线段AE的长．
【变式3-1】（2023秋•防城区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
【变式3-2】（2023秋•德宏州期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AB＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，连接CC'，则CC'的长为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【变式3-3】（2023秋•浦北县期末）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（ ）
A． B．6 C． D．
【变式3-4】（2023秋•柳州期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长度为 ．
考点3：旋转作图
（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.
【题型4 旋转对称图形】
【典例4】（2023秋•宣化区期末）香港特别行政区的区徽中间紫金花图案如图所示，则至少需要旋转（ ）和原图案重合．
A．72° B．60° C．36° D．18°
【变式4-1】（2023秋•廉江市期末）国旗上的每个五角星经过旋转后能与自身重合，则至少需要旋转的度数为（ ）
A．360° B．72° C．60° D．45°
【变式4-2】（2022秋•滦南县期末）如图，该图形绕着点O旋转能与自身重合，则旋转角最小为（ ）
A．36° B．60° C．72° D．90°
【变式4-3】（2022秋•昭化区期末）下列各图形分别绕某个点旋转120°后不能与自身重合的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型5作图-旋转变换】
【典例5】、（2023秋•西宁期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）．
（1）作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的△A2B2C；
（3）点B的对应点B2的坐标为 ．
【变式5-1】（2023秋•忠县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，3），C（1，0）．
（1）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°为△A1B1C1，写出点A1、B1、C1的坐标，并在图中作出△A1B1C1；
（2）求△A1B1C1的面积．
【变式5-2】（2023秋•凉州区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，0），C（5，1）．
（1）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，其中A，B，C分别和A1，B1，C1对应，作出△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2，并写出△A2B2C2三个顶点的坐标；
（3）请求出△A2B2C2的面积．
【变式5-3】（2023秋•任城区期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，建立平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，0），B（2，4），C（4，2）．
（1）把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2，并直接写出对应点连线段BB2的长度 ．
．选择题（共10小题）
1．（2023秋•嵩明县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝26°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转80°，得到△AB′C′，则∠BAC′的度数为（ ）
A．44° B．46° C．54° D．80°
2．（2023秋•綦江区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，此时点B的对应点D恰好落在BC边上，则CD的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
3．（2023秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AED的位置，点E与B对应，且CD∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．70° D．110°
4．（2023秋•邯郸期末）下列运动属于旋转的是（ ）
A．足球在草地上滚动
B．火箭升空的运动
C．汽车在急刹车时向前滑行
D．钟表的钟摆的摆动
5．（2023春•杞县期末）如图，在新型俄罗斯方块游戏中（出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转；向左、向右平移），已拼好的图案如图所示，现又出现一个形如的方块正向下运动，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整的图形（ ）
A．顺时针旋转90°，向右平移
B．逆时针旋转90°，向右平移
C．顺时针旋转90°，向左平移
D．逆时针旋转90°，向左平移
6．（2023秋•新宾县期末）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C，点B'恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
7．（2023春•大东区期末）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ）
A．15° B．65° C．90° D．115°
8．（2023秋•黔东南州期中）如右图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，∠B＝60°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若点B的对应点B'；恰好落在线段BC上，则线段CC'的长为（ ）
A． B． C．3 D．
9．（2022秋•襄州区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝22°，则∠B的大小是（ ）
A．63° B．67° C．68° D．77°
10．（2022秋•东方期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝6，则BE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共5小题）
11．（2023秋•浑江区期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，此时BC∥B′A′，则∠B的度数为 ．
12．（2023秋•沙河口区期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C'，此时点B'恰在边AC上，若AB＝2，AC'＝5，则B'C的长为 ．
13．（2023秋•商洛期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，且，则△ACD的面积为 ．
14．（2023秋•斗门区期末）把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为 度时，旋转后的五角星能与自身重合．
15．（2023秋•灵宝市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2023秋•宁江区期末）如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形．
（1）画出将Rt△ABC向右平移5个单位长度后的Rt△A1B1C1；
（2）再将Rt△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°，画出旋转后的Rt△A2B2C1．
17．（2023秋•东丰县期末）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是线段BC上的一点，CD＝4，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，连接CE．求CE的长．
18．（2023秋•黄埔区期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB＝20°，求∠CAE及∠B的度数．
19．（2023秋•岚皋县期中）如图，P是等边△ABC内的一点，PA＝5，PB＝3，PC＝4，将线段PB绕点B逆时针方向旋转60°得到线段BP′，连接CP′，PP′．
（1）判断△PBP′的形状，并说明理由．
（2）求∠BPC的度数．
20．（2023秋•海珠区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE，DE．
（1）求证：∠BCD＝∠ACE；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，求DE的长．
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