第07讲-第一章-集合与常用逻辑用语、不等式、复数(综合测试)(解析版).docx

第07讲 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数（综合测试）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）设复数（其中i为虚数单位），则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】方法一：，所以
方法二：由复数的性质可知
故选：A
2．（2023秋·福建漳州·高一统考期末）已知集合则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为,所以，
故选:A.
3．（2023秋·重庆·高一校联考期末）函数的定义域为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解:由题知,
则有成立,解得.
故选:B
4．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，
易知图中阴影部分对应的集合为且，选项D正确，
故选：D
5．（2022秋·新疆·高一乌鲁木齐市第70中校考期中）已知，且，若有解，则实数的取值范围时（    ）
A．，， B．，，
C． D．，
【答案】A
【详解】因为、，且，
，
当且仅当且，即时取等号，此时取得最小值9，
若有解，则，解得或，
即实数的取值范围为，，．
故选：．
6．（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）已知复数，则复数z的虚部是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，故虚部为 ，
故选：A
7．（2022·全国·高一期末）不等式的解集为，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】关于的不等式的解集为.
当时，即当时，则有恒成立，符合题意；
②当时，则有，
解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）对于集合A，B，我们把集合记作．例如，，，，则，．现已知，集合A，B是M的子集，若，，则内元素最多有（    ）个
A．20个 B．25个 C．50个 D．75个
【答案】B
【详解】设集合A中元素个数为m，集合B中元素个数为n，A，B是M的子集，
若，，即，则．
所以．当且仅当时取等号
即内元素最多有25个，
故选：B.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023秋·青海西宁·高一统考期末）若“”为真命题，“”为假命题，则集合M可以是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】由题意为真命题，为真命题，则应满足选项为集合的子集，且满足，AD选项均满足，B选项当时不符合，故错误，C选项不存在，故错误.
故选：AD
10．（2023·福建漳州·统考二模）已知复数z满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】， ，
，，，
故选：BD
11．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（    ）
A．的最大值是1 B．的最小值是4
C．的最大值是 D．的最小值是1
【答案】AC
【详解】正数x，y满足.
对于A：，所以.（当且仅当时“=”成立）.
所以的最大值是1.故A正确；
对于B：因为，所以，所以，所以（当且仅当时“=”成立）.故B错误；
对于C：因为正数x，y满足，所以，其中，
所以，
所以当时，的最大值是.故C正确；
对于D：因为正数x，y满足，所以，
所以（当且仅当，即时“=”成立）.故D错误.
故选：AC
12．（2022秋·浙江温州·高一瓯海中学校考阶段练习）设表示不超过的最大整数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（    ）
A．，
B．，若，则
C．，
D．不等式的解集为或
【答案】BCD
【详解】对于A，，则，故，故A不成立.
对于B，，则，
故，所以，故B成立.
对于C，设，其中，
则，，
若，则，，故；
若，则，，故，故C成立.
对于D，由不等式可得或，
故或，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023秋·云南大理·高一统考期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为______.
【答案】
【详解】解不等式得，
因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得，
所以，.
故答案为：.
14．（2023秋·浙江衢州·高二浙江省龙游中学校联考期末）德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图像表示法，形成由各点都对应复数的“复平面”，后来又称“阿甘得平面”.高斯在1831年，用实数组代表复数，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样的“代数化”.若复数满足，则复数的模是______________.
【答案】
【详解】，，
则其模为，
故答案为：.
15．（2023秋·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）定义：实数a，b，c，若满足，则称a，b，c是等差的，若满足，则称a，b，c是调和的．已知集合，集合P是集合M的三元子集，即，若集合P中的元素a，b，c既是等差的，又是调和的，称集合P为“好集”，则集合P为“好集”的个数是__________．
【答案】1010
【详解】由好集的定义得且，则有，化简得，故或，
由得，故，，∴，且.
∵，∴且，得，
故集合P为“好集”的个数为.
故答案为：1010
16．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若，且，则的最小值为___________，的最大值为___________．
【答案】     25     ##0.0625
【详解】①由，可知，，
所以，
所以

，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为25．
②又，当且仅当时，等号成立，
所以，
故的最大值为．
故答案为：25；
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2023·高一单元测试）已知复数，i为虚数单位．
(1)当z是纯虚数时，求m的值；
(2)当时，求z的模．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）由z是纯虚数，有，
解得；
（2）当时，，
所以.
18．（2023秋·四川成都·高一统考期末）设集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）集合，集合，则或，故 或.
（2）因为，所以，解得.
19．（2023秋·山东临沂·高一统考期末）已知二次函数（为常数），若不等式的解集为且.
(1)求；
(2)对于任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由的解集为且，
知为方程的两实数根，故，
解得，
所以.
（2）由（1）知，
则由，恒成立，得恒成立，
由题意得
解得，所以k的取值范围为.
20．（2023秋·福建南平·高一统考期末）已知集合.
(1)求集合；
(2)若集合，且，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，，
(2)
【详解】（1）等价于，解得，故集合.
等价于，解得，故集合.
所以.
（2）由（1）可得集合，集合，所以.
于是，由，且得，解得，
即实数a的取值范围是.
21．（2023秋·河北唐山·高一统考期末）某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为2000万元，每生产百台，需另投入生产成本万元．当年产量不足46百台时，；当年产量不小于46百台时，．若每台设备售价5万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完．
(1)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；
(2)这批新型机器年产量为多少百台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)年产量为40百台时，该企业所获利润最大,最大利润是2800万元.
【详解】（1）由题意可得∶当时，，
当时,
所以年利润y（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式为：
.
（2）由（1）得时，，
此时（百台）时，（万元），
当时， ，
当且仅当，即时等号成立，（万元），
而，故（百台）时，利润最大，
综上所述：年产量为40百台时，该企业所获利润最大,最大利润是2800万元.
22．（2023·高一课时练习）已知二次函数的图象与轴交于，两点，顶点为，在中，边上的高为，且．
(1)求的值；
(2)若对任意，总存在，使不等式成立，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）令，得或，所以．
因为，所以．
由，得，得或，
又，所以．
（2）由（1）得，得，得．
因为对任意，总存在，使不等式成立，
所以，所以关于的不等式在上恒成立．
令，图象的对称轴为直线．
当，即时，，得，所以．
当，即时，，所以.
综上所述，的取值范围为．