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函数值域求法十一种

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数的值域。
解：∵
∴
显然函数的值域是：

例2. 求函数的值域。
解：∵

故函数的值域是：

2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数的值域。
解：将函数配方得：
∵
由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，
故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法
例4. 求函数的值域。
解：原函数化为关于x的一元二次方程

（1）当时，

解得：
（2）当y=1时，，而
故函数的值域为

例5. 求函数的值域。
解：两边平方整理得：（1）
∵
∴
解得：
但此时的函数的定义域由，得
由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵

代入方程（1）
解得：
即当时，
原函数的值域为：
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6. 求函数值域。
解：由原函数式可得：
则其反函数为：，其定义域为：
故所求函数的值域为：

5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数的值域。
解：由原函数式可得：
∵
∴
解得：
故所求函数的值域为

例8. 求函数的值域。
解：由原函数式可得：，可化为：

即
∵
∴
即
解得：
故函数的值域为

6. 函数单调性法
例9. 求函数的值域。
解：令
则在[2，10]上都是增函数
所以在[2，10]上是增函数
当x=2时，
当x=10时，
故所求函数的值域为：

例10. 求函数的值域。
解：原函数可化为：
令，显然在上为无上界的增函数
所以，在上也为无上界的增函数
所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值
显然，故原函数的值域为

7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数的值域。
解：令，
则
∵
又，由二次函数的性质可知
当时，
当时，
故函数的值域为

例12. 求函数的值域。
解：因
即
故可令
∴

∵

故所求函数的值域为

例13. 求函数的值域。
解：原函数可变形为：
可令，则有

当时，
当时，
而此时有意义。
故所求函数的值域为

例14. 求函数，的值域。
解：

令，则

由
且
可得：
∴当时，，当时，
故所求函数的值域为。

例15. 求函数的值域。
解：由，可得
故可令

∵

当时，
当时，
故所求函数的值域为：

8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例16. 求函数的值域。

解：原函数可化简得：
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。
由上图可知，当点P在线段AB上时，
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
故所求函数的值域为：

例17. 求函数的值域。
解：原函数可变形为：

上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，
故所求函数的值域为

例18. 求函数的值域。
解：将函数变形为：
上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。
即：
由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有
即：
（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有
综上所述，可知函数的值域为：

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。
如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），，在x轴的同侧。

9. 不等式法
利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19. 求函数的值域。
解：原函数变形为：

当且仅当
即当时，等号成立
故原函数的值域为：

例20. 求函数的值域。
解：

当且仅当，即当时，等号成立。
由可得：
故原函数的值域为：

10. 一一映射法
原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。
例21. 求函数的值域。
解：∵定义域为
由得
故或
解得
故函数的值域为

11. 多种方法综合运用
例22. 求函数的值域。
解：令，则
（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法

例23. 求函数的值域。
解：

令，则

∴当时，
当时，
此时都存在，故函数的值域为
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。