2018中考数学专题训练--函数综合题(人教版).doc

中考数学专题训练（函数综合）
y
x
O
C
B
A
1．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其中点的横坐标为1，又一次函数的图像与轴交于点.
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点的坐标.

2．已知一次函数y=（1-2x）m+x+3图像不经过第四象限，且函数值y随自变量x的减小而减小。
（1）求m的取值范围；
（2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是4.5 ，求这个一次函数的解析式。
图2
O
y
x
1
2
-1
1
-1
2

y
O
B
C
D
x
A

3. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，已知点A的坐标为（2，2），
点B、C在轴上，BC=8，AB=AC，直线AC与轴相交于点D．
（1）求点C、D的坐标；
（2）求图象经过B、D、A三点的二次函数解析式及它的顶点坐标．

y
x
D
C
A
O
B

（图四）
4．如图四，已知二次函数的图像与轴交于点，点，
与轴交于点，其顶点为，直线的函数关系式为，
又．
（1）求二次函数的解析式和直线的函数关系式；
（2）求的面积．

A
O
x
y
5．已知在直角坐标系中，点A的坐标是（-3，1），将线段OA绕着点O顺时针旋转90°得到OB.
(1)求点B的坐标； (2)求过A、B、O三点的抛物线的解析式；
(3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为C，求△ABC的面积。

6．如图，双曲线在第一象限的一支上有一点C（1，5），过点C的直线与x 轴交于点A（a，0）、与y轴交于点B.
(1)求点A的横坐标a与k之间的函数关系式；
(2)当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D的横坐标是9时，求△COD的面积.

A
O
C
B
D
x
y
第6题

x
y
Ox
图7
7．在直角坐标系中，把点A（－1，a）（a为常数）向右平移4个单位得到点，经过点A、的抛物线与轴的交点的纵坐标为2．
（1）求这条抛物线的解析式； （2）设该抛物线的顶点为点P，点B的坐标
为，且，若△ABP是等腰三角形，求点B的坐标。

8．在直角坐标平面内，为原点，二次函数的图像经过A（-1，0）和点B（0，3），顶点为P。
（1） 求二次函数的解析式及点P的坐标；
（2） 如果点Q是x轴上一点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标。

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）过点A作轴的平行线交抛物线于另一点C，
①求△ABC的面积；②在轴上取一点P，使△ABP与△ABC相似，求满足条件的所有P点坐标．
1
2
3
4
5
6
7
0
-1·1
-2·1
-3·1
-4·1
x
y
1
2
3
4
5
6
-1·1
-2·1
-3·1
-4·1
A
B
图8

10．在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向上平移1个单位，再沿轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线与平移后的抛物线相交于B，与直线OA相交于C．
（1）求△ABC面积；
（2）点P在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP与△ABC相似，求所有满足条件的P点坐标．

11．如图，直线OA与反比例函数的图像交于点A(3，3)，向下平移直线OA，与反比例函数的图像交于点B(6，m)与y轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式； （2）求经过A、B、C三点的二次函数的解析式；
O
A
B
C
y
x
（3）设经过A、B、C三点的二次函数图像的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E．问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

12．二次函数图像过A（2，1）B（0，1）和C（1，-1）三点。
（1）求该二次函数的解析式； （2）该二次函数图像向下平移4个单位，向左平移2个单位后，原二次函数图像上的A、B两点相应平移到A1、B1处，求∠BB1A1的余弦值。

13．如图，在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、B两点，过点A作CA⊥AB，CA＝,并且作CD⊥轴. (1) 求证:△ADC∽△BOA (2) 若抛物线经过B、C两点.
①求抛物线的解析式； ②该抛物线的顶点为P，M是坐标轴上的一个点，若直线PM与y轴的夹角为30°，请直接写出点M的坐标.

14．如图，已知二次函数y=ax2-2ax+3（a<0）的图像与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图像经过点A、点B．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求顶点P的坐标；
B
AB
O
x
y
P
（第15题图）

（3）平移直线AB使其过点P，如果点M在平移后的直线上，且tan∠OAM=，求点M的坐标．

15．如图16，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的—个动点，但是点P不与点0、点A重合．连结CP， D点是线段AB上一点，连结PD.
(1)求点B的坐标；
（图16）
(2)当∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标.

16. 如图，二次函数的图像经过点，且与轴交于点.
（1）试求此二次函数的解析式；
（2）试证明：（其中是原点）；
（3）若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图像及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，边在轴的正半轴上，且，矩形绕点逆时针旋转后得到矩形，且点落在轴上的点，点的对应点为点，点的对应点为点.
(1)求、、三点的坐标；
（2）若抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式；
A
B
C
D
E
F
x
y
O

（3）在轴上方的抛物线上求点Q的坐标，使得三角形的面积等于矩形的面积？

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A、C的坐标分别为（2，0）、（1，）.
将△AOC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线经过点A，点D是该抛物线的顶点.
（1）求证：四边形ABCO是平行四边形；
（2）求a的值并说明点B在抛物线上；
（3）若点P是线段OA上一点，且∠APD=∠OAB，求点P的坐标；
B
C
D

A
x
y
O
(4) 若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，写出点P的坐标.

19．已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A的坐标，C的坐标，直线与边BC相交于点D，(1)求点D的坐标；(2)抛物线经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点，使、、、为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由。

A
B
C
D

20．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A和点B．二次函数的图象经过点B和点C（-1，0），顶点为P.
（1）求这个二次函数的解析式，并求出P点坐标；
O
C
B
A
y
x

（2）若点D在二次函数图象的对称轴上，且AD∥BP，求PD的长；

参考答案
1、 解：（1）由点在反比例函数图像上，则，—（1分）
又点与在一次函数图像上， 则，—（2分）解得. （1分）
∴一次函数解析式为.——（1分）
（2）由,———（2分） 消元得,—（1分）
解得（舍去）,——（1分） ∴点的坐标是.——（1分）

2． 解：（1）∵一次函数y=（1-2x）m+x+3 即y=（1-2m）x+m+3 图像不经过第四象限
且函数值y随自变量x的减小而减小 ∴ 1-2m>0 ， m+3≥0, (2分）
∴ ………（2分）

根据题意，得：函数图像与y轴的交点为（0，m+3）， 与x轴的交点为 …（1分）

则 ………（1分） 解得m=0 或 m=-24（舍） …（1分）

∴一次函数解析式为：y=x+3……（1分）
y
O
B
C
D
x
A
第3题
E

3．解：（1）过点A作AE⊥x轴，垂足为点E．……1′
∵点A的坐标为（2，2）， ∴点E的坐标为（2，0）．…1′
∵AB=AC，BC=8， ∴BE=CE， ………1′ 点B的坐标为（-2，0），……1′
点C的坐标为（6，0）．…1′
设直线AC的解析式为：（）， 将点A、C的坐标代入解析式，
得到： ．…1′ ∴点D的坐标为（0，3）． ……1′
（3） 设二次函数解析式为：（），
∵ 图象经过B、D、A三点， ∴…2′ 解得：……1′
∴此二次函数解析式为：……1′ 顶点坐标为（，）． …………1′
4．解：(1) ，∴OB=OC=3, ∴B（3,0） ………（2分）
将B（3,0）代入 ，∴ ……（1分）
∴；∴…（1分） ∴D(1,4)，A(-1,0) …（2分）
y
x
D
C
A
O
B

（图八）
将D(1,4)代入，∴， ……………（2分）
(2) …………………（4分）

5．解：（1）过点A作AH⊥x轴，过点B作BM⊥y轴，
由题意得OA=OB,∠AOH=∠BOM, ∴△AOH≌△BOM-------------1分
∵A的坐标是（-3，1）， ∴AH=BM=1,OH=OM=3 ∴B点坐标为（1，3）---------2分
（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
则--------3分 得 ∴抛物线的解析式为-----2分
A
O
C
B
D
x
y
第23题
（3）对称轴为-------1分 ∴C的坐标为()--------1分
∴ --------------2分

6．解：（1）∵点C（1，5）在直线上，
∴， ∴，…1′ ∴.…1′
∵点A（a，0）在直线上， ∴.…1′ ∴.………1′
（2）∵直线与双曲线在第一象限的另一交点D的横坐标是9， 设点D（9，y），………1′
∴. ∴点D（9，）.……1′ 代入， 可解得：，………1′
. ………1′ 可得：点A（10，0），点B（0，）. ………2′
∴ = …1′
= = = = . ……1′

7．解：（1）设抛物线的解析式为
点A（－1，a）（a为常数）向右平移4个单位得到点 （3，a）…………（1分）
∵抛物线与轴的交点的纵坐标为2 ∴…………（1分）
∵ 图像经过点A（－1，a）、（3，a） ∴…（1分） 解得 ……（2分）
∴…………………（1分）
（2）由= 得P(1，3) ……………（1分）
∵△ABP是等腰三角形,点B的坐标为,且
（Ⅰ）当AP=PB时， ，即 …（1分） ∴……（1分）
（Ⅱ）当AP=AB时
解得……（1分） 不合题意舍去， ∴………（1分）
（Ⅲ）当PB=AB时 解得 ………（1分）
综上：当或-5或时，△ABP是等腰三角形.
8．解：（1） 由题意，得 （2分） 解得， （1分）
∴二次函数的解析式是 （1分）
， ∴点P的坐标是（1，4） （2分）
（2） P（1，4），A（-1，0）∴=20．（1分） 设点Q的坐标是（x，0） ∠PAQ=90°不合题意

则， （1分）
当∠AQP=90°时，，，解得，（舍去）
∴点Q的坐标是（1，0） （2分）
当∠APQ=90°时，，，解得，
∴点Q的坐标是（9，0） （2分）
综上所述，所求点的坐标是（1，0）或（9，0）．
9．解：（1）将，，代入， 解得，． …………2分
∴抛物线的解析式为．………1分 ∴顶点坐标为．……1分
（2）①由对称性得．……1分 ∴．…1分
②将直线AC与轴交点记作D， ∵，∠CDB为公共角，
∴△ABD∽△BCD． ∴∠ABD =∠BCD．………1分
1°当∠PAB=∠ABC时，，
∵，，
∴，∴． …………2分
2°当∠PAB=∠BAC时，， ∴， ∴， ∴．……2分
综上所述满足条件的点有，． …………1分

10．解：平移后抛物线的解析式为．……2分 ∴A点坐标为（2，1），……1分
设直线OA解析式为，将A（2，1）代入 得，直线OA解析式为，
将代入得，∴C点坐标为（3，）．…………1分
将代入得， ∴B点坐标为（3，3）．…1分 ∴…2分
（2）∵PA∥BC，∴∠PAB=∠ABC
1°当∠PBA=∠BAC时，PB∥AC，
∴四边形PACB是平行四边形，∴．…1分 ∴． …1分
x
y
0
A
B
C
P
2°当∠APB=∠BAC时， ，∴．
又∵，∴…1分 ∴…1分
综上所述满足条件的点有，．…………1分

11．解：（1）由直线OA与反比例函数的图像交于点A(3，3)，得直线OA为：，
双曲线为：，点B(6，m)代入 得 ，点B(6，) ， ……（1分）
设直线BC的解析式为 ，由直线BC经过点B，将，代入
得 …（1分） 所以，直线BC的解析式为… （1分）
(2)由直线得点C(0，)， 设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为
将A、B两点的坐标代入，得 … （1分）解得 （1分）
所以，抛物线的解析式为 ………（1分）
（3）存在 把配方得， 所以得点D(4，)，
对称轴为直线 …（1分） 得对称轴与轴交点的坐标为E(4，0). ………（1分）
由BD=，BC=，CD=,得， 所以，∠DBC= ……（1分）
又∠PEO=，若以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似，则有：
① 即 得，有(4，) ，(4，)
② 即 得， 有(4，12) ，(4，). …（3分）
所以，点P的坐标为 (4，) ， (4，)， (4，12) ， (4，).

12．（1）设y=ax2+bx+c … 1’，代入A、B、C坐标得 解得
得 … 1’
（2）BB1= … 1’ cos∠BB1A1= … 3’

13．(1) ∵CD⊥AB ∴∠BAC＝90° ∴∠BAO＋∠CAD＝90°………（1分）
∵CD⊥x轴 ∴∠CDA＝90° ∴∠C＋∠CAD＝90°……（1分）∴∠C＝∠BAO……（1分）
又∵∠CDO＝∠AOB＝90° ∴△ADC∽△BOA…………（1分）
(2)①由题意得，A(－8，0)，B(0，4) …（1分） ∴OA＝8，OB＝4，AB＝……（1分）
∵△ADC∽△BOA，CA＝ ∴AD＝2，CD＝4 ∴C(－10，4) ……（1分）
将B(0，4)，C(－10，4)代入
∴ ∴………（1分）
③ M(0，)，M(0，) M(,0)，M(,0) ……（4分）

14．解：（1） y=ax2-2ax+3， 当时, ∴……… (1分) ∴，
又OB=3OA， ∴ ∴ ………（2分）
设直线AB的解析式 ， 解得 ，
∴直线AB的解析式为．……… (1分)
（2）， ∴，∴ ∴…(2分)
∴抛物线顶点P的坐标为（1，4）．………… (1分)
（3）设平移后的直线解析式 点P在此直线上，∴，
∴平移后的直线解析式………… (1分)
设点M的坐标为，作ME轴-
若点M在轴上方时， ，
在Rt△AME中，由，∴ ……(1分) ∴……(1分)
若点M在轴下方时， ，
在Rt△AME中，由，∴ ∴…… (1分)
综上所述： M的坐标是或……（1分）

15．解：（1）作BQ⊥x轴于Q. ∵四边形OABC是等腰梯形， ∴∠BAQ=∠COA=60°
在Rt△BQA中，BA=4， BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°=…（1分）
AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2，……（1分） ∴OQ=OA－AQ=7－2=5
点B在第一象限内，∴点B的坐标为（5，）……(1分)
（2）∵∠CPA=∠OCP+∠COP 即∠CPD+∠DPA=∠COP+∠OCP
而∠CPD=∠OAB=∠COP=60° ∴∠OCP=∠APD……（1分）
∵∠COP=∠PAD……（1分）∴△OCP∽△APD ……（1分） ∴，
∴OP·AP=OC·AD ……(1分) ∵ ∴BD=AB=，AD=AB－BD=4－=
∵AP=OA－OP=7－OP ∴OP（7－OP）=4× …（1分） 解得OP=1或6
∴点P坐标为（1，0）或（6，0）…………（2分）

16、解：（1）∵点与在二次函数图像上，∴， 解得，
∴二次函数解析式为.————（2+1+1分）
（2）过作轴于点，由（1）得，———（1分）
则在中，，
又在中，，———（1分）
∵，—（1分） ∴.———（1分）
（3）由与，可得直线的解析式为，—（1分）
设， 则，
∴. ∴.——（1分）
当， 解得 （舍去），∴.———（1分）
当，解得 （舍去），∴.———（1分）
综上所述，存在满足条件的点，它们是与.

17．解：（1）联结,矩形 ---------------（1分）
矩形绕点逆时针旋转后得到矩形,落在轴上的点
----------------(1分)
过D点作DH⊥X轴于H，， ∽

----------------(1分)
同理求得-------------(1分)
（2）因为抛物线经过点、、
求得：--（3分） 所求抛物线为：-（1分）
（3）因为在轴上方的抛物线上有点Q，使得三角形的面积等于矩形的面积
设三角形的OB边上的高为，则，所以--------------（1分）
因为点Q在轴上方的抛物线上, ------（1分）
所以Q的坐标是或------------------（2分）

18．（1）证明：∵△AOC绕AC的中点旋转180°， 点O落到点B的位置，
∴△ACO≌△CAB. ………1′ ∴AO=CB，CO=AB，……1′
∴四边形ABCO是平行四边形. …………1′
（2）解：∵抛物线经过点A， 点A的坐标为（2，0），……1′
∴，解得：. …1′ ∴.
∵四边形ABCO是平行四边形， ∴OA∥CB.
∵点C的坐标为（1，），…………1′ ∴点B的坐标为（3，3）. ………1′
把代入此函数解析式，得： .
∴点B的坐标满足此函数解析式，点B在此抛物线上. …1′ ∴顶点D的坐标为（1，-）. …1′
（3）联接BO，B
C
D
第25题
A
x
y
O
E
F
过点B作BE⊥x轴于点E， 过点D作DF⊥x轴于点F .
tan∠BOE=，tan∠DAF=， ∴tan∠BOE=tan∠DAF . ∴∠BOE=∠DAF . …1′
∵∠APD=∠OAB， ∴△APD∽△OAB. ……1′
设点P的坐标为（x，0）， ∴， ∴，解得：………1′
∴点P的坐标为（，0）.
（4），，………2′19．解：（1）D在BC上，BC∥轴，C ∴设D（，-2）---------（1分）
D在直线上 ∴------（2分） ∴D（3，-2）-----（1分）
（2）抛物线经过点A、D、O
∴ 解得：------（3分）所求的二次函数解析式为----（1分）
（3）假设存在点，使、、、为顶点的四边形是梯形
①若以OA为底，BC∥轴，抛物线是轴对称图形 ∴点的坐标为（）--------（1分）
②若以OD为底，过点A作OD的平行线交抛物线为点M
直线OD为 ∴直线AM为 ∴
解得：（舍去） ∴点的坐标为（）----------（2分）
③ 若以AD为底，过点O作AD的平行线交抛物线为点M
直线AD为 ∴直线OM为 ∴
解得：（舍去） ∴点的坐标为（）-----------（1分）
∴综上所述，当点的坐标为（）、（）、（）时以、、、为顶点的四边形是梯形

20.解：（1）因为直线分别与x轴、y轴交于点A和点B．
由得，，得， 所以………1分
把代入中，得
， 解得……2分 ∴这个二次函数的解析式为 ……1分
，P点坐标为P ………1分
（２）设二次函数图象的对称轴与直线交于E点，与x轴交于F点
把代入得，，　∴， ∴………1分
∵PE//OB，OF=AF，　∴ ∵AD∥BP，∴，…2分