高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案).doc

全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析
三角函数
一、三角恒等变换（3题）
1.（2015年1卷2） =（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】原式= ==，故选D.
考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.
2.（2016年3卷）（5）若 ，则（ ）
(A) (B) (C) 1 (D)
【解析】由，得或，所以，故选A．
考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．

3.（2016年2卷9）若，则=
（A） （B） （C） （D）
【解析】∵，，故选D．

二、三角函数性质（5题）
4.（2017年3卷6）设函数，则下列结论错误的是（）
A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称
C．的一个零点为 D．在单调递减

【解析】函数的图象可由向左平移个单位得到，
如图可知，在上先递减后递增，D选项错误，故选D.

5.（2017年2卷14）函数（）的最大值是 ．

【解析】
，，则，当时，取得最大值1.
6．（2015年1卷8）函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）

【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D. 考点：三角函数图像与性质

7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为

的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B．
8.（2016年1卷12）已知函数 为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为
（A）11        （B）9     （C）7        （D）5

考点：三角函数的性质
三、三角函数图像变换（3题）
9.（2016年2卷7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为
（A） （B）
（C） （D）
【解析】平移后图像表达式为，令，得对称轴方程：，故选B．
10.（2016年3卷14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．

考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．

11.（2017年1卷9）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

【解析】：熟悉两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一致。
先变周期：

先变相位：

选D。【考点】：三角函数的变换。
解三角形（8题，3小5大）
一、解三角形（知一求一、知二求最值、知三可解）
1.（2016年2卷13）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 ．

【解析】∵，，，，，由正弦定理得：解得．

2. （2017年2卷17）的内角的对边分别为，已知
．
(1)求;
(2)若，的面积为2，求

解析 （1）依题得．
因为，所以，所以，得（舍去）或.
（2）由⑴可知，因为，所以，即，得.因为，所以，即，从而，
即，解得．

3.（2016年1卷17）的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
（I）求C；
（II）若的面积为,求的周长．

【解析】(1)2cosC(acosB+bcosA)=c,由正弦定理得:2cosC(sinA·cosB+sinB·cosA)=sinC,
2cosC·sin(A+B)=sinC.因为A+B+C=π,A,B,C∈(0,π),所以sin(A+B)=sinC>0,
所以2cosC=1,cosC=.因为C∈(0,π),所以C=.
(2)由余弦定理得:c2=a2+b2-2ab·cosC,7=a2+b2-2ab·,(a+b)2-3ab=7,
S=ab·sinC=ab=,所以ab=6,所以(a+b)2-18=7,a+b=5,
所以△ABC的周长为a+b+c=5+.

4. （2017年1卷17）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为.
（1）求的值；
（2）若，，求的周长.

解析 （1）因为的面积且，所以，即.由正弦定理得，由，得.
（2）由（1）得，又，因为，
所以.
又因为，所以，，.
由余弦定理得 ①
由正弦定理得，，所以 ②
由①，②，得，所以，即周长为.

5. （2015年1卷16）在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围　　　　.

【解析1】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.
考点：正余弦定理；数形结合思想

二、分割两个三角形的解三角形问题
6.（2016年3卷8）在中，，边上的高等于,则（ ）
（A） （B） （C） （D）

【解析】设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，知
，故选C．考点：余弦定理．

7.（2017年3卷17）的内角的对边分别为 ，已知，，．
（1）求；
（2）设为边上一点，且，求的面积．

解析 （1）由，得，即，
又，所以，得.由余弦定理得.
又因为代入并整理得，解得.
（2）因为，由余弦定理得.
因为，即为直角三角形，则，得.
从而点为的中点，.

8.（2015年2卷17）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。
(Ⅰ)求
(Ⅱ) 若，求BD和AC的长

【解析】(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD,因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得==.
(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知,
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC,
故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.