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第八讲 函数的应用
知识点金
函数几乎渗透到中学教学的各个角落，是高中数学的主线，它与其他知识相互渗透，相互融合，是研究数列、三角函数、方程与不等式等中学数学内容的基础；同时，函数思想也是学习数学的重要思想方法。函数是数学竞赛命题的热点和重点，因此我们要在切实掌握函数基本知识基础上，结合其他章节的内容，灵活运用函数与方程、数形结合、分类讨论、化归等数学思想和方法，解决好与函数有关的综合问题和实际问题。
例题精析
例1 求函数在区间上的最大值和最小值。

例2 已知R，且，求的值。

例3 求不等式的整数解。

例4 已知（都是实数，），求证：
。

例5 设是实数，二次方程的一个根属于区间，另一个根属于区间，求的取值范围。

例6 二次函数满足：①；②时，取得最小值
；③对任意实数及任意的多项式都有
。
（1）求函数的表达方式；
（2）试用及表示。

例7 对于函数，若存在R，使成立，则称为的不动点。已知函数。
（1） 当，时，求函数的不动点；
（2） 若对任意的实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；
（3） 在（2）的条件下，若函数的图像上两点的横坐标是函数
的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值。

例8 铁路线上AB段长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千米。现在在AB上某一点D处，向C修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为 3：5。为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最少，D点应选在何处？
A
B
C
D

例9 某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量与时间之间近似满足如图8－2所示的曲线。
（1）写出服药后与之间的函数关系式。
6
0.5
O
8
y（微克）
t（小时）
（2）据测定，每毫升血液中含药量不小于4微克时，治疗疫病有效，假如某病人一天中第一次服药为早上7：00，问12小时内怎样安排服药的时间、次数，疗效最佳？

例10 （2007全国数学联赛）设函数对所有的实数都满足，求证：存在4个函数满足：（1）对，是偶函数，且对任意的实数，有；（2）对任意的实数，有
＋。

赛点归纳
函数的应用在竞赛中主要有以下几个方面：
1． 函数内容本身的相互结合，如函数的概念、性质、图像等方面知识的综合；
2． 函数与其他数学知识的综合，如方程，不等式，数列，解析几何等方面的内容与函数的结合；
3． 函数与实际应用问题的综合。
同步检测
一、选择题
1．如果满足的实数恰有6个值，则实数的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
2．若和都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则
不可能是（ ）
A、 B、 C、 D、
3．国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为（：人均食品支出总额，：人均个人消费支出总额），且，各种类型家庭如下：
家庭类型
贫困
温饱
小康
富裕

李先生家庭居住地2002年比1998年食品价格下降下7.5％，该家庭在2002年购买食品和1998年完全相同的情况下人均个人消费支出少支出75元，则该家庭2002属于（ ）
A、贫困 B、温饱 C、小康 D、富裕
4．已知，，则二次多项式的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
5．若存在实数使等式在实数范围内成立，则的值为（ ）
A、3 B、 C、2 D、
二、填空题
6．已知，其中为常数，若，，，那么的值是 。
7．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得次测量分别得到 ，共个数据。我们规定所测量物理量的“最佳近似值”是这样一个量：与其他近似值比较，与各数据的差平方和最小。依此规定，从推出的
＝ 。
8．已知函数，记，
，则的值为 。
9．不等式对一切自然数都成立，则整数的最小值为 。
10．方程的解是 。
三、解答题
11．已知满足及，求的最大值。

12．设是实数，且满足，求的值。

13．实数满足，求的最大和最小值。

14．已知函数的图像经过点，两点，当函数
的定义域为时，成立，试确定实数的取值范围。

15．已知二次函数的图像以原点为顶点且过点，反比例函数和图像与直线的两个交点间距离为8，。
（1）求函数的表达式；
（2）求证：当时，关于的方程有三个实数解。

16．已知R＋，且（定值），求函数的最小值。

17．设是区间上的实值函数，如果
（1）；
（2）对任何均成立，试证明是常数函数。

18．已知函数。
（1）若在上是单调递减函数，求实数的取值范围。
（2）设，，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围。

19．在车站开始检票时，有名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前进排队检票进站。设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的。若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，到少要同时开放几个检票口？

20．铁路线上AB段长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千米。现要在AB上某一点D处，向C修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比3：5。为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最少，D点应选在何处？
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