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例题分析

　　例1 k为何值时，关于x的方程
　　（k2－1）x2＋2（k＋1）x＋3（k－1）＝0
　　（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程．
　　分析：若方程是一元二次方程，则二次项系数k2－1≠0．若方程是一元一次方程，则二次项系数k2－1＝0，但一次项系数2（k＋1）≠0．
　　解：（1）∵　k2－1≠0，∴　k≠±1
　　∴　当k≠±1时，方程是一元二次方程．
（2）∵　
∴　k＝1
　　∴　k＝1时，方程是一元一次方程．
　　例2 用下列各题指定的方法解方程
　　（1）2（3x－7）2＋3＝5（用直接开方法）
　　（2）2x2＋x－30＝0（用配方法）
　　（3）3y2＋1＝2y（用公式法）
　　（4）（x＋2）（2x＋3）＝8（用公式法）
　　解：（1）将方程变形为：
　　（3x－7）2＝1
　　∴　3x－7是1的平方根
　　∴　3x－7＝±1
　　∴　x1＝，x2＝2
　　（2）移项：2x2＋x＝30
　　二次项系数化1： x2＋x＝15
　　配方： x2＋2×x＝15
　　x2＋2×x＋（）2＝15＋（）2
　　∴　（x2＋）2＝
　　∵　x＋是的平方根
　　∴　x＋＝±
　　x1＝，x2＝－3
　　（3）整理方程得： 3y2－2y＋1＝0
　　∵　a＝3，b＝－2，c＝1
　　b2－4ac＝（－2）2－4×3×1＝0
∴　x＝
∴　x1＝x2＝
　　（4）整理方程得： 2x2＋7x－2＝0
　　∵　a＝2，b＝7，c＝－2
　　b2－4ac＝72－4×2×（－2）＝65＞0
　　∴　x＝
　　∴　x1＝，x2＝
　　说明：方程（3）的根是，不要误认为方程只有一个根，应该是方程有两个根，而且这两个根相同．一般地：一元一次方程如果有解就只有一个解．如果一元二次方程有解就有两个解，即这两个解可能是不相等的实数根，或是对等的实数根．对于方程（4）切不可将方程变形为x＋2＝1，2x＋3＝8，x＋2＝2，2x＋3＝4等类似的形式，从而造成求解得出错误结果．
　　例3 把方程（x＋a）2＋（x＋b）2＋（x＋c）2＝2（x＋a）（a＋b）－2（x＋b）（x＋c）＋2（x＋a）（x＋c）化为关于x的一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
　　解法一：去括号：
　　x2＋2ax＋a2＋x2＋2bx＋b2＋x2＋2cx＋c2＝2x2＋2bx＋2ax＋2ab－2x2－2cx－2bx－2bc＋2x2＋2cx＋2ax＋2ac
　　合并同类项：3x2＋2（a＋b＋c）x＋a2＋b2＋c2＝2x2＋4ax＋2（ab－bc＋ac）
　　移项，再合并同类项：x2＋2（－a＋b＋c）x＋a2＋b2＋c2－2（ab－bc＋ac）＝0
　　二次项系数是1，一次项系数是2（－a＋b＋c），常数项是a2＋b2＋c2－2（ab－bc＋ac）．
　　解法二：移项：
　　（x＋a）2＋（x＋b）2＋（x＋c）2－2（x＋a）（x＋b）＋2（x＋b）（x＋c）－2（x＋a）（x＋c）＝0不难发现，运用乘法公式（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，方程左边即可因式分解是：[－（x＋a）＋（x＋b）＋（x＋c）]2＝0，即（x－a＋b＋c）2＝0
　　∴　x2＋2（－a＋b＋c）x＋（－a＋b＋c）2＝0
　　∴　二次项系数为1，一次项系数为2（－a＋b＋c），常数项为（－a＋b＋c）2．
　　说明：将一元二次方程化成一般形式时，通常的步骤是去括号、移项、合并同类项．但当方程化简适当选择乘法公式或因式分解时，即使用代数式化简的技巧和方法，使解题直接简便．
　　例4 解下列关于x的方程：
　　（1）ax2＋b＝0（a≠0）
　　（2）ax2＋bx＋c＝bx2＋cx＋a（a≠b）
解：（1）∵　a≠0方程变形：x2＝
　　①当b＝0时，x1＝x2＝0
　　②当ab＜0（即a、b异号）时，x1＝， x2＝－
　　当a＞0，b＜0时， x1＝， x2＝－
　　当a＜0，b＞0时，x1＝－ ，x2＝
　　∴　x1＝ ，x2＝－
　　③当ab＞0（即a、b同号）时，方程无实根．
　　（2）方程化为：
（a－b）x2＋（b－c）x＋c－a＝0
　　∵　 a≠b
　　∴　二次项系数为a－b，一次项系数为b－c，常数项为 c－a．
　　（b－c）2－4（a－b）（c－a）＝b2＋c2－2bc－4ac＋4a2＋4bc－4ab
　　＝（b＋c－2a）2
　　∵　x＝
　　∴　x1＝，x2＝1
　　说明：方程（1）运用直接开方法时，要讨论被开方数－的非负性，不能贸然开方．
　　由上述各例可见，在学习后续知识时，经常回顾已学知识，并自觉运用已学知识是学习十分重要的方法，同时，在解题时，要细心研究求解过程每一步的合理性，不能贸然机械地套用方法．
　　例5 把方程mx2－nx＋nx2＋mx＝q－p（m＋n≠0）化成一元二次方程的一般形式，再写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．
　　分析：将等号右边的项移到左边，按x的降幂排列，注意运用提取公因式的知识．
　　解：此方程化成一般形式为：
（m＋n）x2＋（m－n）x＋p－q＝0（m＋m≠0）
　　二次项系数为：m＋n；一次项系数为：m－n；常数项数为：p－q．
　　例6 写出一元二次方程（m－n）x2＋m＋n＝0（m≠n）的二次项系数、一次项系数及常数项．
　　分析：方程中没有一次项，所以一次项的系数是0．
　　例7 选择题
　　px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
　　A．p＝1 B．p＞0 B．p≠0 D．p为任意实数
　　（1998年甘肃省中考题）
　　分析：虽然备选4个答案中：A． p＝1 ，B．p＞0 都可确定题设方程是一元二次方程，但这2个备选答案都不是p可以取值的全部，因此只有C．p≠0才是p可以取值的准确条件；显然备选答案D．没有排斥 p≠0这个确定一元二次方程项系不为零的条件．所以本题答案应选C．
　　例8 选择题
　　若关于x的一元二次方程（m－1）x2＋3m2x＋（m＋3）（m－1）＝0有一个根是0，则m的值是（ ）
　　A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．1
　　分析：依题意0是方程的根，由方程根的意义0满足方程，将x＝0代入方程得（m＋3）（m－1）＝ 0，∴　m＝－3或m＝1，但题设方程是关于x的一元二次方程，因此二次项系数m－1≠0，即m≠1，故m只能取值－3．所以本题答案应选C．
　　例9 如果关于x的方程k（k＋1）（k－2）x2－2（k＋1）（k＋2）x＋k＋2＝0是一元一次方程，则k＝ ．
分析：由方程是一元一次方程，所以k（k＋1）（k－2）＝0，但－2（k＋1）（k＋2）≠0，∴　k＝0，k－2＝0，故k＝0或2．
　　理解一元二次方程的有关概念是解一元二次方程首先必须具备的知识，在阶段考试、中考、甚至于数学竞赛都将这一知识点作为考试的知识点．将一个一元二次方程经过整理，化成一元二次方程的一般形式是解一元二次方程的基础，虽然在章节、阶段测验和中考很少将一个一元二次方程化为一般形式作为考题，但解一元二次方程必须首先将方程化为一般形式．
　　有关一元二次方程概念理解的考题通常以选择题的题型出现，或是结合代数式、方程的有关知识的综合运用加以考查．