33-线性相关性.pptx

一、线性组合一、线性组合二、向量组的等价二、向量组的等价三、线性相关性三、线性相关性四、极大线性无关组、秩四、极大线性无关组、秩一、线性组合一、线性组合注：注：1)若若 ，也称向量，也称向量 与与 成比例成比例.2）零）零向量向量0可由可由任一向量组的线性表出任一向量组的线性表出.3）一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出.4）任一任一 维向量维向量 都是向量组都是向量组也称为也称为n维单位向量组维单位向量组 的一个线性组合的一个线性组合事实上，有对任意皆有事实上，有对任意皆有若能，写出它的一个线性组合若能，写出它的一个线性组合解解：设：设 ，即有方程组，即有方程组（1）例例1判断向量能否由向量组线性表出判断向量能否由向量组线性表出.对方程组对方程组(1)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵所以方程组所以方程组(1)有解它的一般解为有解它的一般解为 令令从而有从而有得得(1)的一个解的一个解 ，1、定义定义二、向量组的等价二、向量组的等价向量组等价向量组等价.若向量组若向量组 中每一个向量中每一个向量 若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个可以经向量组可以经向量组 线性表出线性表出；皆可经向量组皆可经向量组 线性表出，则称向量组线性表出，则称向量组向量组之间的等价关系具有：向量组之间的等价关系具有：1)反身性反身性2)对称性对称性 3)传递性传递性2、性质、性质三、线性相关三、线性相关1、线性相关线性相关 注注：特殊情形特殊情形 2）任意一个含零向量的向量组必线性相关任意一个含零向量的向量组必线性相关.定义定义11：若向量组若向量组 中有一向量中有一向量称为称为线性相关线性相关的的.可经其余向量线性表出，则向量组可经其余向量线性表出，则向量组1）向量组）向量组 线性相关线性相关 成比例成比例.定义定义11：向量组向量组 称为线性相关称为线性相关如果存在如果存在P上上不全为零的数不全为零的数 使使在在 时，时，定义定义11与与定义定义1 11是等价的是等价的.注注：定义定义1 12：若向量组若向量组 不线性相关，则称不线性相关，则称若不存在若不存在P中不中不全为零的数全为零的数 ，使使向量组向量组 为为线性无关的线性无关的.2、线性无关线性无关 即即则称向量组则称向量组 为为线性无关的线性无关的.必有必有换句话说，换句话说，对于一个向量组对于一个向量组若由若由则称向量组则称向量组 为为线性无关的线性无关的.1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量；）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量；3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量.个向量可由其余向量线性表出个向量可由其余向量线性表出.3、线性相关性的有关性质、线性相关性的有关性质 2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量组一定线性相关组一定线性相关.5）如果向量组）如果向量组 线性无关线性无关，而向量组而向量组线性相关，则线性相关，则 可经向量组可经向量组线性表出线性表出.(习题习题3)3)都线性无关都线性无关.4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；量组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组任何一个部分组线性无关的充要条件是齐次线性方程组线性无关的充要条件是齐次线性方程组只有零解只有零解；线性相关线性相关的充要条件是齐次线性方程组的充要条件是齐次线性方程组(2)有非零解有非零解.6）向量组）向量组（2）向量组向量组特别地，对于特别地，对于n个个n维向量维向量行列式行列式行列式行列式线性无关线性无关.线性相关；线性相关；的的缩短组缩短组.7）若向量组）若向量组 线性无关，则向量组线性无关，则向量组 也线性无关也线性无关.向量组向量组 常称为向量组常称为向量组 的的延伸组延伸组；注注：称为称为而而相关相关，则向量组则向量组 也线性相关也线性相关.反之，若向量组反之，若向量组 线性线性8）向量组线性相关的基本性质定理）向量组线性相关的基本性质定理 定理定理2设设 与与 为两个为两个i)向量组向量组 可经可经 线性表出线性表出；则向量组则向量组 必线性相关必线性相关.ii)向量组，若向量组，若要证要证 线性相关线性相关，即证有不全为零的数即证有不全为零的数使使 证：证：由由i)，有，有 作线性组合作线性组合 若能找到不全为的若能找到不全为的，使使 中，方程的个数中，方程的个数 s未知量的个数未知量的个数r，在方程组在方程组（3）从而有不全为零的数从而有不全为零的数，使使所以所以（3）有非零解有非零解.所以所以 线性相关线性相关。则也使则也使 推论推论2任意任意 n1个个n维向量必线性相关维向量必线性相关.推论推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数两个线性无关的等价向量组必含相同个数推论推论1 若向量组若向量组 可经向量组可经向量组 线性表出，且线性表出，且 线线性无关性无关，则则 的向量的向量.（任意（任意 个个n维向量必线性相关维向量必线性相关.）例例2判断向量组判断向量组 是否线性无关？若线性相关，求一组非零数是否线性无关？若线性相关，求一组非零数使使解：解：设设即有方程组即有方程组解之得解之得为任意数为任意数所以线性相关所以线性相关.令令则有则有使使由于由于 线性无关，于是有线性无关，于是有 设设即即 例例3已知向量组已知向量组 线性无关，向量线性无关，向量证明：证明：线性无关线性无关.解之得解之得 所以所以 线性无关线性无关.证：证：练习：证证向量组线性相关性的有关命题向量组线性相关性的有关命题向量组与其部分组线性相关性的关系向量组与其部分组线性相关性的关系.命题命题设向量组设向量组 1，2，r线性相关线性相关,则向量组则向量组 1，2，r，r1，s必线性相关必线性相关,即一个向量组的部即一个向量组的部分组线性相关分组线性相关,那么这个向量组也一定线性相关那么这个向量组也一定线性相关.已知向量组已知向量组 1，2，r线性相关线性相关,证证,使使则存在一组不全为零的数则存在一组不全为零的数于是有于是有故向量组故向量组线性相关线性相关.向量组线性表示与线性相关性关系向量组线性表示与线性相关性关系命命题题给给定定向向量量组组 1，2，s,(s2),该该向向量量组组线线性性相相关关的的充充分分必必要要条条件件是是至至少少有有某某一一个个向向量量 i可可以以由由其其余余s-1个个向量线性表示向量线性表示.证明证明(必要性必要性)不妨设不妨设ks 0,于是有于是有即向量即向量 s可以由其余可以由其余s-1个向量线性表示个向量线性表示.已知向量组已知向量组 1，2，r线性相关线性相关,使使则存在一组不全为零的数则存在一组不全为零的数充分性充分性即即向向量量组组 1，2，s,(n2)中中有有某某一一个个向向量量 i可可以以由由其余其余s-1个向量线性表示个向量线性表示,则该向量组线性相关则该向量组线性相关.证证即向量组即向量组 1，2，s线性相关线性相关.整理得整理得不妨设向量不妨设向量 s可以由其余可以由其余s-1个向量线性表示个向量线性表示.,使使即存在一组不全为零的数即存在一组不全为零的数-1,121=-sskkkk命题 设向量组A:1，2，s；向量组B:1，2，s,；若向量组A线性无关,向量组B线性相关，则向量 可由向量组A线性表示,且表示式唯一.由线性相关定义由线性相关定义,则存在一组不全为零的数则存在一组不全为零的数k1，k2，ks，k故一定有故一定有k 0,即即向量向量 可由向量组可由向量组A线性表示线性表示.若若k0,则则k1，k2，ks不全为零不全为零,故向量组故向量组A线性相关线性相关,与与已知矛盾已知矛盾.证证下证唯一性下证唯一性:设设两式相减两式相减,得得唯一性得证唯一性得证.由向量组由向量组A:1，2，s线性无关线性无关,得得1、极大线性无关组、极大线性无关组 i)线性无关；线性无关；极大线性无关组极大线性无关组，简称，简称极大无关组极大无关组.一个部分组一个部分组若满足若满足 定义定义为为中的一个向量组，它的中的一个向量组，它的设设线性表出线性表出；ii)对任意的对任意的,可经可经四、极大线性无关组四、极大线性无关组,秩秩则称则称 为向量组为向量组 的一个的一个1）一个向量组的极大无关组不是唯一的）一个向量组的极大无关组不是唯一的.注注3）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身.4）一个向量组的任意两个极大无关组都等价）一个向量组的任意两个极大无关组都等价.5）一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同）一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同 个数的向量个数的向量.2）向量组和它的任一极大无关组等价）向量组和它的任一极大无关组等价.（根据定理（根据定理2的推论的推论1即得）即得）定义定义向量组的极大无关组所含向量个数称为这个向量组的极大无关组所含向量个数称为这个性质：性质：一个向量组线性相关的充要条件是一个向量组线性相关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同；它的秩与它所含向量个数相同；它的秩它所含向量个数它的秩它所含向量个数.向量组的向量组的秩秩.2、向量组的秩、向量组的秩 1）一个向量组线性无关的充要条件是）一个向量组线性无关的充要条件是2）等价向量组必有相同的秩）等价向量组必有相同的秩.3）若向量组）若向量组可经向量组可经向量组 线性表出，则秩线性表出，则秩 秩秩（习题（习题12）例例4设设1）证明：）证明：线性无关线性无关.2）把）把扩充成一个极大无关组扩充成一个极大无关组.1）证：）证：由于不成比例，由于不成比例，2）解：）解：由由即即为自由未知量为自由未知量.解得解得线性相关线性相关.即即可经线性表出可经线性表出.由由解得解得线性无关线性无关.即即不能由线性表出不能由线性表出.即即再由行列式再由行列式存在不全为零的数使存在不全为零的数使线性相关线性相关.故即为由故即为由扩充的一个极大无关组扩充的一个极大无关组.例例5求向量组求向量组的极大无关组的极大无关组.解：解：作矩阵作矩阵对矩阵对矩阵A作初等行变换化阶梯形作初等行变换化阶梯形由矩阵由矩阵B知线性无关且为极大无关组知线性无关且为极大无关组.也是极大无关组也是极大无关组.可知可知可知可知也是极大无关组也是极大无关组.可知可知也是极大无关组也是极大无关组.说明：向量组的极大线性无关组不是唯一的，但向量组的秩相同.构造矩阵构造矩阵证证考虑向量组考虑向量组C:C:例例6设向量组设向量组A向量组向量组B证明向量组证明向量组A与向量组与向量组B等价等价.对矩阵进行行变换,得 可见向量组可见向量组C,A,B的秩都等于的秩都等于2;显然向量组显然向量组A与向量组与向量组B都是线性无关的都是线性无关的.而向量组中任意两个线性无关的向量都是向量组的而向量组中任意两个线性无关的向量都是向量组的最大无关组最大无关组,因此因此,向量组向量组A与向量组与向量组B都是向量组都是向量组C的最的最大无关组大无关组,故向量组故向量组A与向量组与向量组B等价等价.注 要证明向量组A与B等价只需验证向量组A与B可以相互线性表示即可.继续行初等变换,故向量组故向量组A与向量组与向量组B可以互相线性表示可以互相线性表示,即等价即等价.作业P155.5；7；10；P156.14；15；17.