初中数学竞赛培训讲义-第六讲—等腰三角形的性质和判定.docx

初中数学竞赛培训讲义
第十讲 等腰三角形的性质研究
一 竞赛知识简介
（－）等腰三角形的性质
1. 有关定理及其推论
定理：等腰三角形有两边相等；
定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
2. 定理及其推论的作用
等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定
1. 有关的定理及其推论
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
二 赛题讲解
1 利用“等边对等角”性质求角
例1 如图，分别是的平分线，若，求的度数.

拓展训练
1、如图，在中，,在上取点，在上取点，使，若，求的度数.

2、如图，是直线，且，求的值.

3、已知的三角形的边长的长分别为，且，试判定的形状.

4、在中，已知，且过某一顶点的直线可将分成两个等腰三角形，求各内角的度数.

5、四边形中，,分别是的中点，交于,求证：.

2、等腰三角形中的全等构造
例2 在中，是的平分线，，垂足是，已知，求证：.

例3 如图，在四边形中，,若,
求证：

例4 如图，在中，,是上一点，求证：.

拓展练习
1、如图，在中，,点是的中点，是的平分线，∥,求的长.

2、如图，中，于，,求证：

3、如图，在中，,是上一点，,,求的度数.

3、等边三角形中的几何问题
例5 如图，中，分别以为边向外作等边三角形，记分别是等边三角形的中心.
(1)求证：是等边三角形.
(2) 若，求的面积.

例6 边长为等边中，是边上的点，与交于点.
(1) 若,的度数.
(2) ，求证：.

拓展训练
1、一个六边形的六个内角均为，连续四边的长依次是，求该六边形的周长和面积.

2、是等边内一点,，求的长.

3、如图，菱形中，,是边上的点，若中有一个内角是，求证：是等边三角形.

4、构造等边三角形解题
例7 如图，中，,为内一点，使得，求的度数.

拓展练习
1、中，,,为内一点，且
求的度数.

2、如图，在等腰中，,,在边上取点，使得，求的度数.

例8 如图，在中，.
求证：..

拓展练习
1、如图，在中，,是内一点，且，求证：.

练习题
1、在中，和分别是这两个角的外角平分线，且点分别在直线和上，则（ ）

的大小关系不能确定.
2、如图，已知等腰中，分别是
上的点，且，求的度数.

3、如图，在中，,
分别在上，并且分别是
的角平分线，求证：.

4、如图，中，,延长到，延长到，
使，联接，若，
求证：是等边三角形.

5、如图，中，,
为内一点，使得，
求的度数.