FC-投射复形.pdf

兰州大学学报（自然科学版），2023,59(4)/8月Journal of Lanzhou University(Natural Sciences),2023,59(4)/AugustFC-投射复形张文汇，魏玉娟西北师范大学数学与统计学院，兰州7 3 0 0 7 0摘要：讨论了FC-投射复形的基本同调性质，证明了复形C是FC-投射复形当且仅当其每个层次的模都是FC-投射模,并且对任意有限余表示复形Q,Hom(C,)是正合复形.关键词：FC-投射模；有限余表示复形；FC-投射复形中图分类号：0 1 53.3文献标识码：A文章编号：0 455-2 0 59(2 0 2 3)0 4-0 53 3-0 5D0I:10.13885/j.issn.0455-2059.2023.04.014FC-projective complexesZHANGWen-hui,WEI Yu-juanCollege of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,ChinaAbstract:The basic homological properties of FC-projective complexes were discussed and it wasproved that a complex C is FC-projective if and only if C,is FC-projective for all neZ,and Hom(C,Q)isexact for all finitely copresented complexes Q.Key words:FC-projective module;finitely copresented complex;FC-projective complexAMS Subject Classifications(2000):16E05;18G35;16E30STENSTROM叫引人FP-内射模的概念，称右R-模M是FP-内射模，若对任意有限表示右R-模E,Ext)(E,M)=0.YANG等 2-3)各自独立的在复形范畴中引人FP-内射对象.WANG等4利用对偶观点，先后引人了FC-投射模和GorensteinFC-投射模，在右余凝聚环上研究这两类模的同调性质，证明在右余凝聚环上FC-投射右R-模类是投射可解类.模的复形范畴是一个具有足够投射对象和足够内射对象的Abel范畴.模范畴是模的复形范畴的一个子范畴，而复形又是研究模的重要工具本研究讨论FC-投射复形的基本同调性质，证明一个复形C是FC-投射复形当且仅当其每个层次的模都是FC-投射模，并对任意有限余表示复形Q,Hom(C,Q)是正合复形.1预备知识本研究中的环R均指有单位元的结合环，模均指右R-模，复形均指右R-模的复形.除非特别说明,Z表示整数集.(C)iez表示一簇复形，对任意整数i和n，C,表示复形Ci第n层次上的模.将R-模的复形Cn+1记为(C,),简记为C.设nEZ,对任意R-模M,D(M)表示复形+0-MidMM0-收稿日期：2 0 2 2-0 5-1 5修回日期：2 0 2 2-0 6-2 2基金项目：国家自然科学基金项目（1 1 8 6 1 0 55）作者简介：张文汇(1 9 7 7-),女，甘肃天水人，副教授，博士，硕士研究生导师，e-mail:，研究方向为环的同调理论.IVHH534兰州大学学报(自然科学版)，2 0 2 3，59(4)其中，M在第n-1和n层次，其他位置为0;S(M)表示模M在第n层次，其他位置为0 的复形；复形C第n层次的循环模记作Z(C);对任意整数t,(Zc),表示(c)=Cm,微分是(-1)s,的复形.本研究用Ch(R)表示R-模复形构成的Abel范畴.设C和D是复形,Hom(C,D)表示如下Abel群的复形Hom r(C,Dn+t)Hom(C,D)-II,Homr(C,Dn+t).对任意=(p,),ezEHom(C,D)n,0,(0.)ez)=(SP+tP,-(-1)P+10)rez.用Hom(C,D)表示从复形C到D的所有链映射构成的Abel群,用Ext(-，-)表示函子Hom(-，-)的i次右导出函子.给定正整数n，称右R-模M是n-余表示模，若存在右R-模的正合列0 MUU,U,其中U(01,Ext(C,Q)=0.证明对n进行数学归纳.当n=1时，由定义1可得Ext(C,Q)=0.假设对 n-1的正整数,结论成立.下证Ext(C,Q)=0.因为Q是有限余表示复形，R是右余凝聚环，所以存在正合列0-QEE,.E.-2E.-En,其中E(0n)是有限余生成内射复形.若记K=Im(E,E)(0i0,任意有限余表示复形Q,Ext(A,Q)=Ext(C,Q).设X是Abel范畴A的一个对象类，P(A)是Abel范畴A的投射对象类.称X是投射可解类，是指P(A)eX,并在任意正合列0 X-XX0中,若XeX,则XeX当且仅当XeXI7.文献 4 证明在右余凝聚环上，FC-投射模类是投射可解类.以下结论表明在右余凝聚环上，FC-投射复形类是模的复形范畴中的投射可解类。命题1 设R是右余凝聚环，并在复形正合列0CCC0中，C和C是FC-投射复形.则C是FC-投射复形.证明对任意有限余表示复形Q,存在正合列.Ext(C,Q)Ext(C,Q)Ext(C,Q).,由引理1 知,Ext(C,Q)=Ext(C,Q)=0,故Ext(C,Q)=0.即C是FC-投射复形.命题2 设C是FC-投射模，则对任意整数m,D(C)是FC-投射复形.证明不存在短正合列0 KPC0,其中P是投射模千是存在复形的短正合列0D(K)D(P)D(C)0,并对任意有限余表示复形Q，有行正合交换图0 Hom(D(C),Q)Hom(D(P),Q)=Hom(D(K),Q)小0Homr(C,Om)Homr(P,Qm)Hom(K,Q.m)-0由文献 8 的引理3.1 知,是同构,故是满同态.注意到D(P)是投射复形,故Ext(D(C),Q)=0.即D(C)是FC-投射复形.引理2 设C是FC-投射复形，则对任意整数i,C,是FC-投射模.证明存在复形短正合列0 KPC0,其中P是投射复形.对任意有限余表示模Q，对任意整数i,D(Q)是有限余表示复形，且有行正合交换图0Hom(C,D(Q)-Hom(P,D(Q)-Hom(K,D(Q)-00Homx(C,Q)Hom(P,Q)Hom(K,Q)Ext)(C,Q)0正合535张文汇，等：FC-投射复形由文献 8 的引理3.1 知,是同构,因此Ext(C,Q)=0,即C,是FC-投射模.以下结论给出FC-投射复形的结构刻画.定理1 设C是R-模的复形，则C是FC-投射复形当且仅当对任意整数n，C,是FC-投射模，并对任意有限余表示复形Q,复形Hom(C,D)正合.证明=)任取有限余表示模G,设0 GXC一0 是G按C,的任意扩张，下证此正合列可裂.由文献 9 的定理3.6 知,存在同态使得交换Cn-20Ker(on-I)-S-20 Ker(o,-1)C-1其中,:Ker(on-1)C,-1是包含同态.考虑拉回图00Ker(on-I)Ker(on-1)0GPCn-100GXC,0,因此有交换图。00Cn3Cn-30一id00Cn-2C1-20-20GPC0n-1一0GXCn01o.v00idCC0n+1n+100idCn+2Cn+20容易验证W=.C,-3Cg0PX26.C,C2是复形，且各行均正合，2+1注意到D(G)是有限余表示复形，C是FC-投射复形，故复形正合列0 D(G)WC0可裂，从而层次可裂，于是对任意整数n，C,是FC-投射模.对任意有限余表示复形Q,Hom(C,Q)是正合复形当且仅当对任意整数n，任意复形链映射CQ同伦于0,当且仅当复形正合列0 ZQM(J)一ZC0可裂，当且仅当复形正合列0 QM()C0可裂，其中M(f)是的映射锥.由条件知Ext(C,Q)=0,故正合列0 ZQ-ZM(J)C0可裂，从而Hom(C,Q)是正合复形.)对任意有限余表示复形Q,考虑Q按C的任意扩张0 QWC0.由条件知此复形短正合列层次可裂，故其同构于复形正合列0 QM()C-0,其中f:CZQ是复形链映射.又由条件复形Hom(C,ZQ)正合，由文献 1 0 的定理2.3.2 可知，正合列0 QM()C0可裂，从而0 QWC0可裂，故C是FC-投射复形.给出一类FC-投射复形的例子。引理3 设C是正合复形，并对任意整数n，Z,(C)是FC-投射模，则对任意有限余表示复形Q,Hom(C,Q)是正合复形.证明设Q是有限余表示复形，由定义Q有界.不妨设C-.C.CCC,.C,Q-.09,.-Q.0.,下证复形Hom(C,Q)=.Hom(C,Q),0rHom(C,Q)n+1i4 Hom(C,Q)2对任意整数n，只需证KeroSn+1CImon,设g=(gm)mezEKer n+ICHom(C,Q)n1=Hom,(Cm,Qn+1+m),mE则 gmE HomR(Cm,Q+1+m),且 0,+1(g)=(8%+mgm-(-1)lgm+10%)mez=0.构造复形链映射f=(Jm)mezEHom(C,Q),=IImezHom,(Cm,Q+m),使得 9,(f)=(8%+mfm-(-1)fm+10)mez=(gm)mez.800Q0令f.-1-=fm-2-=0.当m=-n-2时,注意到g-n-2=g-n-3=.=0,0+1+(0-(g)-n-2-0,因此 Ker%-=Im 8g-2 C Ker g-n-1故存在同态h-n-1:Im8%-=Ker8Qo,使得g-I=CXCX536兰州大学学报(自然科学版)，2 0 2 3，59(4)(-1)I h-n-18-1.因为Z-n+I(C)是FC-投射模,Q。是有限余表示模，所以存在同态f：C-,Q。，使得0 ImdcC.Z-n+I(C)0一3Q。可交换,即h-n-1=f-,t-n,其中t-,:Imo%-C-,是包含同态.因此g-n-1=h-n-1(-1)*18%-1=(f-,t-n)(-1)+18cn-1=-(-1)f,on-1.故g与8,()的第-n-1分量相等.又因为(8g f.,-gn)(-1)*1S-=0gg-n-1-(-1)*1g-nog-=(8n+1(g)-n-1=0,所以Keroc=Imon-1CKer(%f-,-g-n),于是存在同态h-,:Im8,Q 1,使得(-1)h-,S,=Sf-,-g-nC-QImoc,0因为Z-n+2(C)是FC-投射模，Q,是有限余表示模，所以存在同态f-n+:C-n+1Q1,使得0 ImocC.Z.n+2(C)03.Q可交换,即f-n+1t-n+I=h-m,其中t-n+1:ImoC-+1是包含同态.因此由h-n(-1)S,=8-,-g-,可得g-,=89 f-n-(-1)h-,og,=0 f-,-(-1)f-n+1T-n+10f,=8f-,-(-1)f-n+18,为9,()的第-n分量.说明g与8,()的第-n分量相等.继续此过程，可构造出f=(fm)mezEImd,使得g=5.().命题3 设复形C是正合复形，对任意整数n，Z,(C)是FC-投射模,则C是FC-投射复形.证明设C是正合复形,则对任意整数n,存在正合列0 Z,-I(C)C,Z,(C)0.因为Z,(C),Z-1(C)是FC-投射模,所以C,是FC-投射模.由引理3 可得,对任意有限余表示复形Q,Hom(C,Q)是正合复形,因此由定理1 可得，C是FC-投射复形.关于FC-投射模的右有界复形，有如下性质.命题4设复形C是FC-投射模的右有界复形，Q是正合的有限余表示复形，且对任意整数i，Z,(Q)是有限余表示模.则Ext(C,Q)=0.证明不设证明不妨设C=.-CCC0,0其中C(ieZ)是FC-投射模.设复形正合列0 QXC0是Q按C的任意扩张,考虑交换图0 Q-2-X-2C200 Q-1-XC._00一Q。X。C080一X00一1因为复形层次可裂，所以对任意整数i，存在同态f:X,Q，使得fo,=ido.注意到对任意整数i0,.=0是同构,故对所有i0,8f.=fo%因为%(fi8%-%fo)=0,所以 Im(f.%-%fo)Ker(8)=Im(%)故f,8%-%foeHomr(X,Im(%).(fi8-%fo)o=0,因此 Ker(do)=Im(o)CKer(fio%-%fo),故存在go:C。Im(8%),使得go。=f%-%f.因为C是FC-投射模，由条件Im(8%)是有限余表示模，所以Ext;(C,Im(8%)=0,从而存在正合列0Homr(Co,Im(8)Homr(Co,Q。)Homr(Co,Im(8%)0.于是存在同态ho:CQo,使得g。=%h o.设m。=h o。+eHom.(Xo,Qo),则 Sgmo=o%hodo+%fo=godo+%fo=fi%,且moP。=i d o.:为0 o（m o 0-110-1J-1以 Im(mo0-1f.)CKer(%)=Im(),故m-f-Hom(X-1,Im(8).因为(m.-8%f.,)o-,=0,所以 Ker(g-)=Im(p-)CKer(mod-%f.),故存在g-1:C.,Im(89),使得g-1-,=m-S%f-1.条件C.,是FC-投射模，Im(8%)是有限余表示模，Ext(C-1,Im(8g)=0,从而序列0 Homr(C-1,Im(8%)Homr(C-1,Q-)Homr(C-,Im(Sg)0正合.于是存在同态h-:C.,-Q-1,使得g-=8%,h-1设m,=h-19-+f,eHom,(X-1,Q-1),则 m-,=8g h-9-,+8%f-1=g-10-1+8f-1=moox,且m-1P-1=ido,继续勇）（责任编辑：张537张文汇，等FC-投射复形此过程,对任意整数i0,可构造m_,EHom,(X-,Q-),使得8%m-,=m-+18X,且m-(P-=idQ-当i0时,取m,=f,则得到复形同态m:X-Q且mp=1lg.因此序列0QXC0可裂,故 Ext(C,Q)=0.要满足Ext(C,Q)=0,其中Q是任意有限余表示复形,不是只对正合的有限余表示复形成立，由引理2,FC-投射复形各层次的模都是FC-投射模.进一步，对于正合的FC-投射复形，其循环模也是FC-投射模，即有如下命题.命题5设C是正合的FC-投射复形，则对任意整数n,Z,(C)是FC-投射模.证明任取有限余表示模Q,则存在正合列0QIK0,其中I是有限余生成内射模.对任意同态f:Z(C)K,设8,=元,其中C,Z,(C)是满同态,8:Z.(C)C,是包含同态.令-I=f元，则n-18c-2=f元8 c,=0,于是得到复形链映射:CS-l(K),其中对任意整数计n-1,=0.CSCCC2n-1元Z,(C)-0a=0K因为C是FC-投射复形，所以序列0Homr(C,Sr-I(Q)Homr(C,Sn-1(I)Hom,(C1,S-l(K)0正合,其中:S-(I)S-(K)是复形同态,n-=,且对任意整数n-1,Q=0.存在eHom(C,S(I),使得 q.(B)=,即 p=,从而 n-,-=a-1,即o,=n-1由于是复形链映射，因此n-18c-2=0,Ker元=Ker 8-,=Im8c-,CKern-1于是存在同态g:Z,(C)一1,使得g元=,=,，故og元=o,_=,-f元,又因为元是满同态,所以og-f.即序列0Homr(Z,(C),Q)Homr(Z,(C),I)Homr(Z,(C),K)0正合.注意到I是内射模，故Ext;(Z,(C),Q)=0,即Z,(C)是FC-投射模.引人复形的FC-投射维数，并给出FC-投射维数有限复形的等价刻画.定义3复形C的FC-投射维数FC-pd(C)定义为 FC-pd(C)=inf(n|存在复形的正合列0 P,.P,PC0,其中P(0in)是FC-投射复形).若上述集合是空集,则规定FC-pd(C)=o0.命题6设R是右余凝聚环，n是非负整数，则以下等价i)FC-pd(C)n;i)对任意有限余表示复形Q,任意正整数i1,Extn+i(C,Q)=0;ii)对任意有限余表示复形Q,Ext+(C,Q)=0;iv)复形的任意正合列0 KP,-P,PC-0中,若P(0in-1)是FC-投射复形,则K是FC-投射复形.证明i)=ii)因为FC-pd(C)n,所以存在正合列0 P,P,-.P,P。C0,其中 P(0jn)是FC-投射复形.注意到R是右余凝聚环，由引理1 及维数转移可得Ext*(C,Q)=Ext(P,Q)=0.ii)=ili)显然.ii)=iv)设在复形正合列0 KP.IP,一PC0中,P(0in-1)是FC-投射复形,由维数转移可得Ext(K,Q)=Ext*(C,Q)=0,因此K是FC-投射复形.iv)=i)取复形C的部分投射分解0 K-P-1.P-PC0,其中P,(0in-1)是投射复形.由iv)知K是FC-投射复形,故FC-pd(C)n.参考文献1 STENSTROM B.Coherent rings and FP-injective mod-ulesJ.Journal of the Mathematical Society-SecondSeries,1970,2(S2):323-329.2 YANG X Y,LIU Z K.FP-injective complexesJ.Com-munications in Algebra,2010,38(1):131-142.3 WANG Z P,LIU Z K.FP-injective complexes and FP-injective dimension of complexesJ.Journal of the Aus-tralian Mathematical Society,2011,91(2):163-187.4 WANG Y,ZHOU D X.Gorenstein FC-projective mod-ulesJ.Journal of Algebra and Its Applications,2020,19(4):2050066.1-2050066.26.5 XUE W M.On n-presented modules and almost excel-lent extensionsJ.Communications Algebra,1999,27(3):1091-1102.6移晨港.余挠对与余倾斜模 D.兰州：兰州理工大学,2021:28.7 ENOCHS E E,JENDA O M G.Relative homologicalalgebraM.New York:Walter de Gruyter,2000:248.8 GILLESPIE J.The flat model structure on Ch(R)J.Tra-nsactions of the American Mathematical Society,2004,356(8):3369-3390.9 ANDERSON F W,FULLER K R.Rings and categoriesof modulesM.Berlin:Springer-Verlag,1992:45-46.10 GARCiA R J R.Covers and envelopes in the categoryof complexes of modulesM.Boca Raton:CRC Press,1999:38.