任意角三角比及诱导公式.doc

任意角的三角比和三角诱导公式

【知识结构】
1角和终边相同：
2几种终边在特殊位置时对应角的集合为：

角的终边所在位置
角的集合
X轴正半轴

Y轴正半轴

X轴负半轴

Y轴负半轴

X轴

Y轴

坐标轴

3弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角
角度制与弧度制的互化：
1弧度
4弧长公式： （是圆心角的弧度数）
5 扇形面积公式：

6特殊角的三角函数值：

0

sin
0

1
0

cos
1

0

0
tan
0

1

∞
0
∞
cot
∞

1

0
∞
0
7诱导公式：可用十个字概括为“纵变横不变，符号看象限”。
诱导公式一：，，其中
诱导公式二： ；
诱导公式三： ；
诱导公式四：；
诱导公式五：；

－

sin
－sin
sin
－sin
－sin
sin
cos
cos
cos
－cos
－cos
cos
cos
sin
（1）要化的角的形式为（为常整数）；
（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”。
1倒数关系：，，
2商数关系：，
3平方关系：，，

【例题精讲】
例1 已知角；
（1）在区间内找出所有与角有相同终边的角；
（2）集合，
那么两集合的关系是什么？
分析：（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；（2）可对整数的奇、偶数情况展开讨论
解：（1）所有与角有相同终边的角可表示为：，
则令 ，
得
解得
从而或
代回或
（2）因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：

例2 一个半径为的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，则扇形的圆心角是多少弧度？多少度？扇形的面积是多少？
解：设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长，
所以扇形的周长是
依题意知： ，解得
转化为角度度制为
它的面积为：

例3已知角的终边过点，求的六个三角比值。
解：因为过点，所以，
当；
；；
当
；

例4 若sin>0，试确定所在的象限。
分析一：首先确定sin与cos的符号，再判断所在的象限。
解析一：由sin>0知。
由（1）知在第一象限，由（2）知在第三象限，
所以在第一或第三象限。
分析二：先化简关系式再确定的范围。
解析二：由sin>0有>0，即sin2>0，
所以,
当k=2n（n∈Z）时，为第一象限，当k=2n+1（n∈Z）时，为第三象限
故，为第一或第三象限。
分析三：因判断所在的象限，故本题可以用特殊值（各个象限各取一个）来判断。
解析三：若令=代入sin>0，可以验证知，
只有=满足条件，所以为第一或第三象限。

例5 化简：
（1）；
（2）
解：（1）原式
（2）原式

例6若，求：
的值。
分析：由已知条件首先求出的值，再将所求式化简，可由“奇变偶不变，符号看象限”一步法化简，或直接运用诱导公式“负化正，大化小”化简，最后代值即可。
解法一：由有

例7 化简
解：原式

例8已知：，求的值
解：∵，
∴原式
点评：第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的，得到一个只含的教简单的三角函数式
变式训练：已知：，求的值
解：，
原式
点评：同样应用上题的技巧，把看成是一个分母为的三角函数式，注意结合“口诀”及的运用
例9已知，且是第四象限角，求的值
解：

由已知得：，
∴原式
变式训练：将例5中的“是第四象限角”条件去掉，结果又怎样？
解：原式，
∵为负值，∴是第三、四象限角
当是第三象限角时，
∴原式
当是第四象限角时，即为上例
例10已知求下列各式的值
（1），（2），
（3）
解：（1）=
（2）=
（3）=
=

例11 求证：
证法一：由题义知，所以
∴左边=右边
∴原式成立
证法二：由题义知，所以
又∵，
∴
证法三：由题义知，所以
，
∴

【拓展提高】
例12 已知“是第三象限角，则是第几象限角?
分析 由是第三象限角，可得到角的范围，进而可得到的取值范围，再根据范围确定其象限即可也可用几何法来确定所在的象限
解法一： 因为是第三象限角，所以
∴
∴当k=3m（m∈Z）时，为第一象限角；
当k= 3m＋1（m∈Z）时，为第三象限角，
当k= 3m＋2（m∈Z）时，为第四象限角
故为第一、三、四象限角
解法二： 把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域
由图可知，是第一、三、四象限角
小结：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：
把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为 (n∈N*)的终边所在的区域

例13 已知
分析：由于三角函数的值不确定，所以需要对角的范围进行讨论，并逐一求解
解：因为，所以，
（1）当b=0时，角
若角
若角
（2）当
若

特别提示：
本题易错解为：
因为，
所以（1）；
（2）；
（3）；
（4）
其错误的原因在于没有重视条件，认为为正值，同时也b=0时，角的终边在y轴上，此时tan不存在，所以在解答讨论时，应注意条件的限制，如函数本身对答角的范围要求，在各个象限的符号等

例14 求证：
证明：左边

，
右边
所以，原式成立
点评：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边（如例5的证法一）；（2）证明左右两边同等于同一个式子（如例6）；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立
小结：1运用同角三角函数关系式化简、证明
2常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等，应用 “弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的，得到一个只含的教简单的三角函数式

【巩固练习】
1在下列各组角中，终边不相同的一组是（ ）
A与 B与
C与 D与
2下列各命题中，真命题是（ ）
A每一象限角是锐角 B 直角不是任何象限角
C第二象限角比第一象限角大 D三角形的内角一定是第一或第二象限角
3若角是第三象角，则角是（ ）的角；
A第一象限或第三象限 B第二象限或第三象限
C第二象限或第四象限 D第一象限或第四象限
4已知角的终边过点，则 ，
5若是第四象限角，则是第 象限角，是第 象限角。
6若，且为二、三象限角，则的取值范围是
7已知，则
8已知是第二象限角，则
9若是三角形的内角，且，则此三角形一定是（ ）
A等边三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形
10若，则角的取值范围是
11 求证：（1）；
（2）

1C 2B 3C 4， 3 5三、二 6 7
8-1 9D 10
11(1)证明 左边=
右边
(2)左边=
右边=，故左边=右边

12