资源描述
课程主题: 实数的计算技巧拓展课
课程目标:
1、了解实数计算的常用方法:公式法、裂项相消法、因式分解法、整体换元法、构造法等。
2、能较好地在解题时运用上述方法,提高数学计算的能力。
课时安排:1课时
教具准备:
教学过程:
数从自然数、分数扩展到有理数、实数后,数的运算从内涵到法则都发生了变化,需重新建立,这种数的运算的变化主要是增加了负数,无理数。而且实数的运算也是代数式四则运算的重要基础,因此在初一教学中的地位是至关重要的。实数的运算主要包括:实数的相反数、绝对值和倒数的运算,实数的加、减、乘、除、乘方混合运算以及新概念、新运算律的计算。然而实数的计算题型复杂多样,解题方法灵活多变,远不止这些运算法则,常用的方法有公式法、裂项相消法、因式分解法、整体换元法、构造法等等。
特别补充:
(1) 数列:若干个数按照一定的顺序排列起来就是一个数列。例如:1,2,3,4,5;1,4,9,16,25; 3,5,7,9,11,13。
(2) 等差数列:任意相邻的数之间的差都相等,我们就把这个数列称为等差数列。
(3)等比数列:任意相邻的数之间的比都相等,我们就把这个数列称为等比数列。
典型例题
一、公式法之求和公式 :
若是差不为1的等差数列求和则是:(首项+尾项)*项数/2,这些公式其实已经在小学就掌握了。
例1:电影院有28排座位,后一排都比前一排多2个座位,最后一排有100个座位,这个电影院共有多少个座位?
分析:因为后排都比前排多2个座位,所以第2排比第1排多2个座位,第3排比第1排多4(2*2)个座位,第4排比第1排多6(3*2)个座位,依次类推,第n排就比第1排多(n-1)*2个座位,所以最后一排比第一排多54(27*2)个座位,已知最后一排100个座位,那么第一排是100-54=46个座位。所以总座位数为:(46+100)*28/2=2044(个)
反思:利用求和公式可以快速地计算出等差数列的和,从而提高计算的效率。
除了等差数列的求和经常计算以外,我们还会经常碰到等比数列的求和,以上就是等比数列求和的通用公式。
例2:计算
分析:本题就是等比数列的求和,其中,将它们代入公式即可算出结果。
这是从1开始的连续平方数的求和公式。该公式往往跟之后要介绍的裂项相消法结合到一起解题,所以这里暂不举例。
二、裂项相消法
常用的拆项公式:
例3:设,则与A最接近的正整数是( )
A.18 B.20 C.24 D.25
分析:解决本题的关键是观察分母的特点,找出一般规律,根据规律化简。括号中各项的一般规律是:,
所以A最接近25,故选D.
反思:在进行实数运算时,先把题中的分数拆成两个分数之差(即裂项相消法),再利用加法结合律可达到化繁为简的目的。我们应善于观察,抓住特点,将推理与计算有机结合,灵活选用算法和技巧,提高计算的速度。
例4:设,则与S-T等于( )
A. B. C. D.
分析:此题关键在计算S,而S中的每一项都可按照常用拆项公式分成两项:
这样此题的解答可化难为易.
解:
反思:实数的有关计算方法灵活多变,常用到前面叙述过的拆项计算公式、求和公式和有关等量关系,使实数计算获得巧解。
三、整体换元法
该方法指的是把某一部分看做一个整体,并用一个字母替换的方法。
例5:计算
分析:观察被减数与减数中因式之间的联系,适当换元,可将复杂的数值计算化为简单的式的运算。
解:
反思:换元法是初中阶段解决复杂问题的重要手段,应用较为广泛,通过换元可使复杂问题简单化,给解题带来方便。
(四)构造法
该方法涉及到之后的内容,所以当做了解即可。
例5:计算
分析:观察到题目中多次出现,因此可设,则,两边同时平方构造一元二次方程即可求得最终结果。
反思:本题奇思妙想构造一元二次方程使复杂 问题得到了巧妙解决,当然这道题还可以给前三项直接提公因式,再计算化简,同学们课下不妨可以去尝试一下。
拓展性作业:
(一)基础题:、
1、{×(-2)2-()2+}÷| 21996·(-)1995|=___________.
2、 =_____________.
3、=_______________.
4、=__________________.
5、=__________________.
6、=__________________.
7、某班有51个同学,毕业时每人都要和其他同学握一次手,那么这个班共握了__________次手.
(二)提高题
8、6+7+8+9+……+74+75=__________.
9、2+6+10+14+……+122+126=__________.
10、1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-60=__________.
(2+4+6+……+2000)-(1+3+5+……+1999)=
11、.
13、有一个数列:6、10、14、18、22……,这个数列前100项的和是__________.
15、一个家具厂生产书桌,从第二个月起,每个月增加10件,一年共生产了1920件,那么这一年的12月份共生产了__________书桌.
16、有80把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试__________次.
(三)挑战题
17、计算:
18、计算
19、计算
20、表示一种运算,如果,计算
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