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2017（Ⅰ）数学（文科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A={x|x<2}，B={x|3−2x>0}，则( )
A. A∩B={x|x<32} B. A∩B=⌀
C. A∪B={x|x<32} D. A∪B=R
2. 为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A. x1，x2，…，xn的平均数 B. x1，x2，…，xn的标准差
C. x1，x2，…，xn的最大值 D. x1，x2，…，xn的中位数
3. 下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A. i(1+i)2 B. i2(1−i) C. (1+i)2 D. i(1+i)
4. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
A. 14 B. π8 C. 12 D. π4
5. 已知F是双曲线C：x2−y23=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )
A. 13 B. 12 C. 23 D. 32
6. 如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
A. B.
C. D.
7. 设x，y满足约束条件x+3y⩽3x−y⩾1y⩾0，则z=x+y的最大值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 函数y=sin2x1−cosx的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
9. 已知函数f(x)=lnx+ln(2−x)，则( )
A. f(x)在(0,2)单调递增 B. f(x)在(0,2)单调递减
C. y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D. y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
10. 如图所示的程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入 ( )
A. A>1000和n=n+1
B. A>1000和n=n+2
C. A≤1000和n=n+1
D. A≤1000和n=n+2
11. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA(sinC−cosC)=0，a=2，c=2，则C=( )
A. π12 B. π6 C. π4 D. π3
12. 设A，B是椭圆C：x23+y2m=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120∘，则m的取值范围是( )
A. (0,1]∪[9,+∞) B. (0,3]∪[9,+∞) C. (0,1]∪[4,+∞) D. (0,3]∪[4,+∞)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量a=(−1,2)，b=(m,1)，若向量a+b与a垂直，则m=______．
14. 曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为______．
15. 已知α∈(0,π2)，tanα=2，则cos(α−π4)=______．
16. 已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，则球O的表面积为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2，S3=−6．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
18. 如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90∘．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90∘，且四棱锥P−ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．
19. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得x.=116i=116xi=9.97，s=116i=116(xi−x.)2=116(i=116xi2−16x.2)=0.212，i=116(i−8.5)2≈18.439，i=116(xi−x.)(i−8.5)=−2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．
(1)求(xi,i)(i=1,2，…，16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x.−3s,x.+3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
(ⅰ)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
(ⅱ)在(x.−3s,x.+3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)
附：样本(xi,yi)(i=1,2，…，n)的相关系数r=i=1n(xi−x.)(yi−y.)∑ni=1(xi−x.)2i=1n(yi−y.)2，0.008≈0.09．
20. 设A，B为曲线C：y=x24上两点，A与B的横坐标之和为4．
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
21. 已知函数f(x)=ex(ex−a)−a2x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为y=sinθx=3cosθ，(θ为参数)，直线l的参数方程为y=1−tx=a+4t，(t为参数)．
(1)若a=−1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a．
23. 已知函数f(x)=−x2+ax+4，g(x)=|x+1|+|x−1|．
(1)当a=1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[−1,1]，求a的取值范围．
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