高等数学第十章重积分习题课.doc

第十章 重积分
一、知识要点回顾
(一)二重积分
1．二重积分的定义；
2．二重积分的几何意义及其物理模型；
3．二重积分的性质： (1) 线性性质； (2) 区域可加性； (3) 比较定理； (4) 单调性； (5) 估值不等式； (6) 二重积分的中值定理．
4．直角坐标系下二重积分化二次积分
(1) X型区域特点及积分区域为X型区域时化二重积分为二次积分；
(2) Y型区域特点及积分区域为Y型区域时化二重积分为二次积分；
(3) 积分区域为矩型区域时化二重积分为二次积分.
5．极坐标系下二重积分的计算
(1) 何种二重积分适宜选择极坐标计算，要从积分区域和被积函数两方面考虑；
(2)．
(二)三重积分
1．三重积分定义及性质。
2．三重积分的计算
(1) 直角坐标下化三重积分为三次积分；
(2) 柱面坐标下化三重积分为三次积分；
(3) 球面坐标下化三重积分为三次积分.
(三)重积分的应用
1．几何应用：平面图形面积、曲面面积、空间立体体积。
2．物理应用：质量、质心（形心）、转动惯量、引力.
二、习题解析
(一)二重积分
1、二重积分的概念与性质
例1、根据重积分的性质，比较下列积分的大小：与，
其中积分区域是：（1）以，，为顶点的三角形区域；
（2）矩形区域：.
解：（1）在以，，为顶点的三角形区域内显然有，
故在三角形区域内即，
故
（2）矩形区域：内显然有
故在矩形区域内即，
故
例2、利用二重积分的性质，估计下列积分的值.
（1），其中是矩形区域：；
（2），其中.
解：（1）在矩形区域：内，
故，即：，得
（2）在中，
，即
得。
例3、设是平面上有界闭区域，在上连续。证明若在上非负，且，则在上
证明：若不恒为零，则不妨设有内点，使得，
由在连续，得，
故对，存在的某个领域，使得有
即在上。故

，其中为的面积。
这与矛盾，故在上。
2 、二重积分的计算
例4、计算（1），；
（2），由曲线与所围成；
（3）， ；
（4），由，和所围成；
解：（1）

（2）先求交点，由，得交点。
解法1：

解法2：关于轴对称，函数即关于是偶函数。
故，其中

（3）

。
记住公式：
（ⅰ）；
（ⅱ）。
（4）先求交点，由，，得交点。；

。
例5、计算（1）；（2）.
解：（1）改变积分次序，设，则

（2）改变积分次序，设，则

例6、改变下列二次积分的积分次序.
（1）；（2）。
解：（1）设，
==。
（2）设，
==。
例7、如果二重积分的被积函数能分解为的函数与的函数的乘积，即，且积分区域为矩形区域：，证明二重积分等于两个定积分的乘积，即。
证明：
。
例8、把二重积分化为极坐标系下的二次积分，其中积分区域分别为：
（1）；（2）.
解：（1）区域的极坐标表示为：。故
=。
（2）区域的极坐标表示为：。故
=
。
例9、计算下列二重积分
(1) ，其中是由圆周及直线所围成的在第一象限内的闭区域；
（2），由曲线以及直线围成；
(3)，由曲线所围成的闭区域。
解：（1），则

（2）关于轴对称，且被积函数关于是奇函数，故。
（注意：若写成极坐标为
）
（3）分析：虽然积分区域是圆域，但这个圆域用极坐标表示较为困难。故直接用极坐标不方便。（采用换元法）
令则，

，
其中由曲线所围成的闭区域。
法一：利用对称性

法二：利用极坐标

例10、设为上的连续函数，且，证明：.
（提示：利用定积分与积分变量的符号无关以及不等式）
证明：由有
其中，又

（最后一个等式是根据定积分与积分记号无关）
则
（二）三重积分
例1、（1），是由曲面及所围成的闭区域；
（2），是由曲面与平面和所围成的闭区域；
（3），是由曲面及平面所围成的闭区域.
解：（1）分析：（若用求围定顶法），在面椭圆围成闭区域，故这个区域就是围，在时，故顶为。

故=
（2）分析：在面不围成闭区域，又，则
在面围成闭区域，它就是围。显然为顶
，故

（3）分析：由，即围成的区域是围，
顶为
由：可得的柱坐标：
的柱坐标：，又得

例2、密度为的均匀物体占有的闭区域由曲面和平面所围成.
（1） 求物体的体积；
（2） 求物体的重心；
（3） 求物体关于轴的转动惯量.
解：（1）闭区域是以曲面为顶，以区域为底的曲顶柱体，
其中由在围成。故
。
（2）由对称性可知道。
。
（3）

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