数学导数与定积分考练二.doc

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

绝密★启用前
2014-2015学年度月考卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明

评卷人
得分

一、选择题（题型注释）
1．[2014·汕头模拟]设f(x)＝，则等于(　　)
A. B. C. D.不存在
2．[2013·江西高考]若S1＝，S2＝，S3＝，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)
A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3 C.S2<S3<S1 D.S3<S2<S1
3．
A． B． C． D．
4．给出以下命题：
（1）若，则f(x)>0； （2）;
（3）微积分基本定理，有, 则；
（4）若，且F(x)是以T为周期的函数，则；
其中正确命题的个数为 （ ）
5．计算定积分的值是 （ ）

A． B． C． D．
6．设正数a,b满足, 则（ ）
A．0 B． C． D．1

7．
A．等于0 B．等于l C．等于3 D．不存在
8．（2014•泸州三模）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，f′（x）是f（x）的导函数，若对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣2x]=3，则方程f′（x）﹣=0的解所在的区间是（ ）
A.（0，） B.（，1） C.（1，2） D.（2，3）
9．（2012•安徽模拟）若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＞xf′（x），则（ ）
A.3f（1）＞f（3） B.3f（1）＜f（3） C.3f（1）=f（3） D.f（1）=f（3）
10．（2014•马鞍山二模）定义域为R的函数f（x），满足f（0）=1，f′（x）＜f（x）+1，则不等式f（x）+1＜2ex的解集为（ ）
A.{x∈R|x＞1} B.{x∈R|0＜x＜1} C.{x∈R|x＜0} D.{x∈R|x＞0}
11．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间[0，]上的值域为(　　)

12．设 ，当时，恒成立，则实数的取值范围是【 】
A． B． C． D．

第II卷（非选择题）
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评卷人
得分

二、填空题（题型注释）
13．[2014·豫北联考]计算定积分dx＝________.
14．[2014·琼海模拟]如图所示，则由两条曲线y＝－x2，x2＝－4y及直线y＝－1所围成图形的面积为________．

15．由及轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为　　．
16．如果=1,=-1,则=__________.
17．做变速直线运动的物体的速度为v(t)=5-t2,初始位置x(0)=1,前2 s走过的路程为_______.
18．符号表示不超过的最大整数，如，定义函数
，设函数在区间上零点的个数记为
图象交点的个数记为，则的值是 。
19．设分别是在区间上的最大值和最小值，则，由上述估值定理，估计定积分的取值范围是 ．

评卷人
得分

三、解答题（题型注释）
20． 求
21．计算下列定积分．
（1） （2）
22．（本题满分15分）设函数．
（Ⅰ）若函数在上单调递增，在上单调递减，求实数的最大值；
（Ⅱ）若对任意的，都成立，求实数的取值范围．
注：为自然对数的底数．
23．（本小题满分12分）已知函数.
（Ⅰ）设，讨论的单调性；
（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围.

试卷第3页，总4页
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参考答案
1．C
【解析】本题画图求解，更为清晰，如图，

＝＋
＝x3＋(2x－x2)
＝＋(4－2－2＋)＝.
2．B
【解析】S1＝＝x3＝，
S2＝＝lnx＝ln2，
S3＝＝ex＝e2－e＝e(e－1)>e>，
所以S2<S1<S3，故选B.
3．B
【解析】
试题分析：，故选B。
考点:定积分计算
点评:简单题，本题关键是准确确定原函数。
4． D
【解析】略
5．A
【解析】本题考查定积分的运算.
故选A
6．B
【解析】：

7．B
【解析】略
8．C
【解析】
试题分析：由题意，可知f（x）﹣2X是定值，令t=f（x）﹣2X，得出f（x）=2X+t，再由f（t）=2t+t=3求出t的值，即可得出f（x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f′（x）﹣=0的解所在的区间，即得正确选项．
解：由题意，可知f（x）﹣2X是定值，不妨令t=f（x）﹣2X，则f（x）=2X+t
又f（t）=2t+t=3，解得t=1
所以有f（x）=2X+1
所以f′（x）=2X•ln2，
令F（x）=f′（x）﹣=2X•ln2﹣
可得F（1）=21•ln2﹣4＜0，F（2）=22•ln2﹣2＞0，
即F（x）=2X•ln2﹣零点在区间（1，2）内
所以f′（x）﹣=0的解所在的区间是（1，2）
故选：C．
点评：本题考查导数运算法则，函数的零点，解题的关键是判断出f（x）﹣2x是定值，本题考查了转化的思想，将方程的根转化为函数的零点来进行研究，降低了解题的难度．
9．A
【解析】
试题分析：根据条件f（x）＞xf′（x）可构造函数g（x）=，然后得到函数的单调性，从而得到所求．
解：设g（x）=，g′（x）=
∵f（x）＞xf′（x），
∴g′（x）=＜0
即g（x）在（0，+∞）上单调递减函数
∴即3f（1）＞f（3）
故选A．
点评：本题主要考查了导数除法的运算法则，以及利用构造法是解题的关键，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
10．D
【解析】
试题分析：根据条件构造函数g（x）=，然后利用导数判断函数的单调性即可得到结论．
解：构造函数
∵f'（x）＜f（x）+1，
∴g'（x）＜0，
故g（x）在R上为减函数，而g（0）=2
不等式f（x）+1＜2ex化为g（x）＜g（0），
解得x＞0，
故选D．
点评：本题主要考查导数的基本运算，利用条件构造函数是解决本题的关键，有一点的难度．
11．A
【解析】f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex·(cosx－sinx)＝excosx，
当0≤x≤时，f′(x)≥0，且只有在x＝时，f′(x)＝0，
∴f(x)是[0，]上的增函数，

12．D
【解析】本题考查函数的奇偶性，单调性，函数的最值及不等式知识.
函数是奇函数，且是R上的减函数；所以不等式当时，恒成立，可转化为恒成立；从而对任意恒成立；只需当时，所以故选D
13．π
【解析】dx表示圆x2＋y2＝22与x＝0，x＝2，y＝0围成的图形的面积．根据定积分的几何意义，得dx＝π.
14．
【解析】由图形的对称性，知所求图形的面积是位于y轴右侧图形面积的2倍．由得C(1，－1)．
同理，得D(2，－1)．
故所求图形的面积S＝2{[－－(－x2)]dx＋[－－(－1)]dx}＝2[－]＝2[－(－x)]＝.
15．
【解析】
试题分析：由定积分的几何意义知，面积可表示为
考点：本题主要考查定积分的计算公式及定积分的几何意义。
点评：简单题，掌握积分公式，理解定积分的几何意义。
16．-2
【解析】=-1,
∴有1+=-1.
∴=-2.
17．
【解析】设前2 s走过的路程为x(2).
∴x(2)-x(0)=.
∴x(2)-1=(5t-t3)=.
∴x(2)=.
18．
【解析】略
19．
【解析】
试题分析：因为当 时， ，所以，
所以由估值定理得：，
即，所以答案应填：．
考点：1、新定义．2、定积分；3、指数函数．
20．
【解析】首先是通过绝对值表示的分段函数，同时又是函数复合函数与的运算式，所以我们在计算时必须先把积分区间分段，再换元积分或奏变量完成.

【名师指引】若被积函数含绝对值，往往化成分段函数分段积分，注意本题中，这实际是一种奏变量的思想，复合函数的积分通常可以奏变量完成，也可以换元完成.

21．（1）；（2）1．
【解析】
试题分析：（1）含绝对值的式子的积分，一般要分类分段计算，实质就是去绝对值符号，按绝对值的正负分段；（2）一次分式函数积分公式：．
试题解析：（1）；
（2）.
考点：（1）分段函数的积分；（2）一次分式的积分.
22．
（Ⅰ）b的最大值是（Ⅱ）
【解析】本题主要考查函数的单调性、导数的运算法则、导数应用、恒成立问题等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力.
(1) 解：由题设可知，

在上单调递增，在上单调递减，

的最大值是
（2）令可看作关于的一次函数且单调递增，只需即
构造函数得到结论。
（Ⅰ）解：
由题设可知，

在上单调递增，在上单调递减，

的最大值是
（Ⅱ）解：令
可看作关于的一次函数且单调递增，
只需即
令则，
令，的对称轴为
(ⅰ)对恒成立，在上单调递增，
，不合题意.
(ⅱ) 对恒成立，在上单调递减，
满足题意.
此时只需，，
.
(ⅲ)在上，在上，
即在上单调递减，在上单调递增.
此时只需，

又即

综上，
(用分离参数方法解同样给分
23．解：（1） 的定义域为（，1）（1，）

因为（其中）恒成立，所以.…………………2分
当时，在（，0）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上为增函数； …………………………………4分
当时，在（，0）（0，1）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上为增函数；…………………………………6分
当时，的解为：（，）（t，1）（1，+）
（其中）.
所以在各区间内的增减性如下表：

区间
（，）
（，t）
（t，1）
（1，+）
的符号
+

+
+
的单调性
增函数
减函数
增函数
增函数
…………………………………8分
（2）显然

（1）当时，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有；
（2）当时，是在区间 0，1上的最小值，即，这与题目要求矛盾；
（3）若，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有.
综合（1）、（2）、（3） ，a的取值范围为（，2）. …………………………12分
【解析】略
答案第7页，总9页