命题-证明.docx

课题
命题、定理、证明
教学目标
通过学生学习的一些命题和证明的定理，向学生介绍一些简单的逻辑知识，逻辑的概念和术语，结合学生学过的图形的性质和判定，用具体的例子说明什么是命题，命题的组成和命题的真假
教学重点/难点
重点：注重培养学生的逻辑思维能力，对证明步骤，格式，要让学生抄写，模仿，熟悉证明的步骤与格式。难点：掌握一个命题，一定要分清它的题设和结论，可以找出一个命题的题设和结论是十分重要的问题。

教学过程
教师活动
学生活动
一、对于学生上节课的作业完成情况及完成质量进行检查，通过学生的作业了解学生在哪些方面还存在一定的欠缺，及时的进行再次讲解，让学生在知识的掌握方面无死角。二、对于本节课的知识点进行讲解，本节课的知识点为命题、定理和证明的相关知识，主要是让学生掌握什么是命题以及命题的真假性，以及一般证明题的书写步骤，让学生先进行填空的练习，然后逐渐锻炼自己独立的进行书写。三、对于本节课的习题进行讲解，在讲解的时候注意重点类型题的分类讲解，让学生能够掌握解决这些问题的思路和方法，这是最重要的，提高学生的分析问题和解决问题的能力。四、对于本节课作业进行布置。
一、对于上节课的知识点和典型习题的解题方法进行及时的回顾，看看学生在哪些方面存在一定的欠缺，及时的进行讲解，让学生能够良好的进行掌握。二、对于本节课的知识点进行理解，在理解知识点的时候一定要注意与习题的实际结合，同时对于本节课的典型例题进行练习，认真的听取老师进行讲解，及时的完善课堂笔记。
知识点总结
1、判断一件事情的句子，叫 命题 。
2、每个命题都是由题设， 结论 两部分组成的。题设是 已知事项 ；结论是由已知事项推出的 未知事项 。
3、如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；
如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题。
4、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明
例题/课上习题
例1. 判断下列语句是不是命题：
(1)线段的中点到线段两端点的距离相等；
(2)相等的两个角是对顶角；
(3)过已知直线外的任一点画已知直线的垂线；
(4)凡直角都相等；
(5) 不相等的两个角不是对顶角；
(6)与两平行线中的一条相交的直线，也必与另一条相交。
思考：1.你知道什么叫命题吗？2.怎样判定一个句子是命题？
思路分析：判断一件事情的句子，叫做命题。由此可知，判定一件事情的句是否是命题，则它应该对一件事情有所肯定或否定，作出明确判断，否则，它就不是命题，根据这一分析，思路自然清晰。
解：根据命题的定义可知：1,2,4,5,6是命题；3不是命题。
例2. 将下列各句改写成“如果……，那么……”的形式。
1.对顶角相等；
2. 等角的余角相等；
3.垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
4.同旁内角互补，两直线平行；
5. 同圆的半径相等。
思考：1.如何把省略掉的词语重新补上？2.根据命题你能画出图形吗？根据图形，能
写出“如果……，那么……”的命题吗？3.对省去“如果”、“那么”的命题如何进行分析？
思路分析：省略掉词语的命题通常采取仔细分析，把省略掉的词语重新补上，或根据
命题画出准确图形，再根据图形，把命题完整写出来，根据这些方法研究，我们便可着手改写了。
解：1.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
2. 如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等；
3.如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；
4.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；
5. 如果两条半径是同圆的两条半径，那么这两条半径相等。
例3. 指出下列命题的题设部分和结论部分
1.直角都相等；
2.互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；
3.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；
4.锐角大于它的补角；
5.大于90°而小于180°的角是钝角；
6. 两个角的和等于平角时，这两个角互为补角。
思考：1.每个命题都由哪两部分组成？请你说出来。2.题设表示什么意思？结论
表示什么意思？3.命题中没有明显突出题设与结论又如何入手呢？能否改写成“如果……那么……”形式呢？4.命题的题设与结论不好用文字叙述时，可否用符号写出题设与结论呢？又如何表示？
思路分析：解答这类问题，必须弄清命题由哪两部分组成，进一步弄明白题设与结论所表示的意思。便可找出题设与结论。对省略掉词语的命题应先设法补上，再着手找题设与结论。命题的题设与结论不好用文字叙述时，要用符号写出题设和结论，但必须说明符号所表示的意义。根据上述分析，便可找出1～6题的题设部分和结论部分。
解：1.题设：两个角都是直角；
结论：这两个角相等。
2. 题设：互为邻补角的两个角的两条平分线；
结论：这两个角平分线互相垂直。
3. 题设：直线外一点与直线上各点连结的所有线段；
结论：垂线段最短。
4. 题设：∠是∠的补角，且90°＜∠＜180°；
结论：∠＞∠。
5. 题设：90°＜∠＜180°；
结论：∠是钝角。
6. 题设：两个角的和等于平角；
结论：这两个角互补。
例4. 判断下列命题的真假，如果是假命题，请说明理由。
1.两点之间，线段最短。
2.如果一个数的平方是9，那么这个数是3。
3.同旁内角互补。
4.过一点有且只有一条已知直线与已知直线平行。
5.如果a＋b=0，那么a=0，b=0。
6. 两个锐角的和是锐角。
思考：1.什么叫命题？2.什么叫真命题？3.什么叫做假命题？4.判别假命题的方法是
什么？请你叙述。
思路分析：要判定一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例）即可。于是以上各
题真假便眉目分明了。
解：1.真命题，这是关于线段的一个公理。
2.假命题，因为一个数的平方是9，这个数也可能是－3。
3.假命题，任意二条直线被第三条直线所截，都有同旁内角产生，只有两条平行线被第三直线所截，才有同旁内角互补的结论。
4.假命题，如果这个点在已知直线上，就无法作出一条直线与已知直线平行。
5.假命题，如果a=2，b=－2，2＋(－2)=0，但a=2≠0，b=－2≠0。
6.假命题，如60°和50°的角都是锐角，但它们的和是钝角。
例5. 区分下列语句中，哪些是定义，哪些是公理，哪些是定理：
1. 经过两点有一条直线，并且只有一条直线；
2.两点之间，线段最短；
3.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；
4.对顶角相等；
5. 垂线段最短。
思考：1.定义，公理，定理的内容你知道吗？2.定义，公理，定理有何区别？
思路分析：只要理解定义，公理，定理的意义，便可一一区分谁是定义，谁是公理，谁是定理。
解：(1)、(2)是公理；(3)是定义；(4)、(5)是定理。

课后习题
一、 填空题：
1. 命题常写成“如果……，那么……”的形式，在这种形式中，用“ ”开始的部分

是题设，用“ ”开始由部分是结论。
2. 将命题“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”
的形式为 。
3.已知∠AOB为锐角，直线l1⊥OA，直线l2⊥OB，那么l1
和l2的关系为 。
4.如图14所示，直线l∥m，若∠=70°，则∠= 。 图14

5.如图15所示，a∥b，∠1－2∠2=60°，则∠1= ；∠2= 。
6.“同位角相等，两直线平行”这个命题中题设是 。
7.“过两点有且只有一条直线”是 。
8. 叫做命题，每个命题都是
由 ； 两部分组成。 图15
9.如果题设成立，那么结论也成立，这样的命题叫做 。
10. 证明一个命题的步骤是：
①根据题意；
②根据题设、结论、结合图形，写出 ； 。
③经过分析，找出由 推出 的途径，写出 。
二、 选择
11. 下列语句中，不是命题的是 。
A.两点之间，线段最短；
B.对顶角不相等；
C.连结A、B两点；
D.不重合的两条直线有一个交点。
12.给出下列四个命题：
①同角的余角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④
平行于同一条直线的两条直线垂直。其中真命题有 。
A.1个； B.2个； C.3个； D.4个。

13.如图16，下列推理中正确的是 。
A.∵∠1=∠2，∴AB∥CD
B.∵∠ABC＋∠BCD=180°，∴AD∥BC
C.∵AD∥BC，∴∠3=∠4
D.∵∠ABC=∠ADC，∠1=∠2，∴AB∥CD
14.下列命题，正确的是 。 图16
A.如果∠=180°－∠，则∠是补角；
B.如果∠＋∠=90°则∠是余角；
C.40°角是50°的余角；
D.余角是补角的一半。
15. 将命题“对顶角相等”改成“如果……，那么……”的形式正确的是 。
A.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；
B.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
C.如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角；
D.如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等。
16.下列语句是命题的是 。
(1)过一点作直线的垂线；
(2)如果a∥b且b∥c，那么a∥c；
(3)∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3；
(4)同位角互补，两直线平行。
A.(2)； B.(2)、(3)； C.(2)、(3)、(4)； D.(1)、(2)、(3)、(4)
17.下列命题，正确的是 。
A.两锐角的和是直角；
B.若∠AOB＋∠BOC=90°，则∠AOC是直角；
C.若∠是∠的邻补角，则∠与∠中一定有一个是钝角，一个是锐角；
D.若∠与∠互为余角，则∠、∠均为锐角。
18.下列命题是假命题的是 。
A. 垂线段最短； B.对顶角相等； C.同位角相等；
D.一个锐角的补角大于这个锐角。
19.下列命题中，假命题是 。
A.没有公共点的两条直线必定平行；
B.同一平面内，l1⊥l2，垂足为A，l2⊥l垂足为B，A、B两点不重合，那么l1⊥l；
C.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；
D.两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线平行。
20.下列四个命题中，真命题是 。
A.如果一个角有补角，则这个角必是钝角；
B.如果一个角有余角，则这个角必是锐角；
C.互补的两个角一定是邻补角；
D.如果∠1＋∠2＋∠3=180°，那么∠1，∠2，∠3互补。
三、 解答题
21. 根据下列命题，画出图形，并写出已知和求证：
(1)邻补角的平分线互相垂直；
(2)两直线平行，内错角相等。

22. 已知点C，C′分别是AB、
A′B′的中点，AC=A′C′，
求证：AB=A′B′。
23. 已知AC⊥BC，∠ACD=∠CDE， 图17
求证：DE⊥BC。（如图17所示） 图18

24.（如图18所示）已知∠1＋∠2=180°，
求证：∠3＋∠4=180°。
25.（如图19所示）AB∥CD，E、F分别与AB、CD交于G、H，MN过点G垂直于AB，GK是∠MGB的平分线，
∠CHG=120°，求∠MGE和∠KGE的度数。

26. 已知：如图20，AB∥DC，AD∥BC， 图19 图20

∠1=30°，∠2=38°，求∠3的度数。
27. 已知：如图21所示，BE平分∠ABC，
∠CBF=∠CFB=65°，∠EDF=50°，
求证：BC∥AE。
28. 已知：如图22所示，AC∥DE，DC∥EF，
CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED。 图21 图22

29. 图23，已知AD⊥BC于D，EF⊥BC
于F，∠E=∠3，求证：AD平分∠BAC。
30. 已知，如图24，∠COF＋∠C=180°，
∠C=∠B，求证：AB∥EF。
四、同步题库
一、填空题： 图23 图24
1. 如果，那么；2.如果两个角是等角，那么这两个角相等；3.相交；4. 50°；
5. 140°，40°；6.同位角相等；7.公理；8.判断某一件事情的句子，题设，结论；9.真命题；10.①画出图形；②已知、求证；③已知，求证，证明的过程。

二、 选择题
11.C；12.B；13.D；14.C；15.B；16.C；17.D；18.C；19.A；
20.B。
三、 解答题
21. (1)已知如图25，∠AOC与∠BOC为邻补角,OD为∠AOC平分
线,OE为∠BOC平分线，求证：OD⊥OE。 图25

(2)已知如图26，直线a∥b，求证：∠1=∠2。
22. 证明：∵C为AB中点（已知）
∴AC=AB（中点定义）
∵C′为A′B′中点（已知）
∴A′C′=A′B′（中点定义） 图26
∵AC=A′C′（已知）
∴AB=A′B′（等量代换）
∴AB=A′B′（等式性质）
23. 证明：∵∠ACD=∠CDB（已知）
∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行）
∴∠DEB=∠ACB（两直线平行，同位角相等）
∵AC⊥BC（已知）
∴∠ACB=90°（垂直定义）
∴∠DEB=90°（等量代换）
DE⊥BC（垂直定义）
24. 证明：∵∠2＋∠5=180°（邻补角定义）
∠1＋∠2=180°（已知）
∴∠1=∠5（等角的补角相等）
∴a∥b（同位角相等、两直线平行）
∴∠3=∠6（两直线平行，同位角相等）
∵∠6＋∠4=180°（邻补角定义）
∴∠3＋∠4=180°（等量代换）
25. 解：∵MN⊥AB（已知）
∴∠MGB=90°=∠AGM（垂直定义）
∵GK平分∠MGB（已知）
∴∠MGK=∠MGB=45°（角平分线定义）
∵AB∥DC（已知）
∴∠AGE=∠CHG=120°（两直线平行，同位角相等）
∴∠MGE=∠AGE－∠AGM=30°
∴∠KGE=∠KGM－∠MGE
=45°－30°=15°
26.解：∵AB∥DC（已知）
∴∠2=∠4=38°（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=30°（已知）
∴∠1＋∠4=68°=∠A
∵AD∥BC（已知）
∴∠3=∠A=68°（两直线平行，同位角相等）
27. 证明：∵BE平分∠ABC（已知）
∴∠ABE=∠EBC
∠ABC=2∠ABE（角平分线定义）
∵∠CBF=∠CFB=65°（已知）
∴∠FBA=∠CFB=65°
∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）
∴∠EDF=∠A（两直线平行，同位角相等）
∵∠EDF=50°（已知）
∴∠A=50°（等量代换）
∴∠A＋∠ABC=50°＋130°=180°
∴BC∥AE（同旁内角互补，两直线平行）
28. 证明：∵AC∥DE（已知）
∴∠ACD=∠EDC（两直线平行，内错角相等）
∵DC∥EF（已知）
∴∠DCE=∠BEF（两直线平行，同位角相等）
∠EDC=∠FED（两直线平行，内错角相等）
∵DC平分∠BCA（已知）
∴∠ACD=∠DCB（角平分线定义）
∴∠FED=∠BEF（等量代换）
∴EF平分∠BED（角平分线定义）
29. 证明：∵EF⊥BC，AD⊥BC（已知）
∴EF∥AD（垂直于同一条直线的两条直线平行）
∴∠1=∠E（两直线平行，同位角相等）
∴∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）
∵∠E=∠3（已知）
∴∠1=∠2（等量代换）
∴AD平分∠BAC（角平分线定义）
30. 证明：∵∠EOF=∠C=180°（已知）
∴EF∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
∵∠C=∠B（已知）
∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）
∴AB∥EF（平行于同一条直线的两直线平行）